3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习任务 1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象) 2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算) 3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
知识点2 椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
提示：能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． ( )
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． ( )
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． ( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． ( )
提示：(1)√
(2)× 因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)× 因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在．
(4)√
2．(1)若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在______轴上，焦点坐标为________．
(2)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是________．
(1)y (0，－12)和(0，12) (2)＋＝1
[(1)因为169>25，所以焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦点坐标为(0，－12)和(0，12)．
(2)因为焦距等于4，所以c＝2，
因为经过点P(6，0)，所以a＝6，
所以b2＝a2－c2＝36－4＝32.
因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1．]
类型1 求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)；
(3)经过点P，Q.
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，由椭圆的定义可知2a＝＋＝5＋3＝8，因此a＝4.
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
提示：(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解] (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
类型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)(2022·江苏省扬州市期中)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5，7) B．(5，6)
C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7)
(2)(2022·黄冈期末)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为________．
(1)D (2) [(1)由题意可知
解得5
所以实数k的取值范围是(5，6)∪(6，7)．
(2)∵已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴解得∴t的取值范围是．]
由椭圆标准方程判定焦点位置的依据
判断椭圆焦点在哪个轴上的依据是判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
[跟进训练]
2．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．
－1或－ [原方程可化为＋＝1.
依题意可得
则所以k的值为－1或－．]
类型3 椭圆的定义及其应用
求椭圆焦点三角形的内角或边长
【例3】 (1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
[解] (1)因为A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
所以cos ∠F1PF2＝＝，
所以∠F1PF2＝60°.
关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
求椭圆焦点三角形的面积
【例4】 已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[解] 由＋＝1，可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，
即|PF2|2＝2|PF1|. ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝××2×＝.
[母题探究]
1．本例中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．
[解] 由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，
因此＝|F1F2||PF1|＝.
故所求△PF1F2的面积为.
2．本例中方程改为“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值．
[解] 由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1||PF2|＝4.根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.再利用余弦定理可得4c2＝＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，
∴b2＝1，即b＝1.
椭圆的焦点三角形的面积公式速解：若∠F1PF2＝θ，则＝b2tan .解答选择题、填空题可直接应用．
与焦半径有关的最值问题
【例5】 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
C [由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．
[跟进训练]
3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ.
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
[解] (1)如图所示，由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 2θ＝·sin 2θ＝·b2＝b2tan θ.
(2)∵2θ为△PF1F2的内角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈.
令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值．
1．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
BD [A．＜2，故点P的轨迹不存在；B．因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D．点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为4＞8，所以点P的轨迹为椭圆．]
2．“mn<0”是“方程mx2－ny2＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若m＝1，n＝－1，则方程x2＋y2＝1表示圆．反之，若方程表示椭圆，则mn<0.故为必要不充分条件．]
3．(2022·郑州模拟)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B [由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1．]
4．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48 [由题意知
由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，
∴|PF1||PF2|＝48．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
提示：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
其标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
2．当方程＋＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
提示：表示椭圆时，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0.3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习任务 1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象) 2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算) 3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，________________叫做椭圆的焦距，焦距的________称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a____|F1F2|．
在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
知识点2 椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ____________ ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) ________与________
a，b，c的关系 c2＝________
能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． ( )
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． ( )
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． ( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． ( )
2．(1)若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是________．
类型1 求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)；
(3)经过点P，Q．
[尝试解答]
试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
类型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)(2022·江苏省扬州市期中)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5，7) B．(5，6)
C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7)
(2)(2022·黄冈期末)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为________．
[尝试解答]
由椭圆标准方程判定焦点位置的依据
判断椭圆焦点在哪个轴上的依据是判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
[跟进训练]
2．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．
类型3 椭圆的定义及其应用
求椭圆焦点三角形的内角或边长
【例3】 (1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
[尝试解答]
关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
求椭圆焦点三角形的面积
【例4】 已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[尝试解答]
[母题探究]
1．本例中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．
2．本例中方程改为“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值．
椭圆的焦点三角形的面积公式速解：若∠F1PF2＝θ，则＝b2tan ．解答选择题、填空题可直接应用．
与焦半径有关的最值问题
【例5】 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
[尝试解答]
与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．
[跟进训练]
3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
1．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
2．“mn<0”是“方程mx2－ny2＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2022·郑州模拟)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
2．当方程＋＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学习 任务 1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象) 2．能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算) 3．能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理)
通过椭圆的定义及图形认识了椭圆的一些简单性质(如对称性)，得到椭圆的标准方程之后，类比圆的研究方法，就有了一个新的途径——通过方程来探索和验证椭圆的几何性质，由椭圆的标准方程＋＝1(a＞b＞0)，可以获得椭圆的哪些几何性质呢？
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) _＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：(1)最大值a＋c，最小值a－c.
