1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习任务 1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象) 2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？
知识点1 空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
知识点2 空间直线的向量表示式
(1)如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t．如图2，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，或＝＋t②.①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
1．如何确定直线的方向向量？
提示：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量．
知识点3 空间平面的向量表示式
(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定
条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式 对于平面α上任意一点P，存在唯一有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb
(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
2.如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？
提示：n⊥，即n·＝0.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量． ( )
(2)若向量v是直线l的方向向量，则λv(λ≠0)也是直线l的方向向量． ( )
(3)直线l的方向向量都平行，且方向相同． ( )
(4)平面α的所有法向量都平行，且同向． ( )
(5)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量． ( )
(6)向量i＝(1，0，0)是坐标平面Oyz的一个法向量． ( )
提示：(1)√ (2)√ (3)×
(4)× 法向量也可能方向相反．
(5)× 当λ＝0时，λn＝0，不能作为平面的法向量．
(6)√ x轴垂直于坐标平面Oyz.
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，2，3)的位置向量是________．
＝(1，2，3) [位置向量＝(1，2，3)．]
类型1 直线的方向向量
【例1】 (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1 C． D．3
(2)(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3.以点D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
①AA′；②BD′.
(1)A [∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，
＝(－1，2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设＝km，∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0．]
(2)[解] 由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
①因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为(0，0，3)．
②因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为(－4，－2，3)．
求直线的方向向量的两种方法
(1)在直线l上确定两点A，B，则就是直线l的方向向量．
(2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则就是直线l的方向向量．
[跟进训练]
1．(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
(2)从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为( )
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C． D．
(1)AB (2)A [(1)∵M，N在直线l上，
∴＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．
(2)设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为||＝34，
即＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17．]
类型2 求平面的法向量
【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0，，0)，P(0，0，1)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
[母题探究]
本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
[解] 如图所示，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量为(1，，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为(0，1，)．
如何确定平面的法向量？
提示：按如下步骤求平面的法向量：
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中A，B，D，A1的坐标分别为A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量．
[解] 由于z轴垂直于平面ABCD，而z轴可用方向向量＝(0，0，a)表示，因此(0，0，a)是平面ABCD的一个法向量．
设n＝(x，y，z)是平面BDA1的法向量．
由已知得＝(－a，a，0)，＝(－a，0，a)，
因而
取x＝1，得y＝z＝1，
则n＝(1，1，1)是平面BDA1的一个法向量．
1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(2，1，1) B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
B [∵＝(－1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B．]
2．过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是( )
A．(1，1，1) B．(1，1，－1)
C．(1，0，1) D．(－1，0，1)
A [＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)．设该平面的法向量为a＝(x，y，z)．
由题意知a·＝0，a·＝0，
所以，即，令z＝1，得平面的一个法向量是(1，1，1)．]
3．(多选)设(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A．(2，1，3) B．(4，1，6)
C． D．(2，－4，－2)
AC [设点A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)，那么＝(2，1，3)，即为空间直线l的一个方向向量，－＝－(2，1，3)＝也是空间直线l的一个方向向量．故选AC．]
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______．
x＋2y－3z＝0 [由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？
提示：在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则就是直线l的方向向量．直线的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
提示：共线．
3．如何求一个平面的法向量？
提示：(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习任务 1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象) 2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？
知识点1 空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
知识点2 空间直线的向量表示式
(1)如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t．如图2，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋________①，或＝＋________②．①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
