2.2.1 直线的点斜式方程
学习任务 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程．(数学运算) 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学运算)
我们知道，一点与一个方向可以确定一条直线．例如，如图所示，直线l经过点P(0，3)，且斜率k＝2，则直线l上的每个点在平面直角坐标系中的位置就被确定了．也就是说，对于直线l上不同于点P的每一个点，其坐标都和已知点P的坐标与斜率存在某种恒定的数量关系．那么，这一数量关系是什么呢？
知识点1 直线的点斜式方程
名称 点斜式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k
示意图
方程 y－y0＝k(x－x0)
使用范围 斜率存在的直线
经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直线，方程为x＝x0.
知识点2 直线的斜截式方程
(1)截距：我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距；
(2)斜截式：方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
1.斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在．
2．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零．
知识点3 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1⊥l2 k1k2＝－1.
1．已知直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝60°，则直线的点斜式方程是________．
y＋3＝(x－2) [所求直线的斜率k＝tan 60°＝，直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)．]
2．已知直线l的方程为y＝－2x－2，则直线l在y轴上的截距b＝________．
－2 [由直线的斜截式方程可知b＝－2．]
3．已知直线l1：y＝x＋2与l2：y＝－2ax＋1平行，则a＝________．
－ [由l1∥l2得－2a＝1，解得a＝－．]
类型1 直线的点斜式方程
【例1】 (源自湘教版教材)已知直线l经过点P(2，3)，斜率为2，求直线l的方程，并画出该直线．
[解] 经过点P(2，3)，斜率为2的直线的点斜式方程是y－3＝2(x－2)．
画该直线时，可在直线l上另取一点P1(x1，y1)，如取x1＝1，y1＝1，得P1(1，1)，过P，P1作直线即为所求，如图所示．
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与y轴平行；
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)两点．
[解] (1)因为直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)直线与y轴平行，斜率不存在，其直线方程为x＝3.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又因为直线过点P(－2，3)，
所以直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
类型2 直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
(2)在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
[思路导引]
[解] (1)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
(2)与y轴夹角为60°的直线倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直线的斜截式方程为y＝±x－6.
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
[跟进训练]
2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
[解] 设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
类型3 利用斜截式方程求平行与垂直的条件
【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
[解] (1)由题意可知＝＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知＝＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，
解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直
设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1与l2重合 k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2 k1·k2＝－1.
[跟进训练]
3．已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
[解] 当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋.
由－＝－得m＝±；由≠，得m≠或m≠，－＝－1无解．
故当m＝－时，l1与l2平行；
当m＝0时，l1与l2垂直．
1．经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为( )
A．y－3＝－(x－2)
B．y＋3＝－(x－2)
C．y＋3＝－x－2
D．y＋3＝x－2
D [倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用直线的点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2．]
2．倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x＋2 D．y＝x－2
B [斜率为tan 120°＝－，则直线方程为y＝－x－2．]
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
D [由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－，∴所求直线方程为y＝－x＋4．]
4．在平面直角坐标系中，下列三个结论：
①每一条直线都有点斜式方程；
②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；
③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0.
其中正确结论的序号为________．
③ [直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误．点(2，－1)不在方程k＝所表示的直线上，所以②错误．③显然正确．]2.2.1 直线的点斜式方程
学习任务 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程．(数学运算) 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学运算)
我们知道，一点与一个方向可以确定一条直线．例如，如图所示，直线l经过点P(0，3)，且斜率k＝2，则直线l上的每个点在平面直角坐标系中的位置就被确定了．也就是说，对于直线l上不同于点P的每一个点，其坐标都和已知点P的坐标与斜率存在某种恒定的数量关系．那么，这一数量关系是什么呢？
知识点1 直线的点斜式方程
名称 点斜式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k
示意图
方程 ______________________
使用范围 斜率存在的直线
经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直线，方程为x＝x0.
知识点2 直线的斜截式方程
(1)截距：我们把直线l与y轴的交点(0，b)的________叫做直线l在y轴上的截距；
(2)斜截式：方程____________由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程____________叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
方程________叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
1.斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在．
2．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零．
知识点3 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1⊥l2 k1k2＝－1.