(2)与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
知识点2 椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝．
(3)范围：0(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆．
1．已知椭圆＋＝1，则其顶点坐标分别为________________，焦点坐标为________________，长轴长等于____，短轴长等于____，焦距等于________．若点P(m，n)为该椭圆上任意一点，则m的取值范围是________．
[答案] (0，4)，(0，－4)，(3，0)，(－3，0) (0，)，(0，－) 8 6 2 [－3，3]
2．已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝________．
[由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，
从而e＝＝．]
3．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
＋＝1或＋＝1 [由题意知2a＝8，＝，则c＝1，从而b2＝42－1＝15，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．]
类型1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 (源自北师大版教材)求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
[解] 将已知方程化为椭圆的标准方程＋＝1.
则a＝5，b＝3，c＝＝4.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10，2b＝6.
离心率e＝＝.
两个焦点分别是F1(－4，0)，F2(4，0)．
椭圆的四个顶点分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，
B1(0，－3)，B2(0，3)．
将方程变形为y＝±，
由y＝，在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x，y)，如下表(y的值精确到0.1)．
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图所示)．
试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．
提示：(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟进训练]
1．(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有( )
A．相同的焦点 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
(2)已知椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
(1)C [在两个方程的比较中，端点a，b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
(2)[解] 椭圆方程可化为＋＝1.
①当0∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m>4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)．
类型2 由椭圆的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，
解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.将点M(1，2)代入椭圆方程，得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入，可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，
故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
(1)＋＝1 (2)＋＝1或＋＝1 [(1)由题意，得
解得因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1．]
类型3 椭圆的离心率问题
【例3】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)设椭圆上存在一点P，它与椭圆中心O的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为________．
(1)A (2) [(1)已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝＝，①
∵＋＝1，即＝，②
将②代入①整理得＝.
∴e＝＝＝.故选A．
(2)由椭圆的对称性，不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(a，0)为右顶点，P(x0，y0)(0因为PO⊥PA，所以＝－1，即＝.
又＋＝1，所以－a3x0＋a2b2＝0，
即(x0－a)[(a2－b2)x0－ab2]＝0.
因为0而b2＝a2－c2，所以0<<1，所以0<－1<1，所以[母题探究]
本例(1)中，“若直线AP，AQ的斜率之积为”改为“若直线AP，AQ的斜率之积不小于”，求C的离心率的取值范围．
[解] 已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，显然，|x0|≠a，
kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝≥.
∵|x0|0， ①
∵＋＝1，∴＝， ②
由①②知≥，
∴e＝＝≤.
又e>0，∴离心率的取值范围为.
求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
[跟进训练]
3．(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos ∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e＝( )
A． B． C． D．
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
(1)D (2)C [(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，则左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)，依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，
在△F1AF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos ∠F1AF2，因为cos ∠F1AF2＝，所以4c2＝a2＋a2－2a2×＝a2，所以e2＝＝，解得e＝或e＝(舍)．故选D．
(2)依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得＝a2－，则|PB|2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，又e>0，所以01．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3， B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
B [椭圆方程可变形为＋＝1，∴a＝5，b＝3，∴长轴长为10，短轴长为6，e＝＝.故选B．]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为，则C的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
C [依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1．]
3．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)
① [x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1>e2，故①更扁．]
4．已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
[依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.
又因为0所以椭圆离心率的取值范围是．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
提示：(1)化标准，把椭圆方程化成标准形式；
(2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
(3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
(4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
2．试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路.
