4.4* 数学归纳法
学习 任务 1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理) 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)
我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？
为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了．
思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？
知识点1 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1
[提示] 不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3．
知识点2 数学归纳法的框图表示
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可． ( )
(2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3． ( )
(3)设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝＋＋＋…＋．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)数学归纳法两个步骤缺一不可．
(3)中，Sk＋1＝＋＋…＋＋＋．
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
B [由题知，当n＝2时，不等式为1＋＋<2，故选B．]
类型1 用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3．
则当n＝k＋1时，
1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k
＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．
用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)用数学归纳法证明，对任意的正整数n，都有12＋22＋32＋…＋n2＝．
[证明] (1)当n＝1时，
左边＝12＝1，右边＝＝1，
所以此时等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时，等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝．
则12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝，
所以，此时n＝k＋1也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何正整数都成立．
类型2 用数学归纳法证明不等式
【例2】 用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
[思路引导] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明] (1)当n＝1时，
≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋≤ 1＋ ＋ ＋… ＋≤ ＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋>1＋ ＋2k· ＝1＋ ．
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋< ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
1．用数学归纳法证明不等式的关键点
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
2．常用的几点放缩技巧
(1)＜n＜；
(2)＜＜(n∈N*，n＞1)；
(3)＞＝2()；
(4)＜＝2()(k∈N*，k＞1)．
[跟进训练]
2．试用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，
即1＋＋＋…＋<2－．
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．
由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
类型3 用数学归纳法证明一些数学命题
【例3】 证明：当n∈N*时，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
[证明] (1)当n＝1时，f (1)＝34－8－9＝64能被64整除．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f (k)＝32k+2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f (k＋1)＝32(k+1)+2－8(k＋1)－9＝9×32k+2－8k－17＝9×(32k+2－8k－9)＋64k＋64．
故f (k＋1)也能被64整除．
综合(1)(2)，知当n∈N*时，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明．
[跟进训练]
3．求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f (n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*．
[证明] (1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f (4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立．
即k棱柱中过侧棱的对角面有f (k)＝k(k－3)个．
现在考虑n＝k＋1时的情形．
对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面．因此对角面的个数为f (k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f (k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立．
由(1)和(2)，可知原结论成立．
类型4 归纳—猜想—证明
【例4】 已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
[解] S1＝＝ ；
S2＝ ＋＝ ；
S3＝ ＋ ＝ ；
S4＝ ＋＝ ．
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1．
于是可以猜想Sn＝ ．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝ ，
右边＝ ＝ ＝ ，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[跟进训练]
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
[解] 当n＝2时，
S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；
当n＝3时，
S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；
当n＝4时，
S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9．
猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：
当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；
假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝2k＋1，Sk＝＝k2＋2k，
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk，
ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1，
所以猜想成立．
综上所述，对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立．
1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为( )
A．n∈N* B．n∈N*，n≥2
C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4
D [当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立，
当n＝4时，64>61不等式成立，
故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为n≥4，n∈N*，故选D．]
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C [当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确．]
3．用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k(k∈N*)时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项( )能被9整除( )
A．3·7k＋6 B．3·7k+1＋6
C．3·7k－3 D．3·7k+1－3
B [假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k+1－1－[(3k＋1)·7k－1]＝(3k＋4)·7k+1－(3k＋1)·7k＝[(3k＋1)＋3]·7k+1－(3k＋1)·7k＝(3k＋1)·7k+1＋3·7k+1－(3k＋1)·7k＝6·(3k＋1)·7k＋3·7k+1＝6·[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k+1＋6．由(3k＋1)·7k－1能被9整除可知要证上式能被9整除，还需证明3·7k+1＋6也能被9整除，故选B．]
4．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
＋＋…＋＞－ [从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？
[提示] “三个成立”是指：①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立．
“一个结”就是结论：断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
(2)你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？
[提示] ①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
②递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
③利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．
(3)与自然数n有关的命题都必须用数学归纳法证明吗？数学归纳法一般用来证明哪几种类型？
[提示] 数学归纳法证明的命题都是与自然数n有关的命题，但与自然数n有关的命题不一定都用数学归纳法来证明．
数学归纳法证明的命题类型一般有：等式问题、不等式问题、整除问题，几何命题和“归纳—猜想—证明”等类型．4.4* 数学归纳法
学习 任务 1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理) 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)
我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？
为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了．
思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？
知识点1 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1
知识点2 数学归纳法的框图表示
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可． ( )
(2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3． ( )
(3)设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝＋＋＋…＋．( )
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
类型1 用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[尝试解答]
用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[跟进训练]
1．(源于人教B版教材)用数学归纳法证明，对任意的正整数n，都有12＋22＋32＋…＋n2＝．
类型2 用数学归纳法证明不等式
【例2】 用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
[思路引导] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[尝试解答]
1．用数学归纳法证明不等式的关键点
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
2．常用的几点放缩技巧
(1)＜n＜；
(2)＜＜(n∈N*，n＞1)；
(3)＞＝2()；
(4)＜＝2()(k∈N*，k＞1)．
[跟进训练]
2．试用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
类型3 用数学归纳法证明一些数学命题
【例3】 证明：当n∈N*时，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
[尝试解答]
用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明．
[跟进训练]
3．求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f (n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*．
类型4 归纳—猜想—证明
【例4】 已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
[尝试解答]
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[跟进训练]
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为( )
A．n∈N* B．n∈N*，n≥2
C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
3．用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k(k∈N*)时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项( )能被9整除( )
A．3·7k＋6 B．3·7k+1＋6
C．3·7k－3 D．3·7k+1－3
4．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？
(2)你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？
(3)与自然数n有关的命题都必须用数学归纳法证明吗？数学归纳法一般用来证明哪几种类型？