1．如何确定直线的方向向量？
知识点3 空间平面的向量表示式
(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定
条件 平面α内两条________直线的方向向量a，b和交点O
形式 对于平面α上任意一点P，存在唯一有序实数对(x，y)，使得＝________
(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的________，叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
2．如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量． ( )
(2)若向量v是直线l的方向向量，则λv(λ≠0)也是直线l的方向向量． ( )
(3)直线l的方向向量都平行，且方向相同． ( )
(4)平面α的所有法向量都平行，且同向． ( )
(5)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量． ( )
(6)向量i＝(1，0，0)是坐标平面Oyz的一个法向量． ( )
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，2，3)的位置向量是________．
类型1 直线的方向向量
【例1】 (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1 C． D．3
[尝试解答]
(2)(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
①AA′；②BD′．
[尝试解答]
求直线的方向向量的两种方法
(1)在直线l上确定两点A，B，则就是直线l的方向向量．
(2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则就是直线l的方向向量．
[跟进训练]
1．(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
(2)从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为( )
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C． D．
类型2 求平面的法向量
【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[尝试解答]
[母题探究]
本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
如何确定平面的法向量？
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中A，B，D，A1的坐标分别为A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量．
1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(2，1，1) B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
2．过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是( )
A．(1，1，1) B．(1，1，－1)
C．(1，0，1) D．(－1，0，1)
3．(多选)设(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A．(2，1，3) B．(4，1，6)
C． D．(2，－4，－2)
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？
2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
3．如何求一个平面的法向量？第2课时 空间中直线、平面的平行
学习任务 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象) 2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
平行是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？
知识点 空间中直线、平面平行的向量表达式
位置关系 向量表达式
线线平行 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2
线面平行 设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0
面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
提示：可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．
用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
1．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1，2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________．
l∥β [由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β．]
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，则平面α，β的位置是________．
α∥β [由v＝－4u知u∥v，所以α∥β．]
类型1 直线和直线平行
【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
[证明] 法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.
则分别为MN，RS的方向向量，
所以＝＝，
所以＝，所以∥，
因为M RS，
所以MN∥RS.
法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＝c－a＋b，
＝＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
向量法证明直线平行的两种思路
[跟进训练]
1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.
[证明] 法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，E，N，M，
所以＝(－1，0，1)，＝，
所以＝，故MN∥AP.
法二：由题意可得＝＝＋＝＋×)＝＋＋＝＋＝)＝，
所以MN∥AP.
类型2 直线和平面平行
【例2】 如图所示，在空间图形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD．
[思路导引] ―→建立空间直角坐标系BC，PB―→点A，C，D，P的坐标点M的坐标―→n·＝0，n·＝0―→n―→⊥nCM∥平面PAD．
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
因为∠PBC＝30°，PC＝2，
所以BC＝2，PB＝4.
于是D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2)．
因为PB＝4PM，
所以PM＝1，M.
所以＝＝(－1，0，2)，＝(3，2，0)．
设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
令x＝1，解得z＝，y＝－.
故n＝.
又因为·n＝＝0.
所以⊥n，又CM 平面PAD，
所以CM∥平面PAD．
[母题探究]
在本例条件下，在PA上是否存在一点N，使得DN∥平面PBC？若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由原例题的解析可知，
D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2)．
因为共线，
所以可设＝λ，
所以＝λ()，
所以＝λ＋(1－λ)＝λ(4，2，0)＋(1－λ)(0，0，2)＝(4λ，2λ，2(1－λ))，
＝＝(4λ－1，2λ，2(1－λ))，
由PC⊥平面ABCD，知PC⊥CD，
又BC⊥CD，PC∩BC＝C，
所以CD⊥平面PBC，
所以平面PBC的一个法向量为＝(1，0，0)，
若DN∥平面PBC，则＝4λ－1＝0，
解得λ＝，所以＝.
即存在点N在PA上，且满足PN∶PA＝1∶4时，DN∥平面PBC．
利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
[跟进训练]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
法二：＝＝－
＝)＝，
所以∥，又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
法三：＝＝－＝－＝)－)＝－.即可用线性表示，故是共面向量，又MN 平面A1BD，故MN∥平面A1BD．
类型3 平面与平面平行
【例3】 (源自湘教版教材)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面BDEF.
[证明] 如图所示，以点D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，M，
N，E，F.