提示：已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
(3)写出标准方程．
3．试总结求椭圆离心率的方法．
提示：(1)若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解；
(2)若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学习 任务 1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象) 2．能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算) 3．能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理)
通过椭圆的定义及图形认识了椭圆的一些简单性质(如对称性)，得到椭圆的标准方程之后，类比圆的研究方法，就有了一个新的途径——通过方程来探索和验证椭圆的几何性质，由椭圆的标准方程＋＝1(a＞b＞0)，可以获得椭圆的哪些几何性质呢？
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ______(a>b>0)
范围 ____________ ______________ ____________ ______________
对称性 对称轴为______，对称中心为____
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长|B1B2|＝___，长轴长|A1A2|＝___
焦点 _____________________ _______________________
焦距 |F1F2|＝___
离心率 e＝∈________
(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
知识点2 椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝________．
(3)范围：________．
(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆．
1．已知椭圆＋＝1，则其顶点坐标分别为________________，焦点坐标为________________，长轴长等于________，短轴长等于________，焦距等于________．若点P(m，n)为该椭圆上任意一点，则m的取值范围是________．
2．已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝________．
3．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
类型1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 (源自北师大版教材)求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
[尝试解答]
试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．
[跟进训练]
1．(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有( )
A．相同的焦点 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
(2)已知椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
类型2 由椭圆的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
[尝试解答]
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
类型3 椭圆的离心率问题
【例3】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． C．
(2)设椭圆上存在一点P，它与椭圆中心O的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为________．
[尝试解答]
[母题探究]
本例(1)中，“若直线AP，AQ的斜率之积为”改为“若直线AP，AQ的斜率之积不小于”，求C的离心率的取值范围．
求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
[跟进训练]
3．(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e＝( )
A． B． C． D．
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3， B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为，则C的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
3．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)
4．已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
2．试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路．
3．试总结求椭圆离心率的方法．第2课时 椭圆的标准方程及其性质的应用
学习任务 1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，了解椭圆在实际生活中的应用．(直观想象、数学运算) 2．会判断直线与椭圆的位置关系．(数学运算、直观想象) 3．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(逻辑推理、数学运算)
从椭圆C的一个焦点F1处出发的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．
点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？
知识点1 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1；
点P在椭圆内部 ＋<1；
点P在椭圆外部 ＋>1．
知识点2 直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线与椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
(2)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·，或|AB|＝_·，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线． ( )
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交． ( )
提示：(1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)× 因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(3)√ 直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．
2．(1)点P(2，1)与椭圆＋＝1的位置关系是______．
(2)若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
(1)点P在椭圆外部 (2)(－，) [(1)由＋>1知，点P(2，1)在椭圆的外部．
(2)∵点A在椭圆内部，
∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
3．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是________．
[最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是．]
类型1 直线与椭圆的位置关系
【例1】 (源自湘教版教材)对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋y2＝1的公共点的个数．
[解] 由
消去y并整理得
5x2＋8mx＋4m2－4＝0. ③
此方程的实数解的个数由它的判别式Δ决定，
Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标．此时直线l与椭圆有两个公共点，即它们相交．
当m＝－或m＝时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数根，代入方程①得到一个公共点坐标．此时直线l与椭圆有一个公共点．观察图象可知，它们在这一点相切．
当m<－或m>时，Δ<0，方程③没有实数根．此时直线l与椭圆没有公共点，即它们相离．
综上，可得：
当－当m＝－或m＝时，直线l与椭圆有一个公共点；
当m<－或m>时，直线l与椭圆没有公共点．
直线l与椭圆C的位置关系如图所示．
直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
[跟进训练]
1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，
得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
类型2 实际生活中的椭圆问题
【例2】 (多选)如图所示，现假设某探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C．< D．>
BD [由题图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得＋2a1c2＝＋2a2c1，
所以＋2a1c2＝＋2a2c1，
即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，
所以2a1c2<2a2c1，<，所以C错误，D正确．]
解决和椭圆有关的实际问题的思路
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材)酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km，远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6 371 km)，求椭圆轨道的标准方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)
[解] 如图所示，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2，A1，A2三点都在x轴上，
|F2A2|＝a－c＝200＋6 371，
|A1F2|＝a＋c＝350＋6 371，
所以a＝6 646，c＝75，
从而b2＝a2－c2＝6 6462－752＝44 163 691.
所以椭圆轨道的标准方程为＋＝1.
类型3 直线与椭圆的相交弦问题
弦长问题
【例3】 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[解] (1)由消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤，
即实数m的取值范围是.
