方向向量与直线的参数方程
直线的参数方程
如图所示，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝(m，n)是它的一个方向向量，则直线l的参数方程为(t为参数)．
特别地，当直线l的倾斜角为α，则直线l的一个方向向量为v＝(cos α，sin α)，这时直线l的参数方程为(t为参数)．
【典例】 (1)已知直线l的斜率k＝－1，经过点M0(2，－1)，点M在直线l上，以的模t为参数，求直线l的参数方程．
(2)已知直线l过点P(3，4)，且它的倾斜角θ ＝120°.
①写出直线l的参数方程；
②求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
[解] (1)∵直线的斜率为－1，
∴直线的倾斜角α＝135°，
∴cos α＝－，sin α＝，
∴直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)①直线l的参数方程为
(t为参数)，
即(t为参数)．
②把代入x－y＋1＝0，
得3－t－4－t＋1＝0，解得t＝0.
把t＝0代入得两条直线的交点坐标为(3，4)．
1．已知直线l的参数方程为(t为参
数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C． D．－
B [直线l的一般式方程为x＋y－1＝0，故直线l的斜率为－1．]
2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C． D．－
B [由直线的参数方程(t为参数)，
表示过点(x0，y0)，方向向量为(m，n)的直线，
所以直线l的方向向量为，
故k＝＝－1，故选B．] 方向向量与直线的参数方程
直线的参数方程
如图所示，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝(m，n)是它的一个方向向量，则直线l的参数方程为(t为参数)．
特别地，当直线l的倾斜角为α，则直线l的一个方向向量为v＝(cos α，sin α)，这时直线l的参数方程为(t为参数)．
【典例】 (1)已知直线l的斜率k＝－1，经过点M0(2，－1)，点M在直线l上，以的模t为参数，求直线l的参数方程．
[尝试解答]
(2)已知直线l过点P(3，4)，且它的倾斜角θ ＝120°．
①写出直线l的参数方程；
②求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
[尝试解答]
1．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C． D．－
2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C． D．－微专题2 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1 与距离有关的最值问题
【例1】 (1)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为( )
A．－9，1 B．－10，1
C．－9，2 D．－10，2
(1)A (2)A [(1)计算得圆心(0，0)到直线l：x－y－2＝0的距离为＝>1，如图．直线l与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
(2)y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9．]
类型2 与面积有关的最值问题
【例2】 在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
[解] 以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．
设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，
则r＝＝1.
∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝2x－1.①
又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
∴将①代入②，得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.
∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2，
∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.
又三个圆的面积之和为π＋π＋π＝(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，
∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π，最小值为π.
类型3 由数学式的几何意义求解最值问题
【例3】 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
[解] 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，如图1，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径长，可得＝2，解得k＝，
所以的最大值为，
最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．如图2，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2.
又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图3，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值．
此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径长2，则＝2，即|6－b|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.微专题2 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1 与距离有关的最值问题
【例1】 (1)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为( )
A．－9，1 B．－10，1
C．－9，2 D．－10，2
[尝试解答]
类型2 与面积有关的最值问题
【例2】 在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
[尝试解答]
类型3 由数学式的几何意义求解最值问题
【例3】 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
[尝试解答]
第2章 直线和圆的方程 章末综合提升
类型1 两条直线的平行与垂直
1．解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．
2．一般式方程下两直线的平行与垂直
已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
3．通过讨论两条直线的平行与垂直，提升逻辑推理的学科素养．
【例1】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解] (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
因此或
类型2 两条直线的交点与距离问题
1．
2．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．
3．解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养．
【例2】 (1)两平行直线l1：3x＋2y＋1＝0与l2：6mx＋4y＋m＝0之间的距离为( )
A．0 B． C． D．
(2)过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
(1)C [直线l1与l2平行，所以＝≠，解得m＝1，所以直线l2的方程为6x＋4y＋1＝0，所以直线l1：3x＋2y＋1＝0，即6x＋4y＋2＝0，与直线l2：6x＋4y＋1＝0的距离为d＝＝.故选C．]
(2)[解] 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
类型3 求圆的方程
1．求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
2．通过圆的方程的求解，培养数学运算的核心素养．
【例3】 (1)已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.
①求顶点A和B的坐标；
②求△ABC外接圆的一般方程．
(2)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
[解] (1)①联立解得所以顶点B(7，－3)，
因为AC⊥BH，所以kAC·kBH＝－1，
已知kBH＝－，所以kAC＝3，
所以设直线AC的方程为y＝3x＋b，
将C(2，－8)代入得b＝－14，所以直线AC的方程为y＝3x－14.
由可得顶点A(5，1)．
②设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三点的坐标分别代入，得
解得
所以△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0.
(2)法一：设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①
由方程组
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，
所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.
由弦长公式得＝4，
化简得(a－b)2＝4.②
解①②组成的方程组，
得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
则圆心为(a，b)，半径r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.
由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得
d2＋＝r2，
即＋8＝10，所以(a－b)2＝4.
又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
类型4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
2．研究直线与圆、圆与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．
【例4】 (1)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，求a的值．
(2)已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
①求过M点的圆的切线方程；
②若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[解] (1)由题意知，圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直线的方程为2ay－2＝0，
而x2＋y2＝4的圆心(0，0)到2ay－2＝0的距离为d＝＝，
∴22＝()2＋，结合a>0得a＝1.
(2)①圆心C(1，2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
②∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴＋＝4，
解得a＝－.第2章 直线和圆的方程 章末综合提升
类型1 两条直线的平行与垂直
1．解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1．若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．
2．一般式方程下两直线的平行与垂直
已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
3．通过讨论两条直线的平行与垂直，提升逻辑推理的学科素养．
【例1】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[尝试解答]
类型2 两条直线的交点与距离问题
1．
2．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．
3．解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养．
【例2】 (1)两平行直线l1：3x＋2y＋1＝0与l2：6mx＋4y＋m＝0之间的距离为( )
A．0 B． C． D．
(2)过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
[尝试解答]
类型3 求圆的方程
1．求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
2．通过圆的方程的求解，培养数学运算的核心素养．
【例3】 (1)已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0．
①求顶点A和B的坐标；
②求△ABC外接圆的一般方程．
(2)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
[尝试解答]
类型4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
2．研究直线与圆、圆与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．
【例4】 (1)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，求a的值．
(2)已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．
①求过M点的圆的切线方程；
②若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[尝试解答]