于是＝＝，
＝＝.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，
则
取z1＝1，得x1＝2，y1＝－2，则n1＝(2，－2，1)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BDEF的法向量，
则
取z2＝1，得y2＝－2，x2＝2，则n2＝(2，－2，1)＝n1.
又平面AMN与平面BDEF不重合，
故平面AMN∥平面BDEF.
证明面面平行问题可用以下方法去证明：
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[跟进训练]
3．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1．
[证明] 因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，
所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，
所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)，F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
所以＝(0，0，2)，＝(，－1，0)，
＝(，－1，0)，＝(0，0，2)，
所以∥∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
因为DD1 平面AA1D1D，CC1 平面AA1D1D，
所以CC1∥平面AA1D1D．
因为DA 平面AA1D1D，CF 平面AA1D1D，
所以CF∥平面AA1D1D．
又CF∩CC1＝C，CF 平面FCC1，
CC1 平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
1．若不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－3，－6，6)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定
A [因为＝＝，所以a∥b.又直线l1，l2不重合，所以l1，l2平行．]
2．(2022·辽宁高二月考)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α或l∥α D．l与α斜交
C [因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，所以l α或l∥α.故选C．]
3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
C [因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4．]
4．若平面α外的一条直线l的一个方向向量是n＝(－1，2，－3)，平面α的一个法向量为m＝(4，－1，－2)，则l与α的位置关系是________．
平行 [n·m＝(－1，2，－3)·(4，－1，－2)＝0，
所以n⊥m.又l α，所以直线l与平面α平行，即l∥α．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线平行的向量表达式是什么？
提示：设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2.
2．直线和平面平行的向量表达式是什么？
提示：设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0.
3．平面和平面平行的向量表达式是什么？
提示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2.
4．证明线面平行有哪些方法？
提示：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．第2课时 空间中直线、平面的平行
学习 任务 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象) 2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
平行是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？
知识点 空间中直线、平面平行的向量表达式
位置关系 向量表达式
线线 平行 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2
线面 平行 设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0
面面 平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
1．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1，2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________．
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，则平面α，β的位置是________．
类型1 直线和直线平行
【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS．
[尝试解答]
向量法证明直线平行的两种思路
[跟进训练]
1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP．
类型2 直线和平面平行
【例2】 如图所示，在空间图形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD．
[思路导引] ―→建立空间直角坐标系BC，PB―→点A，C，D，P的坐标点M的坐标―→n·＝0，n·＝0―→n―→⊥nCM∥平面PAD．
[尝试解答]
[母题探究]
在本例条件下，在PA上是否存在一点N，使得DN∥平面PBC？若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由．
利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
[跟进训练]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
类型3 平面与平面平行
【例3】 (源自湘教版教材)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面BDEF．
[尝试解答]
证明面面平行问题可用以下方法去证明：
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[跟进训练]
3．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1．
1．若不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－3，－6，6)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定
2．(2022·辽宁高二月考)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α或l∥α D．l与α斜交
3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
4．若平面α外的一条直线l的一个方向向量是n＝(－1，2，－3)，平面α的一个法向量为m＝(4，－1，－2)，则l与α的位置关系是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线平行的向量表达式是什么？
2．直线和平面平行的向量表达式是什么？
3．平面和平面平行的向量表达式是什么？
4．证明线面平行有哪些方法？第3课时 空间中直线、平面的垂直
学习任务 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象) 2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置，由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置，那么就可以利用向量运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．下面我们就利用向量来研究垂直问题．
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式
位置关系 向量表达式
线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则l1⊥l2 μ1⊥μ2 μ1·μ2＝0
线面垂直 设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则l⊥α μ∥n λ∈R，使得μ＝λn
面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交． ( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0． ( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直． ( )
(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，则平面α，β互相垂直． ( )
提示：(1)× 两条直线可能异面垂直．
(2)√ 根据线面垂直的定义可知．
(3)× 也可能平行．
(4)√ 由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β.
类型1 直线和直线垂直
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中点，点E在边BC上移动．
求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
[证明] 法一：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AD＝a，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F.