1．已知直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝60°，则直线的点斜式方程是________．
2．已知直线l的方程为y＝－2x－2，则直线l在y轴上的截距b＝________．
3．已知直线l1：y＝x＋2与l2：y＝－2ax＋1平行，则a＝________．
类型1 直线的点斜式方程
【例1】 (源自湘教版教材)已知直线l经过点P(2，3)，斜率为2，求直线l的方程，并画出该直线．
[尝试解答]
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与y轴平行；
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)两点．
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
(2)在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
[思路导引]
[尝试解答]
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
[跟进训练]
2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
类型3 利用斜截式方程求平行与垂直的条件
【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
[尝试解答]
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
[尝试解答]
已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直
设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2．
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1与l2重合 k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2 k1·k2＝－1．
[跟进训练]
3．已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
1．经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为( )
A．y－3＝－(x－2) B．y＋3＝－(x－2)
C．y＋3＝－x－2 D．y＋3＝x－2
2．倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x＋2 D．y＝x－2
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
4．在平面直角坐标系中，下列三个结论：
①每一条直线都有点斜式方程；
②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；
③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0．
其中正确结论的序号为________．2.2.2 直线的两点式方程
学习任务 1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
我们知道，两点可以确定一条直线，因此，直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定，即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系．
如图所示，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，对于直线l上其他的任意一点Q(x，y)，A，B，Q三点坐标间的数量关系是怎样的呢？
知识点1 直线的两点式方程
名称 两点式
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
方程 _＝
使用范围 不表示垂直于坐标轴的直线
两点式方程也可写成＝，需注意等号左右两边的字母、下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2.
知识点2 直线的截距式方程
(1)直线在x轴上的截距
把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距．
(2)直线的截距式方程
名称 截距式
已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b
示意图
方程 ＋＝1
使用范围 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距，所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便．
1．过点(1，2)，(5，3)的直线方程是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
B [所求直线过点(1，2)，(5，3)，将两点坐标代入两点式，得＝．]
2．直线－＝1在y轴上的截距是________．
－b2 [直线的截距式方程为＋＝1，因此直线在y轴上的截距是－b2．]
3．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
－ [直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－．]
类型1 直线的两点式方程
【例1】 (源自湘教版教材)如图所示，已知三角形的三个顶点为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解] (1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝.
整理得2x＋5y＋10＝0.
这就是BC边所在直线的方程．
(2)BC中点M的坐标为＝.
过A(－3，2)，M的直线的两点式方程为＝.
整理得10x＋11y＋8＝0.
这就是BC边上的中线AM所在直线的方程．
利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
注意：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写出方程．
[跟进训练]
1．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求直线的方程．
[解] 由直线经过点A(1，0)，B(m，1)知，该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1；
(2)当m≠1时，直线斜率存在，利用两点式，可得直线方程为＝，
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
类型2 直线的截距式方程
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
[解] (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
又l过点A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点A(3，4)，所以4＝3k，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
[母题探究]
1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
[解] (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为＋＝1，又l过点A(－3，－4)，
所以＋＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过(－3，－4)，
所以－4＝k·(－3)，
解得k＝.
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
[解] (1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过(3，4)，∴＋＝1，解得a＝7，
∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为
y＝kx，又l过(3，4)，∴4＝k·3，
解得k＝，∴直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
零截距的重要性
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．
[跟进训练]
2．(2022·杭州高级中学高二月考)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
[解] 法一：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝，解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
类型3 直线方程的灵活应用
【例3】 过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点．
(1)若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
(2)若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程．
[解] 设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，
则由直线的截距式方程得直线l的方程为＋＝1.将P(1，4)代入直线l的方程，得＋＝1.(*)
(1)依题意得，ab＝9，
即ab＝18，由(*)式得，b＋4a＝ab＝18，从而b＝18－4a，
∴a(18－4a)＝18，整理得，2a2－9a＋9＝0，解得a1＝3，a2＝，对应的b1＝6，b2＝12，因此直线l的方程为＋＝1或＋＝1，整理得，2x＋y－6＝0或8x＋y－12＝0.
(2)由题意得S＝ab＝ab＝×≥×＝×(8＋8)＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝8时取等号，因此直线l的方程为＋＝1，即4x＋y－8＝0.
