1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习任务 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象) 2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用．(数学抽象、逻辑推理)
回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由．
知识点1 空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
(3)表示法：
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
1．平面向量与空间向量有什么区别与联系？
提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．
(2)联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念等在平面和空间中都适用．
单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
知识点2 空间向量的线性运算及其运算律
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＝
减法 a－b＝＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点3 共线向量与共面向量
(1)
共线(平行)向量 共面向量
定义 位置 关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个平面的向量
特征 方向相同或相反
特例 零向量与任意向量共线
充要条件 共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
2.(1)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？
(2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示：(1)共面．由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量共面，故点P与点A，B，C共面．
(2)x＋y＋z＝1.
证明如下：①充分性
∵＝x＋y＋z可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴＝y()＋z()，
∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面．
②必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n，
＝m()＋n()，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，
点O在平面ABC外，
∴不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c． ( )
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb． ( )
(3)任意两个空间向量必共面，任意三个空间向量也一定共面． ( )
(4)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面． ( )
(5)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y． ( )
提示：(1)× 当b＝0时，a∥c不一定成立．
(2)× 当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb.
(3)× 任意两个空间向量必共面，但任意三个空间向量不一定共面．
(4)× 三条直线不一定在同一平面内．
(5)× 当共线，不共线时，x，y不存在．
2．下列命题中：
①向量与的长度相等；
②将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆；
③空间向量就是空间中的一条有向线段；
④方向相同且模相等的两个向量是相等向量．
是真命题的为________(填序号)．
①④ [对于②，其终点构成一个球面，所以②是假命题；对于③空间向量可以用一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以③是假命题；易知①，④为真命题．故填①④．]
3．化简＝________．
0 [＝＝0．]
类型1 空间向量的有关概念及其简单应用
【例1】 给出下列结论：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；
⑥如图2所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量有3个．
其中正确的是________．(填序号)
③⑤⑥ [当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误；
要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；
命题③是相等向量的传递性，显然正确；
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误；
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量的方向相同，模也相等，所以＝，故⑤正确；
在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量分别为，故⑥正确．]
(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
[跟进训练]
1．如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有共3个．
(2)向量的相反向量为.
(3)||＝
＝＝＝3.
类型2 空间向量的线性运算
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)；
(2)；
(3)＋)．
[解] (1)＝＝＝；
(2)＝＝＋＝＝；
(3)设点M为CB′的中点，则
＋)
＝＋)
＝＋＝.
即化简后所对应的向量如图所示．
向量的线性运算，实质上是在运用数乘向量运算律的基础上进行向量求和，即通过运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
[跟进训练]
2．已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y.
[解] (1)如图所示，＝，由向量加法运算的平行四边形法则可得＝)，
故＝－－，
所以＝＝－－.
所以x＝－，y＝－.
(2)因为＝2，所以＝2①，同理＝2②，
将②代入①得＝＋2－2，
所以x＝2，y＝－2.
类型3 空间向量的共线和共面问题
共线问题
【例3】 如图，已知M为四面体ABCD的面BCD的重心，连接BM并延长交CD于点E，G为AM的中点，N在AE上，且＝λ，且B，G，N三点共线．试求λ的值．
[解] 设＝a，＝b，＝c，
所以＝＝＋×)＝＋)＝(a＋b＋c)．
所以＝＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c.
＝＝＋λ＝＋λ()＝－a＋λb＋λc.
因为B，G，N三点共线，故存在实数k，使＝k，
即－a＋b＋c＝k，
故解得k＝，λ＝.
[母题探究]
将本例条件改为：已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
[解] 设＝a，＝b，＝c，
则＝＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＝＋)＝－a＋b＋c＝.
所以∥，即B，G，N三点共线．
证明空间三点共线有哪些方法？
提示：对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟进训练]
3．如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
[解] 法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝
＝＋. ①
又∵＝
＝－－， ②
①＋②得2＝，
∴∥，即共线．
法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝
＝)－
＝)－)
＝)
＝)
＝.
∴∥，即共线．
共面问题
【例4】 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面．
[证明] 如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，
连接EG，MQ，EF，EH.
