1.3.1 空间直角坐标系
学习任务 1．了解空间直角坐标系．(数学抽象) 2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念．(直观想象) 3．能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标．(数学运算)
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
(2)在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标？
知识点1 空间直角坐标系
(1)建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系．
(2)有关概念
坐标轴 x轴、y轴、z轴
原点 点O
坐标向量 i，j，k
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面，它们把空间分成八个部分
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
知识点2 空间中点的坐标和空间向量的坐标
(1)点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A( x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
(2)给定向量a，若＝a，则a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z)．
空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴与y轴的夹角为45°． ( )
(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分． ( )
(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系． ( )
(4)若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z)． ( )
(5)若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)． ( )
(6)若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)． ( )
(7)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同． ( )
提示：(1)× 空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直．
(2)× 空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分．
(3)√ 原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系．
(4)× {e1，e2，e3}不一定是单位正交基底．
(5)× 点A不一定和原点O重合．
(6)√ 根据空间向量的坐标定义可知．
(7)√ 由＝可知的坐标相同．
类型1 求空间点的坐标
【例1】 长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为|AB|＝8，|AD|＝3，|AA′|＝5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐标．
[解] 如图所示，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA′为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，因此A，B，C，D的坐标分别是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0)．
由于点A′，B′，C′，D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内，又|AA′|＝5，所以这四点的竖坐标z都是5.又过A′，B′，C′，D′分别作xAy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，因此A′，B′，C′，D′的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同．
因此A′，B′，C′，D′的坐标分别是A′(0，0，5)，B′(8，0，5)，C′(8，3，5)，D′(0，3，5)．
1．若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标．
[跟进训练]
1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
[解] 如图，连接AC，BD交于点O，连接PO.
∵四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a，
∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD．
∴OA＝a，
PO＝＝＝a.
∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
(1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)．
(2)∵M为棱PB的中点，
∴M，
即M.
类型2 求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
点P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？
提示：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Ozx平面的对称点为(x，－y，z)．
[跟进训练]
2．点P(－3，2，－1)关于平面Ozx的对称点是______，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________．
(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5，2，3) [点P(－3，2，－1)关于平面Ozx的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3，2，－1)关于M(1，2，1)的对称点为(x，y，z)．
则解得
故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3)．]
类型3 求空间向量的坐标
【例3】 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出的坐标．
[解] 分别取BC，B1C1的中点D，D1，所以DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，因为AD＝，DC＝，所以＝＝2k，＝－－＝－i－j＋2k，＝＝i－j＋2k，所以＝(0，0，2)，＝，＝.
用坐标表示空间向量的步骤
[跟进训练]
3．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{}为正交基底，建系如图所示，求下列向量的坐标：
(1)；
(2).
[解] 在正交基底{}下，
(1)＝＝＋＝＋，
所以＝＝＝.
(2)＝＝＋，
所以＝；
＝＝－－，
所以＝；＝＝－，
所以＝.
1．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系Oxyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若＝－e1＋e2－e3，则B点的坐标为( )
A．(－1，1，－1) B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1) D．不确定
D [向量的坐标与B点的坐标不同，由于A点的坐标未知，故无法确定B点的坐标．]
2．已知点A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2，3) B．(－3，2，－3)
C．(－3，2，3) D．(－3，－2，－3)
C [点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在x轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为(－3，2，3)．]
3．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为( )
A．(3，5，4) B．
C． D．
C [由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是．]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为 ________，的坐标为 ________．
(1，0，0) (1，0，1) [由题图可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，
所以＝(1，0，0)，＝＝(0，0，1)＋(1，0，0)＝(1，0，1)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？
提示：(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线．
(2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内．
(3)充分利用几何图形的对称性．
2．如何确定空间一点P的坐标？
提示：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z)．
3．如何求空间向量的坐标？
提示：在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示，从而求出空间向量的坐标．1.3.1 空间直角坐标系
学习 任务 1．了解空间直角坐标系．(数学抽象) 2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念．(直观想象) 3．能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标．(数学运算)
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
(2)在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标？
知识点1 空间直角坐标系
(1)建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以____________的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系．
(2)有关概念
坐标轴 ________轴、________轴、________轴
原点 点________
坐标向量 ________，________，________
坐标平面 ______平面、______平面和______平面，它们把空间分成______个部分
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向________的正方向，食指指向________的正方向，如果中指指向________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
知识点2 空间中点的坐标和空间向量的坐标
(1)点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝__________，则________叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A( x，y，z)，其中____叫做点A的横坐标，____叫做点A的纵坐标，____叫做点A的竖坐标．
(2)给定向量a，若＝a，则a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z)．
空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴与y轴的夹角为45°． ( )
(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分． ( )
(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系． ( )
(4)若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z)． ( )
(5)若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)． ( )
(6)若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)． ( )
(7)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同． ( )
类型1 求空间点的坐标
【例1】 长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为|AB|＝8，|AD|＝3，|AA′|＝5．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐标．
[尝试解答]
1．若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标．
[跟进训练]
1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
类型2 求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[尝试解答]
点P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？
[跟进训练]
2．点P(－3，2，－1)关于平面Ozx的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________．
类型3 求空间向量的坐标
【例3】 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出的坐标．
[尝试解答]
用坐标表示空间向量的步骤
[跟进训练]
3．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{}为正交基底，建系如图所示，求下列向量的坐标：
(1)；
(2)．
1．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系Oxyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若＝－e1＋e2－e3，则B点的坐标为( )
A．(－1，1，－1) B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1) D．不确定
2．已知点A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2，3) B．(－3，2，－3)
C．(－3，2，3) D．(－3，－2，－3)
3．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为( )
A．(3，5，4) B．
C． D．
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为 ________，的坐标为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？
2．如何确定空间一点P的坐标？
3．如何求空间向量的坐标？1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习任务 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(数学运算) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(数学运算、逻辑推理)
平面向量运算的坐标表示：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2.