∵E在BC上，设E(m，1，0)，∴＝(m，1，－1)，＝，
∴＝0，∴PE⊥AF.
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.
法二：因为点E在边BC上，可设＝λ，
于是＝()·)＝＋λ)·()＝＋λ＋λ)＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0.
因此⊥.
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤
(1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
[跟进训练]
1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
[证明] 法一：(基底法)设＝a，＝b，＝c，
则{a，b，c}为空间的一个基底．
∵AE＝EC，DF＝FC，
∴EF∥AD，且EF＝AD，
∴＝＝＝(c－a)．
又＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴＝(c－a)·b＝(c·b－a·b)＝0，
∴⊥，∴EF⊥BC．
法二：(坐标法)由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，
所以E，F，
所以＝＝(0，2，0)，
因此＝0，从而⊥，
所以EF⊥BC．
类型2 直线和平面垂直
【例2】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1.
[思路导引] 建立空间直角坐标系写出相关点的坐标―→求平面AED1的一个法向量―→证明与平面AED1的法向量平行―→B1E⊥平面AED1
[证明] 建立如图所示空间直角坐标系，
∴D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)．
又E为CD的中点，∴E(0，1，0)，∴＝(－1，－1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．
设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，
则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一个法向量．
又＝－n，∴∥n，
∴B1E⊥平面AED1.
证明直线与平面垂直的方法
(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．
[跟进训练]
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明] 法一：设＝a，＝c，＝b，
则＝＝)
＝)＝)
＝(－a＋b＋c)．
∵＝＝a＋b，
∴＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＋0＋0)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
∴＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)．
∴＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
∴⊥⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0，2，2)，
＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，则·n＝0，·n＝0，
即
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1，1，－1)，∴＝－n，
∴∥n，∴EF⊥平面B1AC．
类型3 平面与平面垂直
【例3】 (源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．
求证：平面BEF⊥平面ABC．
[证明] 如图所示，以点B为原点，分别以为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系．
设A(0，0，a)，则B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F.
于是＝(0，0，－a)，＝，
＝＝.
法一：(利用平面的法向量)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
则
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，则n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
则
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，则n2＝(1，1，－)是平面BEF的一个法向量．
因为n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用线面垂直)∵＝，
∴＝0，＝0，∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC
∴EF⊥平面ABC，又EF 平面BEF
∴平面BEF⊥平面ABC．
证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[跟进训练]
3．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
[证明] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
则＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，
＝.
法一：(利用平面的法向量)设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1，1，0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.
∴n2＝(1，－1，4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
法二：(利用线面垂直)取AC1的中点D，连接ED(图略)．
则D＝(1，1，0)，
∴＝0，＝0，
∴ED⊥AC1，ED⊥AC，
又AC1∩AC＝A，AC1，AC 平面AA1C1C，
∴ED⊥平面AA1C1C，
又ED 平面AEC1，
∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．已知直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C． D．3
B [由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]
2．若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α斜交
B [∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α．]
3．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程( )
A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0
D [因为E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，
所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，
因为CF⊥B1E，所以＝0，
即2－2z＝0，即z＝1．]
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
5 [∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线垂直的向量表达式是什么？
提示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？
提示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？
提示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
4．证明线面垂直有哪些方法？
提示：(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．
(2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．
(3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．第3课时 空间中直线、平面的垂直
学习 任务 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象) 2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置，由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置，那么就可以利用向量运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．下面我们就利用向量来研究垂直问题．
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式
位置关系 向量表达式
线线 垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则l1⊥l2 μ1⊥μ2 μ1·μ2＝0
线面 垂直 设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则l⊥α μ∥n λ∈R，使得μ＝λn
面面 垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交． ( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0． ( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直． ( )
(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，则平面α，β互相垂直． ( )
类型1 直线和直线垂直
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中点，点E在边BC上移动．
求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
[尝试解答]
用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤
(1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
[跟进训练]
1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
类型2 直线和平面垂直
【例2】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1．
[思路导引] 建立空间直角坐标系写出相关点的坐标―→求平面AED1的一个法向量―→证明与平面AED1的法向量平行―→B1E⊥平面AED1
[尝试解答]
证明直线与平面垂直的方法
(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．
[跟进训练]
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
类型3 平面与平面垂直
【例3】 (源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．
求证：平面BEF⊥平面ABC．
[尝试解答]
证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[跟进训练]
3．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．已知直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C． D．3
2．若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α斜交
3．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程( )
A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线垂直的向量表达式是什么？
2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？
3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？
4．证明线面垂直有哪些方法？1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
学习 任务 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模长．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到．
知识点1 点P到直线l的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝_＝．
点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．
知识点2 点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为( )
A． B． C． D．
A [＝(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d＝＝＝．]
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为________．
[由题意知，＝(－1，－2，4)，|n|＝＝3，
·n＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10，
∴点P到平面α的距离为＝．]
类型1 点到直线的距离
【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，1)，E，O，
因为＝，
u＝＝，
取a＝＝，
所以a2＝，a·u＝－.
