2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
学习任务 1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算)
点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点．
下面我们就来研究两直线的交点问题．
知识点1 两条直线的交点
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
1．直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( )
A．(1，2) B．(4，1)
C．(3，2) D．(2，1)
B [解方程组得
因此交点坐标为(4，1)，故选B．]
2．若方程组无解，则直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2 [方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1：4x－y＋3＝0与直线l2：3x＋12y－11＝0的位置关系是________．
l1⊥l2 [由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
类型1 求相交直线的交点坐标
【例1】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
[解] 由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2)．
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，
即x＋y＝0.
求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解．
[跟进训练]
1．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解] 由方程组
得即P(0，2)．
∵l⊥l3，l3的斜率为，
∴kl＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
类型2 判断两条直线位置关系的方法
【例2】 (源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[解] (1)解方程组
得
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②得1＝0，矛盾．
由此可知方程组无解，因此直线l1与l2平行．
(3)解方程组
①×2得 2x－2y＋2＝0.
说明方程②是方程①的2倍，方程①的解都是方程②的解．
因此直线l1与l2重合．
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
[跟进训练]
2．(源自人教B版教材)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0.
[解] (1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋.
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)解方程组可得x＝－3，y＝－1，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为( )
A．(－2，1) B．(1，2)
C．(1，－2) D．(2，1)
(2)过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．
(1)A (2)15x＋5y＋16＝0 [(1)方程mx－3y＋2m＋3＝0可化为m(x＋2)－3y＋3＝0，
令得
即直线mx－3y＋2m＋3＝0过定点(－2，1)，故选A．
(2)法一：解方程组
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0, 得λ＝.
代入(*)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.符合条件．]
[母题探究]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
1．含有参数的直线恒过定点的问题
(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)法二：若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)．
2．经过两直线交点的直线方程
经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点．
[跟进训练]
3．已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
[证明] 将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为，
即直线系恒过第一象限内的定点，
所以无论a为何值，直线总经过第一象限．
1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [联立解得
∴交点(－1，1)在第二象限．故选B．]
2．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3，4
C．4，3 D．－4，－3
B [由得
由题意得得]
3．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________．
(3，3) [∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，
联立方程易得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3，3)．]
4．若a∈R，则直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点________．
(－2，1) [方程(a－1)x－y＋2a－1＝0可化为
a(x＋2)－x－y－1＝0
令得
即直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点(－2，1)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求两直线的交点坐标？
提示：解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．
2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？
提示：当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点．
3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.两直线相交、平行和垂直的充要条件是什么？
提示：l1与l2相交 A1B2≠A2B1；
l1与l2平行 A1B2＝A2B1；
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
学习任务 1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算)
点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点．
下面我们就来研究两直线的交点问题．
知识点1 两条直线的交点
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线______上，也在直线______上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组____________的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 ____ ____ ____
1．直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( )
A．(1，2) B．(4，1)
C．(3，2) D．(2，1)
2．若方程组无解，则直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
3．直线l1：4x－y＋3＝0与直线l2：3x＋12y－11＝0的位置关系是________．
类型1 求相交直线的交点坐标
【例1】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
[尝试解答]
求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解．
[跟进训练]
1．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
类型2 判断两条直线位置关系的方法
【例2】 (源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．
[尝试解答]
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0．
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
[跟进训练]
2．(源自人教B版教材)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为( )
A．(－2，1) B．(1，2)
C．(1，－2) D．(2，1)
(2)过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．
[尝试解答]
[母题探究]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
1．含有参数的直线恒过定点的问题
(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)法二：若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)．
2．经过两直线交点的直线方程
经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点．
[跟进训练]
3．已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3，4
C．4，3 D．－4，－3
3．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________．
4．若a∈R，则直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求两直线的交点坐标？
2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？
3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．两直线相交、平行和垂直的充要条件是什么？2.3.2 两点间的距离公式
学习 任务 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象) 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
知识点 两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？
提示：可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
已知点P1(4，2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________．
2 [|P1P2|＝＝＝2．]
类型1 求两点间的距离
【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[解] (1)根据两点间的距离公式，得
|AB|＝＝，
|BC|＝＝2，
|CA|＝＝5.