(2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝(m2－1)．
∴d＝
＝
＝
＝
＝，
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
(1)求直线被椭圆截得弦长的方法：
一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；
二是用弦长公式|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y2)，B(x2，y2)．
(2)有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．
[跟进训练]
3．已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点M，F为其左焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当|AB|＝时，求直线l的方程．
[解] (1)由条件知a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
设椭圆的标准方程为＋＝1，
又椭圆过点M，∴＋＝1.
∴c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l斜率不存在时，|AB|＝3，不合题意．
当直线l斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)，由
消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝.
∴k2＝，即k＝±，
∴直线l的方程为x－2y＋＝0或x＋2y＋＝0.
中点弦问题
【例4】 (2022·山西省朔州市期末)已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为________．
x＋2y－4＝0 [法一：易知直线的斜率k存在．
设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
由消去y，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：由题意知，直线斜率存在．设点A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
∵M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则＝＝16，
两式相减，得＋＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于弦AB的中点为M(2，1)，则另一个交点为B(4－x，2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，化简得x＋2y－4＝0.
显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．]
[母题探究]
本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
[解] 设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由＋＝1和＋＝1，
得＝－，
∴k＝＝.
又x＋2y－4＝0的斜率为－，
∴＝.
∴椭圆的离心率e＝＝＝＝.
试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．
提示：(1)设点——设出弦的两端点坐标；
(2)代入——代入圆锥曲线方程；
(3)作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
(4)整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
[跟进训练]
4．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1， ①
＋＝1. ②
因为点M是线段AB的中点，所以＝1，＝1.
因为直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1，所以y1－y2＝－(x1－x2)．
将①②两式相减，可得＋＝0，
即＋＝0.
所以a＝b.
所以c＝b.所以e＝＝．]
与弦长有关的最值、范围问题
【例5】 已知椭圆C：＋y2＝1，点P为椭圆C上非顶点的动点，点A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，过A1，A2分别作l1⊥PA1，l2⊥PA2，直线l1，l2相交于点G，连接OG(O为坐标原点)，线段OG与椭圆C交于点Q.记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2.
(1)求的值；
(2)求△POQ面积的最大值．
[思路导引] (1)写出点A1，A2的坐标→设P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)→k1＝，写出直线l1，l2的方程→联立直线l1，l2的方程求出G的坐标→求出k2→求出的值．
(2)结合(1)设出直线OP，OQ的方程→分别与椭圆方程联立求出P，Q的坐标→利用两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式求出△POQ面积的表达式→利用基本不等式求出△POQ面积的最大值．
[解] (1)由题意知，A1(－2，0)，A2(2，0)，
设P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)．
则k1＝，直线l1的方程为y＝－(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)．
由得
又＝1，∴G(－x0，－4y0)，
∴k2＝，∴＝.
(2)根据(1)可设直线OP的方程为y＝k1x，
直线OQ的方程为y＝4k1x.
由＋1)x2＝4，
根据椭圆的对称性，不妨设x0>0，则
P，|OP|＝.
由)x2＝4.
设G(xG，yG)，Q(xQ，yQ)，
由(1)知，x0，xG异号，∴易知x0，xQ异号，
∴Q.
∴点Q到直线OP的距离d＝.
S△POQ＝|OP|d＝·＝
＝6
＝6.
＋≥32，∴S△POQ≤，当且仅当k1＝±时取“＝”．∴△POQ面积的最大值为.
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
[跟进训练]
5．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
[解] (1)由题意得
∴
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴
∴|AB|＝|x1－x2|＝，
原点到直线的距离d＝.
∴S△OAB＝××＝≤＝.
当且仅当m＝±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为.
1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
A [法一：联立直线与椭圆的方程得消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交．
法二：因为直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．]
2．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．
B [由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－．]
3．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A． B．
C． D．
A [由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
所以弦的中点的横坐标是x＝×＝，
代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，
所以弦的中点坐标是.故选A．]
4．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋1代入＋＝1，整理得7x2＋8x－8＝0，Δ＝82＋4×8×7>0.
由根与系数的关系知
所以|AB|＝·|x1－x2|＝＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？
提示：三种位置关系：相交、相切、相离．
解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．
2．当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．
提示：|AB|＝
＝.
3．如何处理椭圆的中点弦问题？
提示：①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．
②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法.
