4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习 任务 1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算) 3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象) 4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学运算、数学建模)
我国古代数学著作《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”，这些数字构成了怎样的一个数列呢？就让我们通过今天的学习来解决这个问题吧！
知识点1 等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)
等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．
知识点2 等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab．
(1)只有同号的两个实数才有等比中项．
(2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
知识点3 等比数列的通项公式
(1)通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1．
(2)等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
已知等比数列的首项和公比，可以求得任意一项．已知a1，n，q，an四个量中的三个，可以求得第四个量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． ( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． ( )
(3)常数列一定为等比数列． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．
2．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
C [设2＋和2－的等比中项为a，
则a2＝(2＋)(2－)＝1，即a＝±1．]
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．
8 [由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2．
又a1＝2，∴a3＝2×22＝8．]
类型1 等比数列通项公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
[解] 设首项为a1，公比为q．
(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn-1＝
(2)法一：因为
由得q＝，q＝－1(舍去)，从而a1＝32，
又an＝1，∴32×＝1．
即26-n＝20，所以n＝6．
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝．
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．由an＝a1qn-1＝1，知n＝6．
关于a1和q的求法的两种方法
(1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)已知{an}为等比数列，填写下表．
序号 a1 q n an
(1) 3 －2 5
(2) 4
(3) －2 4 －32
(4) 3 5 48
(5) 3 2 24
[解]
序号 a1 q n an
(1) 3 －2 5 48
(2) 4
(3) －2 4 －32
(4) 3 2或－2 5 48
(5) 3 2 4 24
类型2 等比中项及应用
【例2】 (1)若三个数1，2，m成等比数列，则实数m＝( )
A．8 B．4
C．3 D．2
(2)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( )
A．± B．
C．1 D．±1
(3)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，a1，a3，a6成等比数列，则a5＝( )
A． B．
C．2 D．3
(1)B (2)D (3)C [(1)因为1，2，m为等比数列，故＝，即m＝4．
(2)因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，所以a＝＝2，b＝±＝±2，所以的值为±1．
(3)设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，
由a1，a3，a6成等比数列，得＝a1·a6，
即(1＋2d)2＝1＋5d，整理得4d2－d＝0，又d≠0，解得d＝，所以a5＝a1＋4d＝2．]
等比中项应用需注意的问题
(1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为( )
A．10 B．8
C．6 D．－8
(2)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，则实数x的值为________．
(1)A (2)－4 [(1)由题意可得＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，
解之可得a1＝－8，故S10＝－8×10＋×2＝10．
(2)根据条件可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，而当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，故x＝－4．]
类型3 等比数列的判断与证明
【例3】 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是不是等比数列．
[思路引导] 利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．
[解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
当n≥2时，＝＝2；
当n＝1时，＝＝．
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n．
2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明] ∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an．
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．
有关等比数列的判断证明方法
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
中项公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
[跟进训练]
3．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．证明：数列{an＋4}是等比数列．
[证明] ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2．
∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴＝2，
∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．
1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是( )
A．an＝n B．an＝
C．an＝2－n D．an＝log2n
C [只有C具备an＝cqn的形式，故应选C．]
2．(多选)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q可能为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
AC [由题意，
得
解得或]
3．1与9的等比中项为________．
±3 [1与9的等比中项为±＝±3．]
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
4n-1 [由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n-1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？
[提示] ①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数．
(2)任何两个实数都有等比中项吗？
[提示] 不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数．
(3)如何判断一个数列为等比数列？
[提示]
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
中项公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列第2课时 等比数列的性质及应用
学习任务 1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算) 2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理)
在等差数列{an}中，存在很多的性质，如
(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
(3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则也成等差数列．
那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？
知识点1 推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
知识点2 “子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．
知识点3 等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是等比数列吗？其公比是什么？
[提示] 由于＝·＝q2，n≥2且n∈N*，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [D中，3，6，9为连续3的倍数，所以a3，a6，a9成等比数列．]
2．在等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则公比q是________．
2 [由a6＝a3q3得q3＝＝8，
∴q＝2．]
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝________．
25 [在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝
＝a8a11＝a9a10．
∴原式＝(a7a12)2＝25．]