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R分别为所在边的中点．
∴顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，且有＝＝＝＝.
∵四边形MNQR为平行四边形，
∴＝＝－＝＝)＝)＋)＝×＋×＝.
∴为共面向量，
又∵三向量有相同的起点E，
∴E，F，G，H四点共面．
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb(x，y为实数)，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
[跟进训练]
4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求证：向量共面．
[证明] 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理，＝＋.
所以＝＝＋＋＋＝＋＝＋.
又不共线，根据向量共面的充要条件可知共面．
1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是( )
A．任一向量与它的相反向量都不相等
B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C．平行且模相等的两个向量是相等向量
D．若a≠b，则|a|≠|b|
B [对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错．
对于B，根据相等向量的定义知，B正确．
对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错．
对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错．因此选B．]
2．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
A．()＋
B．()＋
C．()＋
D．()＋
ABCD [对于A，()＋＝＝；对于B，()＋＝＝；
对于C，()＋＝＝；
对于D，()＋＝＝.故选ABCD．]
3．下列条件，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．||＝||
C [对于空间中的任意向量，都有＝，选项A错误；若＝，则＝，而＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；若||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．]
4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．若由＝＋＋λ可确定点P与A，B，C共面，则λ＝________．
[∵A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，且由＝＋＋λ可确定点P与A，B，C共面，
∴＋＋λ＝1，解得λ＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？
提示：适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中．
2．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
提示：当b＝0时，不一定存在λ值．
3．如何证明点P，A，B，C四点共面？
提示：可转化为证明向量共面．1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习任务 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象) 2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用．(数学抽象、逻辑推理)
回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由．
知识点1 空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，具有________和________的量叫做空间向量．
(2)长度：空间向量的________叫做空间向量的长度或________．
(3)表示法：
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做______，记为0
单位向量 ________的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度________而方向________的向量，叫做a的相反向量，记为－a
相等向量 方向______且模________的向量叫做相等向量，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线____________，那么这些向量叫做________或平行向量
1．平面向量与空间向量有什么区别与联系？
单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
知识点2 空间向量的线性运算及其运算律
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＝
减法 a－b＝＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝________
知识点3 共线向量与共面向量
(1)
共线(平行)向量 共面向量
定义 位置 关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个____的向量
特征 方向____或____
特例 零向量与任意向量____
充要条件 共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________ 共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使______________
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，与向量a________的非零向量称为直线l的方向向量．
2．(1)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？
(2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c． ( )
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb． ( )
(3)任意两个空间向量必共面，任意三个空间向量也一定共面． ( )
(4)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面． ( )
(5)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y． ( )
2．下列命题中：
①向量与的长度相等；
②将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆；
③空间向量就是空间中的一条有向线段；
④方向相同且模相等的两个向量是相等向量．
是真命题的为________(填序号)．
3．化简＝________．
类型1 空间向量的有关概念及其简单应用
【例1】 给出下列结论：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；
⑥如图2所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量有3个．
其中正确的是________．(填序号)
[尝试解答]
(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
[跟进训练]
1．如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
类型2 空间向量的线性运算
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)；
(2)；
(3)＋)．
[尝试解答]
向量的线性运算，实质上是在运用数乘向量运算律的基础上进行向量求和，即通过运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
[跟进训练]
2．已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y．
类型3 空间向量的共线和共面问题
共线问题
【例3】 如图，已知M为四面体ABCD的面BCD的重心，连接BM并延长交CD于点E，G为AM的中点，N在AE上，且＝λ，且B，G，N三点共线．试求λ的值．
[尝试解答]
[母题探究]
将本例条件改为：已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3．求证：B，G，N三点共线．
证明空间三点共线有哪些方法？
[跟进训练]
3．如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
共面问题
【例4】 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面．
[尝试解答]
