1.2 空间向量基本定理
学习任务 1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象) 2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象) 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p
知识点1 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0
提示：因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0.
空间中任意三个不共面向量都可作为一组基底．
知识点2 空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的． ( )
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量． ( )
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面． ( )
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0． ( )
(5)空间的单位正交基底是唯一的． ( )
(6)单位正交基底中每一个基向量是单位向量． ( )
(7)对于单位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． ( )
提示：(1)× 任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．
(2)√ 若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．
(3)√ 不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面．
(4)√ a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0.
(5)× 不唯一．
(6)√ 由单位正交基底的定义可知正确．
(7)√ 由向量正交分解知正确．
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用{}为基底表示，则＝________．
[∵＝＝，
∴＝＝＋．]
类型1 空间的基底
【例1】 {e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以不共面．
所以{}能作为空间的一个基底．
基底判断的基本思路和注意问题
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
[跟进训练]
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用基底表示空间向量
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
[解] 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝－＝－)
＝－(b＋a)．
又＝－c，＝a，＝＝b，
所以＝
＝－(b＋a)－c＋a＋b
＝a－c.
[母题探究]
若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解] 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以，＝＝－c＋a，
∴＝(a－c)．
又＝b，所以＝－b，
所以＝
＝(a－c)－c－b
＝a－c－b.
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[跟进训练]
2．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，若Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
[解] 连接AC，AD′，AC′(图略)，
(1)＝)＝)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝)＝＋2＋)
＝a＋b＋c.
(3)＝)＝[(＋)＋()]＝＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4)＝＝＋)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
类型3 空间向量基本定理的应用
证明空间直线、平面的位置关系
【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[证明] 取基底{}，
(1)因为＝＝＋＝＝2，所以∥，
又EG，AC无公共点，所以EG∥AC．
(2)因为＝＝＋，＝＝2，所以∥，
又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′.
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C．
(1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．
(2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求证：BD⊥平面ADC．
[证明] 设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
＝()·
＝，
由于＝·()
＝＝1，
＝||·||cos 60°
＝××＝1.
∴＝0，即BD⊥AC．
又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD 平面ADC，∴BD⊥平面ADC．
求线段的长度或两点间的距离
【例4】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且3BP＝BC，记＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示；
(2)求的模．
[解] (1)＝＝()－()＝－(b＋c)＝a－b－c.
(2)因为AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以a·b＝3，a·c＝1，b·c＝，
||＝
＝
＝＝.
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离．
[跟进训练]
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
[解] ∵＝，
∴||2＝()2
＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝62＋42＋32＋2||||·cos 120°＝61－12＝49，
∴||＝7，即PC＝7.
求两直线的夹角
【例5】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
(1)设＝a，＝b，＝c，{a，b，c}构成空间的一个基底，用它们表示.
(2)求AC1与MN的夹角．
[解] (1)＝
＝＋＝－＝a－b，
＝＝a＋b＋c.
(2)因为由(1)得＝·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c－b·a－b2－b·c
＝×42＋×4×4×＋×4×5×－×4×4×－×42－×4×5×＝0，
所以⊥，所以AC1与MN的夹角为.
求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
(2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝，求cos 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
[跟进训练]
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
[解] ∵＝＝＝，
且＝＝＝0，
∴＝＋＝－＝－1.
又∵||＝，||＝＝，
∴cos 〈〉＝＝＝，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B [①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一个基底；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一个基底；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B．]
2．如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，点N为BC的中点，则＝( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
B [∵＝＝b－a，
＝＝)＝(c－b)，
∴＝
＝a＋(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
故选B．]
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为基底，则＝＝－a＋c，＝＝a＋b＋c.
又||＝2，||＝，
所以cos 〈〉
＝＝＝＝.
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．]
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则||等于________．
a [∵＝＝－
＝－)
＝＋－，
∴||＝
＝
＝a．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？
提示：a，b，c不共面．
2．叙述空间向量基本定理的内容．
提示：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)
提示：(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．1.2 空间向量基本定理
学习 任务 1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象) 2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象) 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p
知识点1 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．
其中{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做基向量．
对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0？
空间中任意三个不共面向量都可作为一组基底．
知识点2 空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为____，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个________的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的． ( )
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量． ( )
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面． ( )
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0． ( )
(5)空间的单位正交基底是唯一的． ( )
(6)单位正交基底中每一个基向量是单位向量． ( )
(7)对于单位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． ( )
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用{}为基底表示，则＝________．
类型1 空间的基底
【例1】 {e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[尝试解答]
基底判断的基本思路和注意问题
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
[跟进训练]
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？
类型2 用基底表示空间向量
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示．
[尝试解答]
[母题探究]
若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[跟进训练]
2．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，若Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)．
类型3 空间向量基本定理的应用
证明空间直线、平面的位置关系
【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[尝试解答]
(1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．
(2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°．
求证：BD⊥平面ADC．
求线段的长度或两点间的距离
【例4】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且3BP＝BC，记＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示；
(2)求的模．
[尝试解答]
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离．
[跟进训练]
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
求两直线的夹角
【例5】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
(1)设＝a，＝b，＝c，{a，b，c}构成空间的一个基底，用它们表示．
(2)求AC1与MN的夹角．
[尝试解答]
求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
(2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝，求cos 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
[跟进训练]
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，点N为BC的中点，则＝( )
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．a＋b－c
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则||等于________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？
2．叙述空间向量基本定理的内容．
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)