类型1 灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
[解] 法一：设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a．
由题意得，解得q＝2或q＝．
当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；
当q＝时，a＝，这四个数为，，，．
法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d．
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，．
法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a，
设第二个数为b，则第三个数为18－b，
则这四个数为a，b，18－b，21－a，
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，．
巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d．若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2．
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2．若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3．
[跟进训练]
1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解] 法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，由条件得
解得或所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1．
法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a，
设第二个数为b，则第三个数为12－b，
∴这四个数为a，b，12－b，16－a，
由题意得
解得或
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
类型2 等比数列的性质及应用
【例2】 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[思路引导] 利用等比数列的性质，整体代换求解．
[解] (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．
(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．
[母题探究]
1．在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，其他条件不变，求an．
[解] 由等比数列的性质得a3a5＝a1a7＝4，又由例2(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n-3；若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25-n．
2．把例2(2)的条件改为“公比q为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解] ∵a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，∴a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0．
应用等比数列性质的解题策略
(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝进行求解．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．
[解] 法一：依题意，a1＝4，a5＝，由等比数列的通项公式，得＝4×q4，解得q＝±．
当q＝时，插入的3个数分别为4×＝2，2×＝1，1×＝；
当q＝－时，插入的3个数分别为4×＝－2，(－2)×＝1，1×＝－．
因此，插入的3个数分别为2，1，或－2，1，－．
法二：因为等比数列共有5项，即a1，a2，a3，a4，a5，
又因为2×3＝1＋5，所以＝a1a5＝4×＝1，
即a3＝±1．又因为a3要与a1同号，因此a3＝1．
类似地，有＝＝a3a5，而且a2与a4同号．因此当a2＝＝＝2时，a4＝＝＝；
当a2＝－＝－＝－2时，
a4＝－＝－＝－．
因此，插入的3个数分别为2，1，或－2，1，－．
类型3 等比数列的实际应用
【例3】 (1)光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，……，F 64．光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
(2)洗衣服时，小兰说“入水三分净”，即换水洗一次能去污30%．问：要使污渍不高于原来的30%，至少要换水洗多少次？( )
A．1 B．3
C．4 D．5
(1)C (2)C [(1)由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列{an}，则F 4对应单位时间内的进光量为a5，F 1.4对应单位时间内的进光量为a2，从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的＝8倍．
(2)洗衣服时，换水洗一次能去污30%，要使污渍不高于原来的30%，设至少要换水洗n次，则a(1－30%)n≥a×30%，∴n≥4，
∴要使污渍不高于原来的30%，至少要换水洗4次，故选C．]
等比数列实际应用
等比数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等比数列的模型，然后用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[跟进训练]
3．(1)某工厂2019年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2027年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )
A．－1 B．－1
C．－1 D．－1
(2)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为( )
A．55 989 B．46 656
C．216 D．36
(1)A (2)B [(1)设2019年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝－1，故选A．
(2)设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式：an＝6×6n-1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂．]
1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3＝( )
A．4 B．
C． D．2
A [根据等比数列的性质，a3，a6，a9成等比数列．
∴9a3＝62．∴a3＝4．故选A．]
2．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7
C．6 D．4
A [由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝5，故选A．]
3．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，……．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某传染病的基本传染数R0＝3.8，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1 000时需要的天数至少为(参考数据：lg 38≈1.58)( )
A．34 B．35
C．36 D．37
D [设第n轮感染人数为an，则数列{an}为等比数列，其中a1＝3.8，公比为R0＝3.8，所以an＝3.8n>1 000，
解得n>log3.81 000＝＝≈≈5.17，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数为5.17×7＝36.19，即需要的天数至少为37天．]
4．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．
8 [设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，所以b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？
[提示] 三个数成等比数列时，可设三数为，a，aq；四个数成等比数列时只要公比大于零，可设为，，aq，aq3．
(2)在等比数列中，常用到的性质有哪些？
[提示] ①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，则aman＝．
(3)解决等比数列的实际应用问题有哪些注意事项？
[提示] 要注意：①认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；②合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；③针对所求结果作出合理解释．4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
学习 任务 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算) 2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模)
如今手机越来越普遍，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用10分钟将它传给两个人，这两个人又用10分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？
知识点1 等比数列的前n项和公式
如何选择使用两个求和公式？
[提示] 已知首项a1和公比q(q≠1)，项数n，可以使用Sn＝，已知首尾两项a1，an和q(q≠1)，可以使用Sn＝．
当q≠1，Sn＝＝－·qn，所以Sn＝A－A·qn的结构形式．
知识点2 错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
错位相减法求和适用于an＝(kn＋b)·qn结构形式．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有等比数列才能用错位相减法求前n项和． ( )
(2)求数列{n·3n}的前n项和可用错位相减法． ( )
[答案] (1)× (2)√
2．若等比数列{an}中，a1＝1，S3＝3，则公比q＝________．
1或－2 [若q＝1时，S3＝3a1＝3符合．
若q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3．
解得q＝－2．
故公比q的值为1或－2．]
类型1 等比数列基本量的运算
