第十五章 分式单元练习题（含解析）
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第十五章 分式
一、单选题
1．下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．当分别取，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A． B． C． D．
5．随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在年交付第一台工艺的国产沉浸式光刻机，其中数据（即）用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
7．定义运算“※”：．若，则x的值为（ ）
A． B．或10 C．10 D．或
8．若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A． B．或 C． D．或
9．某校八年级学生到距学校的公园植树，一部分同学骑自行车先行，经后，其余同学乘汽车出发，由于■．设自行车的速度为，则可得方程为．根据此情境和所列方程，题中被墨水污损部分的内容应该是（ ）
A．汽车速度比自行车速度每小时多，结果同时到达
B．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
C．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到
D．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到
二、填空题
10．已知m、n互为相反数，且满足，则的值是 ．
11．在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：，括号里应填 ．
12．，那么 ．
13．若，则分式的值为 ．
14． ．
15．已知代数式与的值互为倒数，则 ．
三、解答题
16．已知：代数式
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
17．如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．
18．阅读下面材料
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用，表示，例如，请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子①，②，③，④中，属于对称式的是 （填序号）；
(2)已知
①若，求对称式的值；
②若，求对称式的最小值，写出求解过程；
③若，直接写出对称式的最大值 ．
19．计算：
(1)
(2)
20．已知关于的方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若方程有增根，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的定义，式子（A、B均为整式）的分母中含有字母称为分式，能熟记分式的实质是分母中含有字母是解此题的关键．
2．B
【分析】本题考查分式的约分，先对分子分母的多项式因式分解，再根据分式的基本性质进行约分，是解决问题的关键．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，分子不能因式分解，已经是最简分式，故D错误；
故选：B．
3．B
【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法的运算法则是解题的关键．
4．A
【分析】先求出和时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．
【详解】解：当和时，
当时，，
则所求的和为，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．
5．D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：D．
6．D
【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案．
【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意；
是二元一次方程，故B不符合题意；
是一元一次方程，故C不符合题意；
符合分式方程的定义，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．
7．B
【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出的值．
【详解】解：当时，，即：，
解得：；
经检验是分式方程的解；
当时，，即，
解得：；
经检验是分式方程的解；
故答案为：或．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验．
8．B
【分析】本题考查分式方程的增根问题，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值即可．
【详解】解：
∵关于x的分式方程无解，
∴当时，即时，分式方程无解；
当时，，
此时分式方程有增根，
∴，解得或
∴当时，即，解得；
∴当时，即，无解；
综上所述，k的取值是或．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查根据分式方程找已知条件的能力，根据题意可知方程的等量关系为：骑自行车的时间乘汽车的时间，进而可知被墨水污损部分的内容．
【详解】解：由方程可知汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达．
故选：B．
10．3
【分析】由m与n互为相反数得到，得到，将已知等式左边利用平方差公式分解因式，求出，，代入所求式子中计算即可求出值．
【详解】∵m、n互为相反数，
∴，即，
∵
∴
∴
∴
解得
∴
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，平方差公式法因式分解，以及相反数，求分式的值，求出m与n的值是解本题的关键．
11．
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0 的整式，分式的值不变”是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】把等式右边变形成与左边形式一致即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．5
【分析】根据，可得，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查分式的化简求值，根据分式的性质把变形得出是解题的关键．
14．9
【分析】先计算零次幂、有理数的乘方，再计算减法．
【详解】解：，
故答案为：9．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握任何一个不等于0的数的零次幂等于1．
15．
【分析】本题考查了解分式方程、倒数的性质，根据题意得到，然后解方程即可，最后要检验，解题的关键是根据倒数概念正确列出方程、解方程．两个数互为倒数相乘为1．
【详解】∵代数式与的值互为倒数，
∴
∴
解得，
检验：将代入，
∴．
故答案为：．
16．(1)时，该式无意义
(2)
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；
（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；
所以时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时，，
即．
【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键．
17．14
【分析】根据题意得到，，根据完全平方公式求出、根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
18．(1)①②④
(2)①；②；③2
【分析】（1）根据对称式的定义逐个判断即可；
（2）①根据已知,然后对所求代数式变形并整体代入即可解答；②将对称式化简后整理为非负数的形式即可解答；③将对称式化简后，再配方即可求得最大值．
【详解】（1）解：①，②③，④．
由定义可知属于对称式的是①②④．
故答案为：①②④．
（2）解：∵，
∴,
∴,
①，
∴；
答：对称式的值为；
②若，则，
∴，
∴
，
，
．
答：对称式的最小值为．
③∵.
