第三章 一元一次方程单元练习题（含解析）

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第三章 一元一次方程 同步练习 2023-2024学年七年级上册数学 （人教版）
一、单选题
1．一元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．若，是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果4个不同的正整数、、、满足，那么，等于）（　　）
A．16 B．24 C．28 D．32
4．已知方程的解是正数，则的最小整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若方程与的解互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程的解是整数，则整数的值有（　　）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
7．小华骑自行车从家到学校，若她的速度为，则可早到；若她的速度为，则会迟到．她家到学校的路程是（ ）
A． B． C． D．
8．“爱玛电动车”商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的，第二季度乙、丙两种型号车的销售额比第一季度减少了，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了，且甲型车的销售额比第一季度增加了，则a的值为（　　）
A．8 B．6 C．3 D．2
9．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（ ）
①点B对应的数是； ②点P到达点B时，；
③时，； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．
A．2个 B．1个 C．4个 D．3个
二、填空题
10．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ．
11．为了考察班级同学的某次考试情况，鹏辉老师分析了班级某个小组的成绩，以平均分作为标准，超过记为正数，不足记为负数，制作了如下的成绩分析表格，但是老师不小心把表格的数字弄脏了：
根据这个表格，被污染的格子中的数值之和＝ ．
12．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．
13．对任意一个三位正整数Q，如果Q的个位数字与百位数字的和等于十位数字，且Q的百位数字的2倍与个位数字相等，那么称这个数Q为“开心数”．例如：，满足，，所以正整数132是“开心数”．若m是“开心数”，且m能被9整除，则m的值为 ．
三、解答题
14．已知：
(1)求的值(结果用化简后含 a、b的式子表示)；
(2)在(1) 的条件下， 若是方程 的解，求a的值；
(3)若的值与a的取值无关， 求b的值．
15．阅读理解：
把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合就是一个好的集合．
(1)分别说明集合，是不是好的集合？
(2)所有好的集合中，元素个数最少的集合是______；
(3)如果一个好的集合有n个元素，那么这n个元素的和是______．
16．阅读下列材料：
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的有___________．
①；②；③
(2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值．
17．如图，数轴上点A表示a，a是多项式的二次项系数，点B表示b是绝对值最小的有理数，点C表示c，单项式的次数为c．
(1)依题意　 　，　 　，　 　．
(2)若点P从A点出发沿数轴向右运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点C出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时出发，在点D处相遇，D点所表示的有理数是
(3)在（2）的条件下，P、Q两点相遇后继续运动，点P运动到点C时返回（点P返回A处Q也停止运动），求P、Q相遇后再经过多少秒P、Q两点的距离为6（直接写出结果）．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元一次方程解的定义“使一元一次方程等号两边相等的未知数的值是一元一次方程的解”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、当时，左边，右边，左边右边，故不是该方程的解，不符合题意；
B、当时，左边，右边，左边=右边，故是该方程的解，符合题意；
C、当时，左边，右边，左边右边，故不是该方程的解，不符合题意；
D、当时，左边，右边，左边右边，故不是该方程的解，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【详解】、利用等式性质，两边都加，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都减去，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都乘，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、成立的条件是，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，等式的性质：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，结果仍相等．
3．D
【分析】本题考查的是乘法运算的含义，一元一次方程的应用，根据四个不同在正整数之积等于9，结合，再建立方程求解即可.