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
[解] (1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n+1－或Sn＝．
(2)法一：由题意知
解得从而S5＝＝．
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝．
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝．
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或．
(1)“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)“值得注意”：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[跟进训练]
1．(1)在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
(1)C (2)D [(1)由题意知q4＝＝16，
则q＝2，a1＝2，
∴510＝，
解得n＝8．
故选C．
(2)设等比数列的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则 ，解得
所以a6＝a1q5＝3．
故选D．]
类型2 错位相减法
【例2】 设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[思路引导] (1)可用基本运算，解方程组的方法求出通项公式；
(2)该数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列的各项相乘得到的数列，所以采用错位相减法求和．
[解] (1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则q>0．
由题意，得解得
故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n-1＝2n．
(2)令cn＝anbn＝n·2n，
所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n-2＋(n－1)×2n-1＋n·2n，
2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n-1＋(n－1)×2n＋n·2n+1，
两式相减得：
－Sn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n-1＋2n－n·2n+1
＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，
所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2．
[母题探究]
1．(变条件)把本例(2)中“”改为“”，求该数列前n项和Sn′．
[解] 令cn＝＝＝，
∴Sn′＝＋＋＋…＋， ①
∴Sn′＝＋＋…＋＋， ②
∴①－②得：Sn′＝－＝－＝1－－，
∴Sn′＝2－－．
2．(变条件)把本例(2)中“”改为“”，求该数列的前n项和Tn．
[解] ∵bn＝2n，∴前n项和为Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)×．
∴Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，
两式相减得
Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋×－(2n－1)×＝－－，
所以Tn＝3－－＝3－．
错位相减法的适用条件及注意事项
(1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法．
(2)注意事项：若公比为字母，则需对其进行分类讨论．
[跟进训练]
2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
[解] 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1＝－nxn+1，
∴Sn＝－．
综上可得，Sn＝
类型3 等比数列前n项和公式的实际应用
【例3】 (1)明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)，根据此诗，可以得出塔的顶层有( )
A．3盏灯 B．192盏灯
C．195盏灯 D．200盏灯
(2)如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于( )
A．2 B．
C． D．
(1)A (2)D [(1)设每层灯的盏数为等比数列{an}，首项a1为顶层灯的盏数，公比q＝2，所以S7＝＝a1(27－1)＝381，解得a1＝3，即顶层有3盏灯．
(2)此五个正三角形的边长an形成等比数列：2，1，，，．
所以这五个正三角形的面积之和＝×＝×＝．]
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
[跟进训练]
3．(源于人教B版教材)某工厂去年1月份的产值为a元，且月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和．
[解] 设该工厂去年第n个月的产值为bn元，由题意可知b1＝a，且＝p，即＝1＋p．
因此{bn}是以a为首项，1＋p为公比的等比数列，这个数列共有12项，且bn＝a(1＋p)n-1，
从而这个数列所有项的和为S12＝＝．
因此可知该工厂去年全年的总产值为元．
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于( )
A．93 B．－93
C．45 D．－45
A [S5＝＝＝93．]
2．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝5，S5＝55，则公比q等于( )
A．4 B．2
C．－2 D．－2或4
C [∵a1＝5，S5＝55≠5×5，∴S5＝＝55，
∴1－q5＝11(1－q)，解得q＝－2．]
3．若数列{an}的通项公式为an＝n＋1，数列{bn}满足bn＝，Tn是数列{anbn}的前n项和，则Tn＝________．
n·2n+2 [因为an＝n＋1，bn＝＝2n+1，
从而anbn＝(n＋1)·2n+1，
Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)·2n+1，①
2Tn＝2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)·2n+2，②
①－②得－Tn＝8＋23＋24＋…＋2n+1－(n＋1)·2n+2
＝8＋－(n＋1)·2n+2＝－n·2n+2，
所以Tn＝n·2n+2．]
4．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%． 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？________(填“能”或“不能”)
不能 [用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125．
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)如何使用等比数列前n项和公式求和？
[提示] ①等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
②q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn-1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．
(2)等比数列前n项和公式是如何推导的？
[提示] 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1， ①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1)．
(3)错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？
[提示] ①适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
②注意事项：
(i)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
(ii)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
棋盘上的麦粒
国际象棋的棋盘由64个格子组成，如图所示．据说某国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求．发明者说：我想在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒，在第4个格子里放上23颗麦粒……每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王给我足够的麦子．国王觉得这个要求并不过分，欣然同意．假设每1 000粒麦子的质量为40 g，猜想一下，国王有能力满足发明者的要求吗？
根据等比数列前n项求和公式可知，发明者所要求的麦粒数为1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1．从而可知，发明者要求的麦子质量为×40 g≈7.38×1014 kg．也就是说，发明者要求的麦子质量约为7.38×1011吨，即7 380亿吨．2016年，我国大宗粮油作物(包括小麦、水稻)产量约为5.4亿吨，全球大宗粮油作物总产量约为27.8亿吨．那位国王能满足发明者的要求吗？第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
学习任务 1．掌握等比数列前n项和的性质的应用．(数学运算) 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(数学运算)
远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题．文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味，题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．
问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？
知识点 等比数列前n项和的性质
(1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列．
(2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q．
②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则＝q．
③当q≠－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比是qm．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n． ( )