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取直线的点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距；
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用直线的截距式方程．
注意：不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟进训练]
3．如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？
[解] 在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪，
设矩形PQCR的面积是S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又因为＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20，
故S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
当m＝5时，S有最大值，此时＝＝5，即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大．
1．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为( )
A．－ B． C．－ D．
A [由两点式方程＝，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为＝－．]
2．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
B [直线－＝1的横截距为3，纵截距为－4，
所以直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为－1．]
3．经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x轴于点P，则P点的坐标是________．
[由直线的两点式方程，得MN所在直线的方程为＝，即2x＋3y－17＝0.
令y＝0，得x＝，故P点坐标为．]
4．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________．
2x－y＝0或x－y＋1＝0 [当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0.
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出直线的两点式方程．
提示：＝.
2．试写出直线的截距式方程．
提示：＋＝1.
3．如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题？
提示：可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示.2.2.2 直线的两点式方程
学习任务 1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
我们知道，两点可以确定一条直线，因此，直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定，即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系．
如图所示，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，对于直线l上其他的任意一点Q(x，y)，A，B，Q三点坐标间的数量关系是怎样的呢？
知识点1 直线的两点式方程
名称 两点式
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
方程 __________
使用范围 不表示______坐标轴的直线
两点式方程也可写成＝，需注意等号左右两边的字母、下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2.
知识点2 直线的截距式方程
(1)直线在x轴上的截距
把直线l与x轴的交点(a，0)的________叫做直线l在x轴上的截距．
(2)直线的截距式方程
名称 截距式
已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b
示意图
方程 ________
使用范围 不表示______坐标轴的直线及过____的直线
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距，所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便．
1．过点(1，2)，(5，3)的直线方程是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
2．直线－＝1在y轴上的截距是________．
3．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
类型1 直线的两点式方程
【例1】 (源自湘教版教材)如图所示，已知三角形的三个顶点为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[尝试解答]
利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
注意：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写出方程．
[跟进训练]
1．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求直线的方程．
类型2 直线的截距式方程
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
[尝试解答]
[母题探究]
1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
零截距的重要性
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．
[跟进训练]
2．(2022·杭州高级中学高二月考)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
类型3 直线方程的灵活应用
【例3】 过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点．
(1)若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
(2)若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程．
[尝试解答]
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取直线的点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距；
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用直线的截距式方程．
注意：不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟进训练]
3．如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？
1．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为( )
A．－ B． C．－ D．
2．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
3．经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x轴于点P，则P点的坐标是________．
4．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出直线的两点式方程．
2．试写出直线的截距式方程．
3．如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题？2.2.3 直线的一般式方程
学习 任务 1．探索并掌握直线的一般式方程．(数学抽象) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(数学抽象) 3．会进行直线方程的五种形式之间的互化．(逻辑推理)
前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．那么是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？
知识点 直线的一般式方程
(1)定义
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式．
直线与二元一次方程有何关系？
提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0来表示． ( )
(2)垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0(A≠0)． ( )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－． ( )
(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
类型1 直线的一般式方程
【例1】 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)斜率是－，经过点A(8，－2)的直线的点斜式方程是y＋2＝－(x－8)，
化为一般式得x＋2y－4＝0.
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴的直线方程是y＝2，
化为一般式得y－2＝0.
(3)在x轴和y轴上的截距分别为，－3的直线的截距式方程是＋＝1，
化为一般式得2x－y－3＝0.
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线的两点式方程是＝，
化为一般式得x＋y－1＝0.
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
(2)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4，2)，且平行于y轴．
[解] (1)斜率是，且经过点A(5，3)的直线的点斜式方程是y－3＝(x－5)，
化为一般式得x－y＋3－5＝0.
(2)经过点A(－1，5)，B(2，－1)的直线的两点式方程是＝，
化为一般式得2x＋y－3＝0.
(3)在x轴，y轴上的截距分别是－3，－1的直线的截距式方程是＋＝1，
化为一般式得x＋3y＋3＝0.
(4)经过点B(4，2)，平行于y轴的直线方程为x＝4，
化为一般式得x－4＝0.
类型2 利用一般式研究直线的平行与垂直
【例2】 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解] (1)法一：①若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行．
②若m＋1≠0，即m≠－1时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－，k2＝－，若l1∥l2时，k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或m＝－3，经验证，m＝2或m＝－3符合条件，所以m的值为2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，所以l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，所以l1∥l2，所以m的值为2或－3.