【详解】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足，
∴满足题意可能为：，，，，
解得：，，，，
则．
故选：D．
4．C
【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得，再根据方程的解是正数，求出，即可得到的最小整数解．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
方程的解是正数，
，
，
的最小整数解是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
5．A
【分析】先解，由两个方程的解互为相反数，则把代入，解方程即可．
【详解】解：
，
，
∵方程与的解互为相反数，
∴的解为：，
∴，
，
，解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
6．D
【分析】本题考查的是含参数的一元一次方程的整数解问题，先把方程整理为，再根据方程的解为整数，例举的因数，再建立简单方程求解即可．
【详解】解：，
整理，得，
由于x、k均为整数，
∴当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或；
所以k的取值共有16个．
故选D．
7．D
【分析】设他家到学校的路程为，根据每小时骑，可早到；每小时骑，就会迟到，列方程求解即可．
【详解】解：设他家到学校的路程为，
由题意得，．
解得：，
所以他家到学校的路程为，
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
8．D
【分析】把第一季度的销售额看作单位1，根据题意可得关于a的方程式，求解可得答案．
【详解】解：把第一季度的销售额看作单位1；
则有，
解可得：；
故选：D．
【点睛】这里注意要把第一季度的销售额看作整体1．根据两种不同的表示方法表示第二季度的销售额列方程求解．
9．D
【分析】本题考查了数轴， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．
【详解】解：设点对应的数是，
点A对应的数为，且，
，
，
点对应的数是，
故①正确；
由题意得：（秒），
点到达点时，，
故②正确；
当点在点右边时，
，，
，
（秒），
当点在点左边时，
，，
，
（秒），
综上，时，或；
故③错误；
，始终为，的中点，
，，
当点在点右边时，
，
当点在点左边时，
，
在点的运动过程中，线段的长度不变，
故④正确；
所以，上列结论中正确的有个，
故选：D．
10．5
【分析】根据一元一次方程解的定义,把 代入原方程得到关于 的方程,求出 的值，然后解关于 的方程即可；
【详解】解：把 代入方程 ，
得 ，
解得 ，
把 代入方程 ，
得 ，
，
，
，
；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等
11．13
【分析】根据题意可知被污染的格子中的数值之和与记录的数的和等于0，据此列方程解答即可．
【详解】解：设被污染的格子中的数值之和为x,根据题意得：
，
解得，
即被污染的格子中的数值之和为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的含义．
12．
【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．
【详解】解：设，则关于y的方程化为：，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．
13．
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，设m的百位数字为a，表示出m，再根据m能被9整除得出关于a的方程即可求解．
【详解】解：设m的百位数字为a，则个位数字为2a，十位数字为，
∴，
∵m能被9整除，
∴，
∴m的值为，
故答案为：．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先化简，再把，，代入计算即可；
（2）把（1）的计算结果代入得，再把代入计算即可；
（3）由（1）得，再根据的值与a的取值无关，得，求解即可．
【详解】（1）解：
，
∵，，
∴原式
；
（2）解：∵
∴
∴
把代入，得
∴；
（3）解：由（1）得，
∵的值与a的取值无关，
∴
∴．
【点睛】本题考查整式的加减混合运算，方程的解，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
15．(1)不是“好”的集合，是“好”的集合；
(2)
(3)一个“好”的集合有个元素，这个元素的和是．
【分析】（1）用减去集合中的每一个元素，根据所得结果是否也在该集合当中进行判断即可；
（2）元素个数最少的集合中只要有一个元素，故此，从而可求得问题的答案；
（3）读懂“好”的集合的意义，分情况讨论好集合中元素的和的情况．
【详解】（1）解：，
∴不是“好”的集合，
，，，，
∴是“好”的集合；
（2）解：由题意可得：，
解得：，
∴元素个数最少的“好”的集合是；
故答案为：；
（3）解：当为偶数时，这个元素的和是，
当为奇数时，，
∴一个“好”的集合有个元素，这个元素的和是．
【点睛】本题主要考查的是有理数的减法以及新定义的知识，理解好集合的概念是解题的关键．
16．(1)②
(2)
【分析】（1）根据“和解方程”的定义逐一判断即可得到答案；
（2）先求出方程的解，再根据“和解方程”的定义可得关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①，方程的解是，，故方程①不是“和解方程”；
②，方程的解是，而，故方程②是“和解方程”；
③，方程的解是，而，故方程③不是“和解方程”；
故答案为：②；
（2）解：因为关于的一元一次方程是“和解方程”，而方程的解是，
所以，
解这个方程，得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确理解“和解方程”的定义、熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键．
17．(1)，0，9
(2)4
(3)2或4
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、单项式、多项式．
（1）根据“a是多项式的二次项系数，b是绝对值最小的有理数，单项式的次数为c”，即可得出a，b，c的值；
（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P，Q相遇时两点表示的数相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）利用时间＝路程÷速度，可分别求出点P运动到点C所需时间及点P返回点A所需时间，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可求出t值，再将其代入中，即可求出结论；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号一元一次方程，解之可求出t值，再将其代入中，即可求出结论．综上所述，即可得出当P、Q相遇后再经过2秒或4秒，P、Q两点的距离为6．
【详解】（1）解：∵a是多项式的二次项系数，b是绝对值最小的有理数，的次数为c，
∴，，．
（2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：D点所表示的有理数是4；
（3）解：（秒）．
当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得，
解得：，
∴；
当时，点P表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或(不符合题意，舍去)，
∴．
综上所述，当相遇后再经过2秒或4秒时，P、Q两点的距离为6．
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