所以点O到直线A1E的距离为＝＝.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离．
[解] 如图所示，以D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E，F，
于是＝＝.
因此||＝.
过点E作FA的垂线交FA于H，则上的投影向量．
于是，||＝＝＝.
所以点E到直线AF的距离||＝＝＝.
类型2 点、直线、平面到平面的距离
【例2】 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[思路导引] (1)建系P，A，C，E，F―→设平面PEF的法向量为n―→求n―→利用d＝求距离．
(2)易知AC∥EF点A到平面PEF的距离即为AC到平面PEF的距离―→求―→利用求A到平面PEF的距离．
[解] (1)建立以点D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，
所以＝＝，＝.
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)．
所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离d′＝＝＝，
所以直线AC到平面PEF的距离为.
1．用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝.
2．线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
[跟进训练]
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点O为A1B的中点，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝2.
(1)证明：BC∥平面AOC1；
(2)求点B到平面AOC1的距离．
[解] (1)证明：连接A1C，交AC1于点E，则E为A1C的中点．
连接OE，在△A1BC中，OE为中位线，则OE∥BC．因为OE 平面AOC1，BC 平面AOC1，
所以BC∥平面AOC1.
(2)设AC的中点为D，在平面ACC1A1内过点D作AC的垂线，连接BD．
如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，B(，0，0)，A(0，－，0)，
O，C1(0，，2)，
所以＝(，，0)，＝，
＝(0，2，2)．
设平面AOC1的法向量n＝(x，y，z)，
则得不妨取y＝，则n＝(，，－)．
故点B到平面AOC1的距离为＝＝.
1．已知直线l上一点A(2，3，1)，直线l与平面α平行，平面α上有一点P(4，3，2)且平面α的法向量为s＝(0，1，1)，则直线l到平面α的距离为( )
A． B． C． D．
B [因为A(2，3，1)，P(4，3，2)，所以＝(2，0，1)，因为l∥α，所以l到平面α的距离即为点A到平面α的距离．
由点到平面的距离公式得d＝＝＝，故选B．]
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A． B． C． D．
D [以P为原点，分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，又＝(1，0，0)，则点P到平面ABC的距离d＝＝．]
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A． B． C． D．3
B [∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B．]
4．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
[如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，
∴＝(－1，1，－)，
＝(－1，0，－)，
＝(－1，1，0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得x＝－，y＝0，
∴n＝(－，0，1)．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
提示：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
提示：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？
提示：先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β.由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β.于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b.因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝.1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
学习 任务 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模长．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到．
知识点1 点P到直线l的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝________________．
点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
知识点2 点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝______________．
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为( )
A． B． C． D．
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为________．
类型1 点到直线的距离
【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．
[尝试解答]
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离．
类型2 点、直线、平面到平面的距离
【例2】 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[思路导引] (1)建系P，A，C，E，F―→设平面PEF的法向量为n―→求n―→利用d＝求距离．
(2)易知AC∥EF点A到平面PEF的距离即为AC到平面PEF的距离―→求―→利用求A到平面PEF的距离．
[尝试解答]
1．用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝．
2．线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
[跟进训练]
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点O为A1B的中点，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝2．
(1)证明：BC∥平面AOC1；
(2)求点B到平面AOC1的距离．
1．已知直线l上一点A(2，3，1)，直线l与平面α平行，平面α上有一点P(4，3，2)且平面α的法向量为s＝(0，1，1)，则直线l到平面α的距离为( )
A． B． C． D．
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A． B． C． D．
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A． B． C． D．3
4．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝．第2课时 用空间向量研究夹角问题
学习任务 1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算) 2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
在必修教材的课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
知识点1 利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
1．设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？
提示：θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－.