圆柱体截面问题
我们可以用平面来截圆柱，观察分析其截面曲线的形状．很显然，当平面与圆柱的轴垂直时，可以得到圆．而用平面斜截圆柱时，截面曲线从直观上看是椭圆(如图1)．历史上，法国人Dandelin采用一个巧妙的方法证明了这一结论．
如图2，将两个同样大小的球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以BC，DE为直径且平行于圆柱底面的大圆O1和O2，两球面与斜截面分别相切于点F和F′，斜截面与BD，CE分别交于点A和A′，P为所得截面边缘上一点．设圆柱过点P的母线与圆O1和O2分别交于点M和N，则PM和PN分别是两球面的一条切线．
由于PM和PF是同一个球面的切线，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN为定值，即截面曲线上任意一点P到F和F′的距离之和为定值，由椭圆的定义可知，这时的截面曲线是椭圆，而两球与斜截面的切点是椭圆的焦点．第2课时 椭圆的标准方程及其性质的应用
学习任务 1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，了解椭圆在实际生活中的应用．(直观想象、数学运算) 2．会判断直线与椭圆的位置关系．(数学运算、直观想象) 3．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(逻辑推理、数学运算)
从椭圆C的一个焦点F1处出发的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．
点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？
知识点1 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ________________；
点P在椭圆内部 ________________；
点P在椭圆外部 ________________．
知识点2 直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线与椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆____；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆____；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆____．
(2)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝______，或|AB|＝______，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线． ( )
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交． ( )
2．(1)点P(2，1)与椭圆＋＝1的位置关系是________．
(2)若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
3．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是________．
类型1 直线与椭圆的位置关系
【例1】 (源自湘教版教材)对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋y2＝1的公共点的个数．
[尝试解答]
直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
[跟进训练]
1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
类型2 实际生活中的椭圆问题
【例2】 (多选)如图所示，现假设某探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C．< D．>
[尝试解答]
解决和椭圆有关的实际问题的思路
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材)酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km，远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6 371 km)，求椭圆轨道的标准方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)
类型3 直线与椭圆的相交弦问题
弦长问题
【例3】 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m．
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[尝试解答]
(1)求直线被椭圆截得弦长的方法：
一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；
二是用弦长公式|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y2)，B(x2，y2)．
(2)有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．
[跟进训练]
3．已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点M，F为其左焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当|AB|＝时，求直线l的方程．
中点弦问题
【例4】 (2022·山西省朔州市期末)已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为________．
[尝试解答]
[母题探究]
本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．
[跟进训练]
4．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
与弦长有关的最值、范围问题
【例5】 已知椭圆C：＋y2＝1，点P为椭圆C上非顶点的动点，点A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，过A1，A2分别作l1⊥PA1，l2⊥PA2，直线l1，l2相交于点G，连接OG(O为坐标原点)，线段OG与椭圆C交于点Q．记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2．
(1)求的值；
(2)求△POQ面积的最大值．
[思路导引] (1)写出点A1，A2的坐标→设P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)→k1＝，写出直线l1，l2的方程→联立直线l1，l2的方程求出G的坐标→求出k2→求出的值．
(2)结合(1)设出直线OP，OQ的方程→分别与椭圆方程联立求出P，Q的坐标→利用两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式求出△POQ面积的表达式→利用基本不等式求出△POQ面积的最大值．
[尝试解答]
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
[跟进训练]
5．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．
3．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A． B．
C． D．
4．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？
2．当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．
3．如何处理椭圆的中点弦问题？
圆柱体截面问题
我们可以用平面来截圆柱，观察分析其截面曲线的形状．很显然，当平面与圆柱的轴垂直时，可以得到圆．而用平面斜截圆柱时，截面曲线从直观上看是椭圆(如图1)．历史上，法国人Dandelin采用一个巧妙的方法证明了这一结论．
如图2，将两个同样大小的球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以BC，DE为直径且平行于圆柱底面的大圆O1和O2，两球面与斜截面分别相切于点F和F′，斜截面与BD，CE分别交于点A和A′，P为所得截面边缘上一点．设圆柱过点P的母线与圆O1和O2分别交于点M和N，则PM和PN分别是两球面的一条切线．
由于PM和PF是同一个球面的切线，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN为定值，即截面曲线上任意一点P到F和F′的距离之和为定值，由椭圆的定义可知，这时的截面曲线是椭圆，而两球与斜截面的切点是椭圆的焦点．