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb(x，y为实数)，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
[跟进训练]
4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求证：向量共面．
1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是( )
A．任一向量与它的相反向量都不相等
B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C．平行且模相等的两个向量是相等向量
D．若a≠b，则|a|≠|b|
2．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
A．()＋
B．()＋
C．()＋
D．()＋
3．下列条件，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．||＝||
4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．若由＝＋＋λ可确定点P与A，B，C共面，则λ＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？
2．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
3．如何证明点P，A，B，C四点共面？1.1.2 空间向量的数量积运算
学习任务 1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象) 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算)
回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由．
知识点1 空间向量的夹角
(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π] ．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角．
知识点2 空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
(2)空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交换律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空间两向量的数量积的性质
向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
共线 同向：则a·b＝|a|·|b|
反向：则a·b＝－|a|·|b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a|·|b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝
对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？
提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等．
知识点3 向量的投影
(1)向量a向向量b(直线l)的投影
如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)．
(2)向量a向平面β的投影
如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
空间向量a在b上的投影向量可以先将a平移到与b共起点，再作投影向量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同． ( )
(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直． ( )
(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉． ( )
(4)向量a在直线l上的投影是一个数量． ( )
(5)向量a在平面β上的投影是一个向量． ( )
提示：(1)× 当〈a，b〉>时，反向．
(2)√ 根据向量向直线的投影定义可知，c与a－c垂直．
(3)√ 根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确．
(4)× (5)√
2．(源自人教B版教材)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)〈〉＝________；
(2)〈〉＝________；
(3)〈〉＝________；
(4)〈〉＝________．
(1) (2) (3) (4)π
[(1)〈〉＝〈〉＝；
(2)〈〉＝〈〉＝π－〈〉＝；
(3)〈〉＝〈〉＝；
(4)〈〉＝〈〉＝π．]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2，则＝________．
4 [||＝||＝2，〈〉＝60°，
∴＝||||cos 60°＝2×2×＝4．]
类型1 空间向量数量积的运算
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
(2).
[解] (1)法一：因为是长方体，而且AA′＝AD＝2，
所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，
||＝AA′＝1，
||＝BC′＝＝2，
因此＝||||cos 〈〉＝2×1×＝2.
法二：由图可以看出，上的投影是，而且||＝AA′＝1，
注意到的方向相同，所以等于的长，
即＝||＝2.
(2)由图可以看出，上的投影是，
而且||＝AA′＝1，
注意到的方向相反，
所以等于的长的相反数，
即＝－||＝－2.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解．
[跟进训练]
1．(2022·云南昆明高二月考)已知单位向量a，b满足|a|＝|a＋b|，则·b＝( )
A． B．1 C． D．0
D [∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1.
∵|a|＝|a＋b|，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，
∴·b＝a·b＋b2＝－＋＝0.故选D．]
2．已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于( )
A． B．－ C． D．－
B [如图，∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴＝，
∵空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，∴每个面都是等边三角形，
∴＝＝＝－＝－·||·||·cos ＝－×1×1×＝－，故选B．]
类型2 利用数量积证明空间中的垂直关系
【例2】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝
＝＋)
＝c＋a＋b，
＝＝b－a，
＝＝)＋
＝a＋b－c，
∴ ＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD．
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD．
用向量法证明垂直关系的步骤是什么？
提示：(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
[跟进训练]
3．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
[证明] 如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC．
类型3 利用数量积求夹角和距离
用数量积求角
【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cos 〈〉的值．
[解] 因为＝＝－＝，
所以||2＝＝()2＝＋＝12＋22＋12＝6，即||＝，
||2＝＝()2＝＝12＋22＝5，即||＝，
＝()·()＝－＝22－12＝3，
所以cos 〈〉＝＝＝.
［母题探究］
1．本例中条件不变，求与夹角的余弦值．
[解] 由例题知，
＝
所以
2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．
[解] 由已知得
因为
所以
因为
所以
又因为
所以．
所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为．
利用向量求异面直线夹角的步骤
[跟进训练]
4．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________．
[如图，设＝a，＝b，＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝.
因为＝)＝(a＋b)，
＝＝＝c－b，
所以＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.
又因为||＝||＝，
所以cos 〈〉＝＝－.