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋k，则k＝－1． ( )
[答案] (1)√ (2)√
2．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于( )
A．50 B．70
C．80 D．90
B [因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，解得前9项的和为70，故选B．]
类型1 等比数列前n项和公式的函数特征应用
【例1】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2．求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列．
[解] 法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝．
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴an＝
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．
法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列．
(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
[跟进训练]
1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________．
－ [显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝×3n＋t，∴t＝－．]
类型2 等比数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32 C．21 D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．
[思路引导] (1)发现S2，S4，S6之间的关系，可以直接求出S4；也可以试着用公式，直接解决；
(2)尝试用＝q，S奇＋S偶＝S2n求解．
(1)A (2)24 [(1)法一：∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7，91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21．
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28．
法二：由条件可以看出q≠1，∴S2＝，S4＝，S6＝，∴＝1＋q2＋q4．又S6＝91，S2＝7，
∴q4＋q2－12＝0，即q2＝3．又＝1＋q2．
∴S4＝S2(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28．
(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79．则＝q＝3，即S1＝3S2．
又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24．
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24．]
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．
[解] 法一：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
所以
所以或(舍去)，所以S4n＝30．
法二：∵Sn＝2，S3n＝14．∴q≠1．
∴Sn＝，S3n＝＝，
∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2，
又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)．
∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30．
2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[解] 法一：∵S99＝＝56，q＝2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32．
法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，
b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，
b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，
则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，
∴b1(1＋q＋q2)＝56．
∴b1＝＝8，
∴b3＝b1q2＝8×22＝32．
即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32．
等比数列的性质及应用技巧
(1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和为Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和为Sn＝－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列．
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
(3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比等于公比q，即＝q．
[跟进训练]
2．(1)已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是( )
A．30 B．60
C．90 D．120
(2)(源于人教B版教材)如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列前15项的和等于多少？
(1)D [设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，
S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1，
又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，
故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120．故选D．]
(2)[解] 因为S5＝10，S10＝50，
所以S10－S5＝40，
S15－S10＝S15－50，又S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，
所以402＝10(S15－50)，
所以S15＝210．
类型3 等差数列与等比数列的综合应用
【例3】 已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．
(1)求S2和S3；
(2)求数列{an}的前n项和；
(3)求数列{Sn}的前n项和．
[思路引导] 先利用等差中项与等比中项求出S2与S3，进而求出a1与公比q，再写出Sn，根据Sn的特点求{Sn}的前n项和．
[解] (1)根据已知条件
整理得解得
(2)因为q≠1，所以
解得
所以Sn＝＝－．
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn
＝n－·
＝n＋．
与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：
(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题．
(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．
(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
[跟进训练]
3．已知等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b3＝a5．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
[解] (1)设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，q>0，
因为a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b3＝a5，
所以1＋d＋1＋3d＝10，q2＝1＋4d，∴d＝2，q＝3．
因此an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝1×3n-1＝3n-1．
(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝(3n－1)．
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
A [在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A．]
2．已知等比数列{an}，an＝2×3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为( )
A．3n-1 B．3n
C．(9n－1) D．(9n－1)
D [这里a2＝6，即新数列的首项为6，公比为9．∴新数列的前n项和为Tn＝＝(9n－1)．故选D．]
3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}为等比数列，已知S5＝10，且b10＝a2＋a4，则b5b15＝________．
16 [设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由S5＝10，且b10＝a2＋a4，
可得5a1＋10d＝10，b10＝2a1＋4d，
即有b10＝4，b5b15＝＝16．]
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．
32 [由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，
故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等比数列的前n项和有哪些重要性质？
[提示] ①若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)．
②若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；
若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．
③等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．
(2)应用等比数列前n项和时常见的误区有哪些？
[提示] ①等比数列前n项和公式中项数的判断易出错．
②前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