∴,
而
，
∵，
∴的最大值为2，
∴对称式的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、数字的变化类、配方、非负数的性质、新定义等知识点，掌握分式计算法则及配方法是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式化简．
（2）先计算乘除，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
【点睛】本题考查整式混合运算，熟练掌握整式乘法公式和单项式除以单项式法则是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）把代入方程中，根据解分式方程的步骤，两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，解出整式方程的解后要检验是否是分式方程的解；
（2）方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解整式方程的解，由于原分式方程有增根，故整式方程的解让最简公分母等于0，代入即可求出k的值．
【详解】（1）当时，原方程为：，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）
方程两边同乘，得，
解得：，
∵方程有增根，
∴当时，，即，
解得：．
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第十五章 分式
一、单选题
1．下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．当分别取，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A． B． C． D．
5．随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在年交付第一台工艺的国产沉浸式光刻机，其中数据（即）用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
7．定义运算“※”：．若，则x的值为（ ）
A． B．或10 C．10 D．或
8．若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A． B．或 C． D．或
9．某校八年级学生到距学校的公园植树，一部分同学骑自行车先行，经后，其余同学乘汽车出发，由于■．设自行车的速度为，则可得方程为．根据此情境和所列方程，题中被墨水污损部分的内容应该是（ ）
A．汽车速度比自行车速度每小时多，结果同时到达
B．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
C．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到
D．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到
二、填空题
10．已知m、n互为相反数，且满足，则的值是 ．
11．在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：，括号里应填 ．
12．，那么 ．
13．若，则分式的值为 ．
14． ．
15．已知代数式与的值互为倒数，则 ．
三、解答题
16．已知：代数式
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
17．如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．
18．阅读下面材料
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用，表示，例如，请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子①，②，③，④中，属于对称式的是 （填序号）；
(2)已知
①若，求对称式的值；
②若，求对称式的最小值，写出求解过程；
③若，直接写出对称式的最大值 ．
19．计算：
(1)
(2)
20．已知关于的方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若方程有增根，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的定义，式子（A、B均为整式）的分母中含有字母称为分式，能熟记分式的实质是分母中含有字母是解此题的关键．
2．B
【分析】本题考查分式的约分，先对分子分母的多项式因式分解，再根据分式的基本性质进行约分，是解决问题的关键．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，分子不能因式分解，已经是最简分式，故D错误；
故选：B．
3．B
【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法的运算法则是解题的关键．
4．A
【分析】先求出和时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．
【详解】解：当和时，
当时，，
则所求的和为，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．
5．D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：D．
6．D
【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案．
【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意；
是二元一次方程，故B不符合题意；
是一元一次方程，故C不符合题意；
符合分式方程的定义，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．
7．B
【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出的值．
【详解】解：当时，，即：，
解得：；
经检验是分式方程的解；
当时，，即，
解得：；
经检验是分式方程的解；
故答案为：或．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验．
8．B
【分析】本题考查分式方程的增根问题，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值即可．
【详解】解：
∵关于x的分式方程无解，
∴当时，即时，分式方程无解；
当时，，
此时分式方程有增根，
∴，解得或
∴当时，即，解得；
∴当时，即，无解；
综上所述，k的取值是或．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查根据分式方程找已知条件的能力，根据题意可知方程的等量关系为：骑自行车的时间乘汽车的时间，进而可知被墨水污损部分的内容．
【详解】解：由方程可知汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达．
故选：B．
10．3
【分析】由m与n互为相反数得到，得到，将已知等式左边利用平方差公式分解因式，求出，，代入所求式子中计算即可求出值．
【详解】∵m、n互为相反数，
∴，即，
∵
∴
∴
∴
解得
∴
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，平方差公式法因式分解，以及相反数，求分式的值，求出m与n的值是解本题的关键．
11．
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0 的整式，分式的值不变”是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】把等式右边变形成与左边形式一致即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．5
【分析】根据，可得，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查分式的化简求值，根据分式的性质把变形得出是解题的关键．
14．9
【分析】先计算零次幂、有理数的乘方，再计算减法．
【详解】解：，
故答案为：9．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握任何一个不等于0的数的零次幂等于1．
15．
【分析】本题考查了解分式方程、倒数的性质，根据题意得到，然后解方程即可，最后要检验，解题的关键是根据倒数概念正确列出方程、解方程．两个数互为倒数相乘为1．
【详解】∵代数式与的值互为倒数，
∴
∴
解得，
检验：将代入，
∴．
故答案为：．
16．(1)时，该式无意义
(2)
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；
（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；
所以时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时，，
即．
【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键．
17．14
【分析】根据题意得到，，根据完全平方公式求出、根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
18．(1)①②④
(2)①；②；③2
【分析】（1）根据对称式的定义逐个判断即可；
（2）①根据已知,然后对所求代数式变形并整体代入即可解答；②将对称式化简后整理为非负数的形式即可解答；③将对称式化简后，再配方即可求得最大值．
【详解】（1）解：①，②③，④．
由定义可知属于对称式的是①②④．
故答案为：①②④．
（2）解：∵，
∴,
∴,
①，
∴；
答：对称式的值为；
②若，则，
∴，
∴
，
，
．
答：对称式的最小值为．
③∵.
∴,
而
，
∵，
∴的最大值为2，
∴对称式的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、数字的变化类、配方、非负数的性质、新定义等知识点，掌握分式计算法则及配方法是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式化简．
（2）先计算乘除，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
【点睛】本题考查整式混合运算，熟练掌握整式乘法公式和单项式除以单项式法则是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）把代入方程中，根据解分式方程的步骤，两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，解出整式方程的解后要检验是否是分式方程的解；
（2）方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解整式方程的解，由于原分式方程有增根，故整式方程的解让最简公分母等于0，代入即可求出k的值．
【详解】（1）当时，原方程为：，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）
方程两边同乘，得，
解得：，
∵方程有增根，
∴当时，，即，
解得：．
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