知识点3 利用向量方法求两个平面的夹角
(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
2.(1)二面角与平面的夹角范围一样吗？
(2)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
提示：(1)不一样．二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是.
(2)θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
1．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为________．
[设直线a与b所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈，故θ＝．]
2．设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________．
[由题意设直线a与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝．]
3．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β的夹角为________．
[设u＝(1，0，－1)，v＝(0，－1，1)，α与β的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝，∴θ＝．]
类型1 两条异面直线所成的角
【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3.求AC′与A′D所成角的余弦值．
[解] 设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝，s2＝.
因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，
所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
设AC′与A′D所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝＝＝.
故AC′与A′D所成角的余弦值为.
求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[跟进训练]
1．如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．
[解] 以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，
A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos 〈〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
类型2 直线与平面所成的角
【例2】 (2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
[思路导引] (1)―→四边形ABCD为等腰梯形―→―→BD⊥平面PAD―→BD⊥PA．
(2)由(1)建系―→相关点坐标―→―→平面PAB的法向量―→PD与平面PAB所成角的正弦值．
[解] (1)证明：在四边形ABCD中，
因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD是等腰梯形，
易得BD＝，且AD2＋BD2＝AB2，
所以AD⊥BD，
又因为PD⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，
所以PD⊥BD．
因为PD，AD 平面PAD，PD∩AD＝D，
所以BD⊥平面PAD，
又因为PA 平面PAD，所以BD⊥PA．(2)由(1)可知，DA，DB，DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，
B(0，，0)，P(0，0，)，
所以＝(0，0，－)，＝(1，0，－)，
＝(0，，－)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即，
令y＝1，则z＝1，x＝，
故可取n＝(，1，1)，
设直线PD与平面PAB所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
所以PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
[跟进训练]
2．(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
[解] (1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.
又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.
因为△A1B1C1是正三角形，
所以B1C1⊥A1N.
又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N，
故B1C1⊥平面A1AMN.
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)由已知得AM⊥BC．
以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB＝2，AM＝.
连接NP，则四边形AONP为平行四边形，
故PM＝，E.
∵MN⊥BC，AM⊥BC，MN∩AM＝M，
∴BC⊥平面A1AMN.
又∵BC 平面ABC，且平面A1AMN∩平面ABC＝AM，
平面A1AMN⊥平面ABC，
在平面A1AMN内作NQ⊥AM，垂足为Q，
则NQ⊥平面ABC．
设Q(a，0，0)，则NQ＝，
B1，
故＝，
||＝.
又n＝(0，－1，0)是平面A1AMN的一个法向量，
故sin ＝cos 〈n，〉＝＝.
所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.
类型3 两个平面的夹角
【例3】 (2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 .
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
[思路导引] (1)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4―→三棱锥A-A1BC的体积―→点A到平面A1BC的距离．
(2)题设条件―→BA，BC，BB1两两垂直平面ABD与平面BDC的法向量平面ABD与平面BCD的法向量的夹角的余弦值二面角A-BD-C的正弦值．
[解] (1)设点A到平面A1BC的距离为h，
因为直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，
所以＝S△ABC×AA1＝＝，
又△A1BC的面积为2，
＝h＝×2h＝，所以h＝，
即点A到平面A1BC的距离为.