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
知识点1 空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模 |a|＝＝
夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？
提示：当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
知识点3 向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
P1P2＝||＝_．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|． ( )
(2)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b． ( )
(3)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则＝(－3，－3，－3)． ( )
(4)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量． ( )
提示：(1)√ |a|＝＝，|b|＝＝，所以|a|＝|b|.
(2)√ 由a·b＝0，得a⊥b.
(3)× 由A(1，2，3)，B(4，5，6)，得＝(4－1，5－2，6－3)＝(3，3，3)．
(4)× 若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，所以a不是单位向量．
2．已知空间向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，则m＋n＝______，3m－n＝________，2m·(－3n)＝________．
(－1，－1，1) (5，－11，19) 168 [m＋n＝(1，－3，5)＋(－2，2，－4)＝(－1，－1，1)；
3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2，－4)＝(5，－11，19)；
2m·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168．]
3．若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则＝__________，||＝________．
(1，－1，－1) [＝(1，－1，－1)，
||＝＝．]
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求出点P的坐标使＝)．
(1)2 [c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]
(2)[解] ＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)，
∴＝(6，3，－4)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
[跟进训练]
1．已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cos 〈p，q〉．
[解] 由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，
所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9)．
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)
＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2
＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26.
(4)cos 〈p，q〉＝
＝
＝＝－.
类型2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
由向量平行、垂直关系求参数
【例2】 已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________．
[因为a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，
又2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)．
又ka＋b与2a－b垂直，
所以3(k－1)＋2k＝0，解得k＝．]
[母题探究]
本例的条件“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求k的值．
[解] 因为a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)，
又ka＋b与2a－b互相平行，
所以存在λ，使得ka＋b＝λ(2a－b)，(k－1，k，k＋2)＝λ(3，2，0)，
所以解得
利用平行与垂直求参数时要注意：
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；
(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
[跟进训练]
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[解] (1)因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，所以
解得所以λ＝，m＝3.
(2)因为|a|＝且a⊥c，
所以
化简得解得λ＝－1.
因此a＝(0，1，－2)．
向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：
(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[证明] 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．
由中点坐标公式，得E，F，G，H.
(1)＝(1，0，1)，＝，＝.
因为＝2＝1×＋1×＝0，
所以∥⊥，
即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)＝＝，＝.
因为＝－＋0＝0，＝＋0－＝0，
所以⊥⊥，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．
利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.
[证明] 设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．
∵点F为CD的中点，
∴F.
(1)∵＝＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，
∴＝)，
又AF 平面BCE，∴AF∥平面BCE.
(2)∵＝＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)，∴＝0，＝0，
∴⊥⊥，
∴AF⊥CD，AF⊥ED．
又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.
又AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.
类型3 利用空间向量的坐标运算解决
夹角和距离问题
【例4】 (源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求证：⊥.
[解] 如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
则＝(1，－1，1)，||＝＝.
(2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)．
因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以||＝＝，
||＝＝，
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cos 〈〉＝＝＝.
故cos 〈〉的值为.
(3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M.
因为＝(－1，1，－2)，＝，
所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，
即⊥.
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
提示：(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．
[跟进训练]
4．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P使得PS⊥PD．
(1)求a的最大值；
(2)当a取得最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值．
[解] 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BP＝x(0∴＝(－a，－x，1)，＝(－a，2－x，0)．
(1)∵PS⊥PD，∴＝0，
∴a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1，
∴当x＝1时，a取得最大值1.
(2)由(1)知，当a取得最大值1时，＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，
∴cos 〈〉＝＝，
即异面直线AP与SD所成角的余弦值为.
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
B [b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)，故选B．]
2．已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为( )
A． B．4 C．6 D．2
C [A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B(2，－1，3)，
所以|AB|＝＝6.故选C．]
3．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
4 [由a∥b得a＝λb，所以
解得所以x－y＝4．]
4．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是______．
[∵＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
∴||＝，||＝，
＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，
∴cos 〈〉＝＝＝－，又〈〉∈[0，π]，
∴〈〉＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
提示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时 ，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos 〈a，b〉＝＝.
2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？
提示：(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习任务 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(数学运算) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(数学运算、逻辑推理)
平面向量运算的坐标表示：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2.
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
知识点1 空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法 a＋b＝__________________________
减法 a－b＝__________________________
数乘 λa＝________，λ∈R
数量积 a·b＝__________________
知识点2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb ______________________
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 ________________________(a，b均为非零向量)
模 |a|＝＝________________
夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？
知识点3 向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则＝__________________；P1P2＝||＝____________________．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|． ( )
(2)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b． ( )
(3)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则＝(－3，－3，－3)． ( )
(4)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量． ( )
2．已知空间向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，则m＋n＝______，3m－n＝________，2m·(－3n)＝________．
3．若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则＝__________，||＝________．
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求出点P的坐标使＝)．
[尝试解答]
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
[跟进训练]
1．已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cos 〈p，q〉．
类型2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
由向量平行、垂直关系求参数
【例2】 已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________．
[尝试解答]
[母题探究]
本例的条件“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求k的值．
利用平行与垂直求参数时要注意：
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；
(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
[跟进训练]
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．
向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：
(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[尝试解答]
利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE．
类型3 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
【例4】 (源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求证：⊥．
[尝试解答]
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[跟进训练]
4．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P使得PS⊥PD．
(1)求a的最大值；
(2)当a取得最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值．
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
2．已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为( )
A． B．4 C．6 D．2
3．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
4．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是______．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？
