第十三章 轴对称单元练习题（含解析）
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第十三章 轴对称 同步练习 2023-2024学年八年级上册数学 （人教版）
一、单选题
1．现实生活中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．实 B．验 C．中 D．学
2．下列说法中①与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③在三角形全等的判定中，至少要一条边对应相等才能判定两个三角形全等；其中正确说法的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．如图，直线是四边形的对称轴，交于Q，点P在线段上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，与关于直线对称，则的度数
7．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为 ．
8．已知点和点关于x轴对称，则 ．
9．一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为 ．
10．如图，中，，，是的中线，，则 ．
11．如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．
三、解答题
12．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是18，求的周长．
13．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)一格点P到点A、B的距离相等（PA=PB），则网格中满足条件的点P共有___________个；
(3)在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．
14．如图，为等腰直角三角形，， ，是的中线．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)若P为线段上一动点（不与点D，C重合），以为直角边作等腰直角，其中，点A，E在直线同侧，连接，求的度数；
(3)若P为线段延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，其中，点A，E在直线同侧，且点A关于直线对称点记为，求证：，，三点在同一条直线上．
15．如图所示．
(1)请画出关于轴对称的图形；
(2)若点在内，其关于轴对称的点的坐标为 ；
(3)求轴上一点的坐标，使的值最小．
参考答案：
1．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：实、验、学不具有对称性，中具有对称性，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定定理逐个进行判断即可．
【详解】解：①与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确；②角平分线上的点到角两边的距离相等，正确；③在三角形全等的判定中，至少要一条边对应相等才能判定两个三角形全等，正确．
正确的有：①②③，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
3．A
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质．熟练掌握：轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合（即全等）是解题的关键．
由直线是四边形的对称轴，可知，，根据全等的性质判断作答即可．
【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，
∴，，
∴，，，，
∴B、C、D正确，故不符合要求；
∵与不一定相等，
∴A错误，故符合要求；
故选：A．
4．C
【分析】通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确．
【详解】解：，
，
，，
，故①正确；
若，
由①得，
，
，故②正确；
若，则可得，
，
D为中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得，
故，
当时，
；
当，
，故④不正确，
所以正确的为①②③，为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
5．D
【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得．
【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F，
则，，
∴，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，
∵四边形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．
6．/度
【分析】根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【详解】解：与关于直线l对称，
∴，
，
∴，
的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．
7．13
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
则的周长，
，，
的周长，
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．
【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，根据“关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
【详解】解：点和点关于x轴对称，
∴，
故答案为：．
9．
【分析】需要分两种情况讨论：当等腰三角形的三边长分别为、、时；当等腰三角形的三边长分别为、、时．
【详解】当等腰三角形的三边长分别为、、时，可以构成三角形，等腰三角形的周长．
当等腰三角形的三边长分别为、、时，不可以构成三角形．
综上所述，等腰三角形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，能根据题意分类讨论是解题的关键．
10．4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出是解题的关键．过点作于，由含30度角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再求解即可．
【详解】解：如图，过点作于，
在直角中，
，，
，
，
∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴．
故答案为：4．
11．18
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的垂直平分线，在上运动，
∴，
∴的周长，
∴要想的周长最小，即的值最小，
∴当、、三点共线时，的值最小，此时，
∴此时的周长，
∴的周长最小值为，
故答案为：．
12．的周长为12
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质；利用垂直平分线的性质先求解，证明，可得的周长为，再结合的周长可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长，
∵的周长为18，
∴，，
即的周长为12．
13．(1)见解析
(2)5
(3)见解析
【分析】（1）找出各顶点关于直线l对称的对应点，再顺次连接即可；
（2）作线段的垂直平分线即可解答；
（3）连接，则与直线l的交点即为点Q．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，点都满足条件，故共有5点．
故答案为：5；
（3）解：如图，点Q即为所作．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．(1)证明见解析
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得，，进而即可得到结论；
（2）过点E作交延长线于F，由是等腰直角三角形，可得，，有，可证（AAS），有，从而得是等腰直角三角形，故可得到结果；
（3）过点E作交延长线于，同（2）可证（AAS），可推出，即得，，，三点在同一条直线上．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：过点E作交延长线于F，如图所示：
，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）证明：过点E作交延长线于，如图：
，
同（2）可证（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，关于对称，
∴，
∴，
∴，，三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中的几何变换，涉及三角形全等的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用关于轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法，连接，求出的表达式，由于点在轴上，故当时，，即得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解： ∵点坐标为，
∴点关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：连接，如上图所示，设所在直线的解析式为，
∵将，代入得：，
解得：，
∴即，
∵点在轴上，
∴当时，；
∴．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题的关键．