因为()2＋(2)2＝(5)2，
即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，
所以△ABC是直角三角形．
(2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1，
所以BC边上中线的长|AD|＝＝2.
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
[跟进训练]
1．(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] (1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
|PA|＝＝.
(2)法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB．
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形．
类型2 坐标法的应用
【例2】 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝＋|BD|·|DC|.
[思路导引] 建立适当的坐标系→写出相关点的坐标→利用两点间的距离公式求距离→证明．
[证明] 如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(－b，0)，
C(b，0)，D(m，0)(－b则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，
|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)·(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，
∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
坐标法及其应用
(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[跟进训练]
2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．
求证：|AC|＝|BD|.
[证明] 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
类型3 对称问题
光的反射问题
【例3】 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
[解] 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4，3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，
又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立解得即交点Q，
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O点到达P点所走过的路程为8.
1．对称问题的解决方法
(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)；
(2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程；
(3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由
求出；
(4)直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程．
2．根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
[跟进训练]
3．(2022·潍坊市期末)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6 C．3 D．2
A [由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.
如图所示，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，连接MD，NC，
易知|PM|＝|MD|，
|PN|＝|NC|，所以|PM|＋|MN|＋|NP|＝|MD|＋|MN|＋|NC|＝|CD|，
故光线所经过的路程为|CD|＝2．]
利用对称解决有关最值问题
【例4】 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[解] (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，
即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中点在直线l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得∴点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为＝，
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，
即l与AB′的交点坐标为.
故点P的坐标为.
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，
当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．
∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝，
即AC′与l的交点坐标为.
故点Q的坐标为.
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
[跟进训练]
4．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
A [如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
当A与B重合于坐标原点O时，
|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝＝10；
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10．]
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
C [∵|AB|＝＝5，
∴a2＋4a－5＝0，
解得a＝1或－5，故选C．]
2．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A． B．
C． D．
A [AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，
∴|CD|＝＝．]
3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为( )
A． B． C．3 D．2
D [由两点间的距离公式，得
|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，
故＝＝2．]
4．已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________．
(－1，0)或(9，0) [设点P的坐标为(a，0)，
则|PA|＝＝13，
即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，
∴点P的坐标为(－1，0)或(9，0)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出两点间的距离公式．
提示：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝.
2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．
提示：(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
3．常见的对称问题有哪些？
提示：(1)点关于点对称；
(2)直线关于点对称；
(3)点关于直线对称；
(4)直线关于直线对称．2.3.2 两点间的距离公式
学习 任务 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象) 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
知识点 两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝____________．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝____________．
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成
|P1P2|＝的形式？
已知点P1(4，2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________．
类型1 求两点间的距离
【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[尝试解答]
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝．
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
[跟进训练]
1．(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
类型2 坐标法的应用
【例2】 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝＋|BD|·|DC|．
[思路导引] 建立适当的坐标系→写出相关点的坐标→利用两点间的距离公式求距离→证明．
[尝试解答]
坐标法及其应用
(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[跟进训练]
2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．
求证：|AC|＝|BD|．
类型3 对称问题
光的反射问题
【例3】 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
[尝试解答]
1．对称问题的解决方法
(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)；
(2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程；
(3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由求出；
(4)直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程．
2．根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
[跟进训练]
3．(2022·潍坊市期末)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6 C．3 D．2
利用对称解决有关最值问题
【例4】 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q．使得：
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
[尝试解答]
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[尝试解答]
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
[跟进训练]
4．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
2．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A． B．
C． D．
3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为( )
A． C．3 D．2
4．已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出两点间的距离公式．
2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．
3．常见的对称问题有哪些？2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
学习任务 1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象) 2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算)
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1 点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式．
知识点2 两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
两直线方程中x，y的系数对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________．
[d＝＝．]
2．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
－4 [∵＝，
∴m＝0或－4.