(2)取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B，
因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE 平面ABB1A1，
所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，
又AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥BC，因为AA1∩AE＝A，
所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB．
以B为坐标原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
由(1)知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2，
因为△A1BC的面积为2，
所以2＝×A1B×BC，所以BC＝2，
所以A(0，2，0)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，
A1(0，2，2)，D(1，1，1)，E(0，1，1)，
则＝(1，1，1)，＝(0，2，0)，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1，0，－1)，
又平面BDC的一个法向量为＝(0，－1，1)，
所以cos 〈，n〉＝＝＝－，
设二面角A-BD-C的平面角为θ，
则sin θ＝＝，
所以二面角A-BD-C的正弦值为.
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
[跟进训练]
3．(2021·全国乙卷改编)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)求BC；
(2)求平面APM与平面PMB夹角的正弦值．
[解] (1)因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥DC．
在矩形ABCD中，AD⊥DC，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．
设BC＝t，则A(t，0，0)，B(t，1，0)，M，
P(0，0，1)，
所以＝(t，1，－1)，＝.
因为PB⊥AM，所以＝－＋1＝0，得t＝，
所以BC＝.
(2)易知C(0，1，0)，由(1)可得＝(－，0，1)，＝＝(，0，0)，＝(，1，－1)．
设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝，则z1＝2，y1＝1，所以平面APM的一个法向量为n1＝(，1，2)．
设平面PMB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
得x2＝0，令y2＝1，则z2＝1，所以平面PMB的一个法向量为n2＝(0，1，1)．
cos 〈n1，n2〉＝＝＝，
所以平面APM与平面PMB夹角的正弦值为.
1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
B [设l与α的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
∴θ＝60°，应选B．]
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )
A． B．
C． D．
D [以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，
则＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0)，
∴cos 〈〉＝＝＝，即A1B与AC所成角的余弦值是．]
3．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [由＝＝，知这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为．]
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．
[cos θ＝＝＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．
提示：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝.
2．用向量语言表述直线和平面所成的角．
提示：直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝.
3．用向量语言表述平面和平面的夹角．
提示：平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝.
4．试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤．
提示：(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标．
(2)求出两个平面的法向量．
(3)求出两个法向量的夹角．
(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．第2课时 用空间向量研究夹角问题
学习任务 1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算) 2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
在必修教材的课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
知识点1 利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝______________．
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝__________．
1．设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？
知识点3 利用向量方法求两个平面的夹角
(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中____________的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝____________．
2．(1)二面角与平面的夹角范围一样吗？
(2)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
1．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为________．
2．设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________．
3．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β的夹角为________．
类型1 两条异面直线所成的角
【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角的余弦值．
[尝试解答]
求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[跟进训练]
1．如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．
类型2 直线与平面所成的角
【例2】 (2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
[思路导引] (1)―→四边形ABCD为等腰梯形―→―→BD⊥平面PAD―→BD⊥PA．
(2)由(1)建系―→相关点坐标―→―→平面PAB的法向量―→PD与平面PAB所成角的正弦值．
[尝试解答]
利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝．
[跟进训练]
2．(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
类型3 两个平面的夹角
【例3】 (2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 ．
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
[思路导引] (1)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4―→三棱锥A-A1BC的体积―→点A到平面A1BC的距离．
(2)题设条件―→BA，BC，BB1两两垂直平面ABD与平面BDC的法向量平面ABD与平面BCD的法向量的夹角的余弦值二面角A-BD-C的正弦值．
[尝试解答]
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
[跟进训练]
3．(2021·全国乙卷改编)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求平面APM与平面PMB夹角的正弦值．
1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )
A． B． C． D．
3．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．
2．用向量语言表述直线和平面所成的角．
3．用向量语言表述平面和平面的夹角．
4．试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤．