(2)法一：由题意，直线l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即＝－1，
所以a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：由直线l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
(2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
[跟进训练]
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[解] 法一：l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过点(－1，3)，
由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又l′过点(－1，3)，
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
类型3 直线的一般式方程的应用
【例3】 (源自北师大版教材)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R.
(1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值；
(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；
(3)若直线l的倾斜角为，求m的值．
[解] (1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)，
所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝.
故m的值为.
(2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0.
所以直线l的方程可化为斜截式y＝x－.
由＝0，可得m＝0.
故m的值为0.
(3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为，
所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan ，即＝1.解得m＝.
故m的值为.
[母题探究]
1．对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
[解] ∵直线l与y轴平行，
∴∴m＝1.
2．对于本例中的直线l的方程，若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求m的值．
[解] 由题意知，|m|＝|m－1|，解得m＝.
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0(A2＋B2≠0)．
(2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0.令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系数不为0.若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
[跟进训练]
3．(源自湘教版教材)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0.
(1)求直线l的斜率；
(2)求直线l与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
[解] (1)将直线的一般式方程化为斜截式，
得到y＝－x＋3.因此，直线l的斜率k＝－.
(2)法一：如图所示，设直线l交x轴于点A(a，0)，交y轴于点B(0，b)．
对于直线方程3x＋4y－12＝0，令y＝0，得x＝4；令x＝0，得y＝3.
于是得a＝4，b＝3.
因此S△ABO＝|ab|＝×4×3＝6.
法二：将直线的一般式方程3x＋4y－12＝0化为截距式，
得到＋＝1.
于是得a＝4，b＝3.
因此S△ABO＝|ab|＝×4×3＝6.
1．直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是( )
A．1 B．－1 C．－ D．
C [当y＝0时，x＝－，所以直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是－，故选C．]
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
C [直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C．]
3．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a>0，则a＋b＝________．
6 [由＋＝1，得y＝－x＋b，
一般式为bx＋ay－ab＝0，所以－＝－2，－ab＝－8，即
解得或因为a>0，
所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6．]
4．若直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为________．
±2 [因为l1∥l2，所以
解得m＝±2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出直线的一般式方程．
提示：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)与x轴重合；(3)平行于y轴；(4)与y轴重合．
提示：当A＝0时，方程变为y＝－，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合．
3．如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴，y轴上的截距？
提示：法一：将直线方程化为斜截式和截距式，
可求直线的斜率和在x轴，y轴上的截距．
法二：斜率k＝－，令x＝0，可得直线在y轴的截距，令y＝0，可得直线在x轴上的截距．2.2.3 直线的一般式方程
学习 任务 1．探索并掌握直线的一般式方程．(数学抽象) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(数学抽象) 3．会进行直线方程的五种形式之间的互化．(逻辑推理)
前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．那么是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？
知识点 直线的一般式方程
(1)定义
关于x，y的二元一次方程_________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式．
直线与二元一次方程有何关系？
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0来表示． ( )
(2)垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0(A≠0)． ( )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－． ( )
(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线． ( )
类型1 直线的一般式方程
【例1】 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[尝试解答]
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
(2)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4，2)，且平行于y轴．
类型2 利用一般式研究直线的平行与垂直
【例2】 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[尝试解答]
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0．
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
2．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
(2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2．
[跟进训练]
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
类型3 直线的一般式方程的应用
【例3】 (源自北师大版教材)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R．
(1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值；
(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；
(3)若直线l的倾斜角为，求m的值．
[尝试解答]
[母题探究]
1．对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
2．对于本例中的直线l的方程，若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求m的值．
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0(A2＋B2≠0)．
(2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0．令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系
数不为0．若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
[跟进训练]
3．(源自湘教版教材)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0．
(1)求直线l的斜率；
(2)求直线l与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
1．直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是( )
A．1 B．－1 C．－ D．
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
3．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a>0，则a＋b＝________．
4．若直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出直线的一般式方程．
2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)与x轴重合；(3)平行于y轴；(4)与y轴重合．
3．如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴，y轴上的截距？