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第十三章 轴对称 同步练习 2023-2024学年八年级上册数学 （人教版）
一、单选题
1．现实生活中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．实 B．验 C．中 D．学
2．下列说法中①与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③在三角形全等的判定中，至少要一条边对应相等才能判定两个三角形全等；其中正确说法的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．如图，直线是四边形的对称轴，交于Q，点P在线段上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，与关于直线对称，则的度数
7．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为 ．
8．已知点和点关于x轴对称，则 ．
9．一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为 ．
10．如图，中，，，是的中线，，则 ．
11．如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．
三、解答题
12．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是18，求的周长．
13．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)一格点P到点A、B的距离相等（PA=PB），则网格中满足条件的点P共有___________个；
(3)在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．
14．如图，为等腰直角三角形，， ，是的中线．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)若P为线段上一动点（不与点D，C重合），以为直角边作等腰直角，其中，点A，E在直线同侧，连接，求的度数；
(3)若P为线段延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，其中，点A，E在直线同侧，且点A关于直线对称点记为，求证：，，三点在同一条直线上．
15．如图所示．
(1)请画出关于轴对称的图形；
(2)若点在内，其关于轴对称的点的坐标为 ；
(3)求轴上一点的坐标，使的值最小．
参考答案：
1．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：实、验、学不具有对称性，中具有对称性，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定定理逐个进行判断即可．
【详解】解：①与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确；②角平分线上的点到角两边的距离相等，正确；③在三角形全等的判定中，至少要一条边对应相等才能判定两个三角形全等，正确．
正确的有：①②③，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
3．A
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质．熟练掌握：轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合（即全等）是解题的关键．
由直线是四边形的对称轴，可知，，根据全等的性质判断作答即可．
【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，
∴，，
∴，，，，
∴B、C、D正确，故不符合要求；
∵与不一定相等，
∴A错误，故符合要求；
故选：A．
4．C
【分析】通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确．
【详解】解：，
，
，，
，故①正确；
若，
由①得，
，
，故②正确；
若，则可得，
，
D为中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得，
故，
当时，
；
当，
，故④不正确，
所以正确的为①②③，为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
5．D
【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得．
【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F，
则，，
∴，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，
∵四边形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．
6．/度
【分析】根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【详解】解：与关于直线l对称，
∴，
，
∴，
的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．
7．13
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
则的周长，
，，
的周长，
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．
【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，根据“关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
【详解】解：点和点关于x轴对称，
∴，
故答案为：．
9．
【分析】需要分两种情况讨论：当等腰三角形的三边长分别为、、时；当等腰三角形的三边长分别为、、时．
【详解】当等腰三角形的三边长分别为、、时，可以构成三角形，等腰三角形的周长．
当等腰三角形的三边长分别为、、时，不可以构成三角形．
综上所述，等腰三角形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，能根据题意分类讨论是解题的关键．
10．4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出是解题的关键．过点作于，由含30度角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再求解即可．
【详解】解：如图，过点作于，
在直角中，
，，
，
，
∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴．
故答案为：4．
11．18
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的垂直平分线，在上运动，
∴，
∴的周长，
∴要想的周长最小，即的值最小，
∴当、、三点共线时，的值最小，此时，
∴此时的周长，
∴的周长最小值为，
故答案为：．
12．的周长为12
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质；利用垂直平分线的性质先求解，证明，可得的周长为，再结合的周长可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长，
∵的周长为18，
∴，，
即的周长为12．
13．(1)见解析
(2)5
(3)见解析
【分析】（1）找出各顶点关于直线l对称的对应点，再顺次连接即可；
（2）作线段的垂直平分线即可解答；
（3）连接，则与直线l的交点即为点Q．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，点都满足条件，故共有5点．
故答案为：5；
（3）解：如图，点Q即为所作．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．(1)证明见解析
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得，，进而即可得到结论；
（2）过点E作交延长线于F，由是等腰直角三角形，可得，，有，可证（AAS），有，从而得是等腰直角三角形，故可得到结果；
（3）过点E作交延长线于，同（2）可证（AAS），可推出，即得，，，三点在同一条直线上．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：过点E作交延长线于F，如图所示：
，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）证明：过点E作交延长线于，如图：
，
同（2）可证（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，关于对称，
∴，
∴，
∴，，三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中的几何变换，涉及三角形全等的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用关于轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法，连接，求出的表达式，由于点在轴上，故当时，，即得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解： ∵点坐标为，
∴点关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：连接，如上图所示，设所在直线的解析式为，
∵将，代入得：，
解得：，
∴即，
∵点在轴上，
∴当时，；
∴．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题的关键．
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