∵点P(m，1)在第二象限内，
∴m＝－4．]
3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为________．
[由两条平行直线的距离公式得：
d＝＝．]
4．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________．
1或－3 [由＝得a＋1＝±2，
解得a＝1或－3．]
类型1 点到直线的距离
【例1】 (源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0.
[解] (1)根据点到直线的距离公式，得d＝＝.
即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为.
(2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0.
根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝.
即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为.
(3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴，
所以d＝＝.
即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为.
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[跟进训练]
1．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为( )
A．4 B．2 C．4 D．3
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程为________．
(1)D (2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 [(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离d＝＝≥＝3，
∴d有最小值3，故选D．
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0．]
类型2 两条平行线间的距离
【例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程．
(1) [由题意，得＝，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，
得＝＝．]
(2)[解] 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由两平行线间的距离公式得＝3，
解得m＝16或m＝－14.
故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
[母题探究]
把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
[解] 由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，
可设l的方程为3x－4y＋c＝0，
又点P到l的距离为3，
所以＝3.
解得c＝21或c＝－9，
故所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[跟进训练]
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B． C． D．
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
(1)D (2)C [(1)由题意，直线3x＋2y－3＝0和直线6x＋my＋1＝0平行，则＝，即m＝4.
所以对应直线方程为6x＋4y＋1＝0.
又直线3x＋2y－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，
所以两平行直线间的距离为d＝＝＝.
(2)因为l1∥l2，所以＝，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0，所以两平行直线间的距离d＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2．]
类型3 利用距离公式解决最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
[解] (1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3；
当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
应用数形结合思想求最值
(1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决；
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
[跟进训练]
3．已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1[解] |AC|＝＝，
直线AC的方程为＝，
即x－3y＋2＝0.
因为点B(m，)到直线AC的距离
d＝，
所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝.
因为1所以0<≤，0所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大．
1．(多选)已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为( )
A．1 B．－1 C． D．－
CD [由题意知＝1，
即|a|＝，∴a＝±．]
2．已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：3x－4y＋C＝0间的距离为3，则C＝( )
A．9或21 B．－9或21
C．9或－9 D．9或3
B [已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：3x－4y＋C＝0间的距离为3，
则两平行线间的距离为＝3，解得C＝21或C＝－9.故选B．]
3．已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A． B． C． D．3
B [点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝．]
4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________．
(5，－3) [由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小，直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，解方程组得∴所求点的坐标为(5，－3)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出点到直线的距离公式．
提示：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝.
2．试写出两条平行直线间的距离公式．
提示：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
3．如何解决与距离有关的最值问题？
提示：(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
(3)利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题．2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
学习任务 1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象) 2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算)
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1 点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的________的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________．
在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式．
知识点2 两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的________的长．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离
d＝．
两直线方程中x，y的系数对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________．
2．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为________．
4．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________．
类型1 点到直线的距离
【例1】 (源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0．
[尝试解答]
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[跟进训练]
1．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为( )
A．4 B．2 C．4 D．3
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程为________．
类型2 两条平行线间的距离
【例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程．
[尝试解答]
[母题探究]
把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[跟进训练]
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B． C． D．
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
类型3 利用距离公式解决最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
[尝试解答]
应用数形结合思想求最值
(1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决；
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
[跟进训练]
3．已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1
1．(多选)已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为( )
A．1 B．－1 C． D．－
2．已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：3x－4y＋C＝0间的距离为3，则C＝( )
A．9或21 B．－9或21
C．9或－9 D．9或3
3．已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A． C． D．3
4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出点到直线的距离公式．
2．试写出两条平行直线间的距离公式．
3．如何解决与距离有关的最值问题？