所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为．]
利用数量积求距离(线段长)
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
[思路导引] ∠ACD＝90°→＝0，＝0→AB与CD成60°角→〈〉＝60°或〈〉＝120°＝求||→B，D间的距离．
[解] ∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得＝0.
∵AB与CD成60°角，
∴〈〉＝60°或〈〉＝120°.
又＝，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝3＋2×1×1×cos 〈〉．
∴当〈〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
[跟进训练]
5．如图所示，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
[解] 设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＝－＋＝－a＋b＋c，
所以||2＝＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
1．已知|a|＝4.向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e上的投影向量为( )
A．2e B．－2e C．－e D．e
B [由题意得向量a在向量e上的投影向量为
|a|cos 〈a，e〉＝4cos e＝－2e．]
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．90°
B [由题意得：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)
＝＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝
＝
＝＝，
|b|＝＝
＝
＝＝.
设a，b夹角为θ，cos θ＝＝＝－，0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°，故选B．]
3．(多选)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是( )
A．2 B．2
C．2 D．2
AC [如图所示，2＝2||||cos 120°＝2a·a cos 120°＝－a2，故A正确；2＝2||||·cos 60°＝2a·a cos 60°＝a2，故B错误；2＝2||·||cos 180°＝2··a cos 180°＝－a2，故C正确；
2＝2||||·cos 120°＝2··a cos 120°＝－，故D错误．故选AC．]
4．如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，则MN的长为________．
a [因为＝＝＋()＋)＝－＋＋，
所以＝
＝－－＋＋＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋＝a2.
所以||＝a，即MN＝a．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？
提示：一致．
2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．
提示：|c|＝|a|cos 〈a，b〉或|c|＝.
3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？
提示：可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．1.1.2 空间向量的数量积运算
学习任务 1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象) 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算)
回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由．
知识点1 空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝____时，两向量同向共线；当θ＝____时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．
因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角．
知识点2 空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则____________叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝________________．
规定：零向量与任意向量的数量积为____________________________________．
(2)空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交换律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空间两向量的数量积的性质
向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b _________
共线 同向：则a·b＝|a|·|b|
反向：则a·b＝－|a|·|b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝_______，|a|＝，|a·b|≤|a|·|b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝
对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？
知识点3 向量的投影
(1)向量a向向量b(直线l)的投影
如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)．
(2)向量a向平面β的投影
如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与________所成的角．
空间向量a在b上的投影向量可以先将a平移到与b共起点，再作投影向量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同． ( )
(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直． ( )
(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉． ( )
(4)向量a在直线l上的投影是一个数量． ( )
(5)向量a在平面β上的投影是一个向量． ( )
2．(源自人教B版教材)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)〈〉＝________；
(2)〈〉＝________；
(3)〈〉＝________；
(4)〈〉＝________．
3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2，则＝________．
类型1 空间向量数量积的运算
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
[尝试解答]
(2)．
[尝试解答]
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解．
[跟进训练]
1．(2022·云南昆明高二月考)已知单位向量a，b满足|a|＝|a＋b|，则·b＝( )
A． B．1 C． D．0
2．已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于( )
A． B．－ C． D．－
类型2 利用数量积证明空间中的垂直关系
【例2】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．
[尝试解答]
用向量法证明垂直关系的步骤是什么？
[跟进训练]
3．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
类型3 利用数量积求夹角和距离
用数量积求角
【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cos 〈〉的值．
[尝试解答]
[母题探究]
1．本例中条件不变，求与夹角的余弦值．
2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．
利用向量求异面直线夹角的步骤
[跟进训练]
4．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________．
利用数量积求距离(线段长)
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
[思路导引] ∠ACD＝90°→＝0，＝0→AB与CD成60°角→〈〉＝60°或〈〉＝120°＝求||→B，D间的距离．
[尝试解答]
求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
[跟进训练]
5．如图所示，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
1．已知|a|＝4．向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e上的投影向量为( )
A．2e B．－2e C．－e D．e
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．90°
3．(多选)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是( )
A．2 B．2
C．2 D．2
4．如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，则MN的长为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？
2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．
3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？
