3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习任务 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1 双曲线的定义
文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点 定点F1，F2
焦距 两焦点间的距离
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
1．双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
提示：双曲线的右支．
知识点2 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 _－＝1(a>0，b>0) _－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
2.如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
提示：双曲线的焦点在x轴上 标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上 标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法．
1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
D [依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，
故点P的轨迹为一条射线．]
2．(1)若双曲线方程为－＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．
(1)x (6，0)和(－6，0) (2)－＝1 [(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线方程为－＝1．]
类型1 双曲线的标准方程
【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的焦点在x轴，
因此设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，
∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
提示：(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程．
[解] 由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1.
又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.
因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1.
类型2 双曲线标准方程的识别
【例2】 给出曲线方程＋＝1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解] (1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，
解得k>1或k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有
解得k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)．
方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知方程＋＝1.
(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；
(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点．
[解] (1)方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0.
解得－5
因此，当－5(2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1.
所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点．
类型3 双曲线的定义及其应用
【例3】 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离．
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] (1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，所以a＝3，b＝4，c＝5.
设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知
||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6.
解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1因此，点M到另一个焦点的距离为13.
(2)由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
[母题探究]
(1)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
(2)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．
[解] (1)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得
cos ∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
＝×4×＝8.
双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
[跟进训练]
3．(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
(2)已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
(1)B [由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m．]
(2)[解] 设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD．由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
∴|MA|＋|MB|＝|MA|－|MD|＋|MB|＋|MD|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.
又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径长为1，
故|BD|≥|CD|－1＝－1，
从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，
当且仅当点M，B在线段CD上时取等号．
故|MA|＋|MB|的最小值为＋1.
类型4 双曲线在生活中的应用
【例4】 某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
[解] 如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)， ①
又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝2，c＝3，
∴点P的轨迹方程为－＝1(x≥2)， ②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
∴kPA＝＝，
因此在A处发现P的方位角为北偏东30°.
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[跟进训练]
4．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[解] 设爆炸点为P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，
|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上．
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600.
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是－＝1(x>0)．
1．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1或－＝1
D [应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．]
2．(多选)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
BCD [由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A选项错误．由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或t>4时，方程＋＝1表示双曲线，故B选项正确．由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t>t－1>0，解得14，故D选项正确．综上所述，正确的选项为BCD．故选BCD．]
3．已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
17或1 [由题意知，双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，∴c＝5，
又由a2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4，
因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，
根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，
所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．]
4．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为________．
－＝1 [由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)．
设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
提示：定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
标准方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)．
2．方程－＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
提示：(1)若表示双曲线，则满足mn>0.
(2)若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足
(3)若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？
提示：|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c.
4．定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？
提示：根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a，
若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线一支，
若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线．3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习任务 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1 双曲线的定义
文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的____________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点 定点________
焦距 ________的距离
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
1．双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
知识点2 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ________________ ______________
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) ____________
a，b，c的关系 c2＝________
2．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
2．(1)若双曲线方程为－＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．
类型1 双曲线的标准方程
【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[尝试解答]
试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程．
类型2 双曲线标准方程的识别
【例2】 给出曲线方程＋＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[尝试解答]
方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知方程＋＝1．
(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；
(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点．
类型3 双曲线的定义及其应用
【例3】 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离．
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]
[母题探究]
(1)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．
(2)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．
双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
[跟进训练]
3．(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
(2)已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
类型4 双曲线在生活中的应用
【例4】 某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
[尝试解答]
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
[跟进训练]
4．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
1．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
2．(多选)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
3．已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
4．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
2．方程－＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？
4．定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
学习任务 1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象) 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
知识点1 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b
渐近线 y＝±x y＝±_x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
提示：以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
知识点2 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同． ( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． ( )
(3)离心率是的双曲线为等轴双曲线． ( )
提示：(1)√ 双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的位置不一样，但是形状相同．
(2)× 等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
(3)√ 等轴双曲线的离心率是.
2．双曲线x2－4y2＝1的焦点坐标是______，______；中心坐标为______；顶点坐标为______，________；实轴长为________，虚轴长为________．
(0，0) (－1，0) (1，0) 2 1 [将x2－4y2＝1化为标准方程x2－＝1，
由此可得实半轴长a＝1，虚半轴长b＝，半焦距c＝，
所以双曲线的焦点坐标是，，中心坐标为(0，0)，顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，实轴长为2，虚轴长为1．]
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)经过点(，2)，且离心率为3，则它的虚轴长为________．
4 [由题意可得
解得
因此，该双曲线的虚轴长2b＝4．]
类型1 根据双曲线方程研究其几何
性质
【例1】 (源自湘教版教材)求双曲线－＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图．
[解] 由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4.
c＝＝＝5，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．
从而，渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝＝.
为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可见点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支．由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图所示．
由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝.
[跟进训练]
1．(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
(1)C [由e2＝1＋得＝1＋，
∴＝，即＝.
又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程为y＝±x，故选C．]
(2)[解] 把双曲线方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.
类型2 由双曲线的几何性质求其标准
方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[思路导引]
[解] (1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由题知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)法一：当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，得b＝，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，
得b＝2.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设以直线y＝±x为渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6，解得λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6，解得λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，将点M(2，－2)的坐标代入得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[跟进训练]
2．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
[解] 由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0)．
∵点A(2，－3)在双曲线E上，
∴－＝t，解得t＝－.
∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，
∴双曲线M的标准方程为－＝1.
类型3 双曲线的离心率
【例3】 已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
[思路导引]
―→―→
[解] 由题意可知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，
所以s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2，则5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.
因为e>1，所以e的取值范围是.
结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
提示：(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
3．(1)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． C．2 D．
(2)实轴长为2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上恰有4个不同的点Pi(i＝1，2，3，4)满足|PiB|＝2|PiA|，其中A，B分别是双曲线x2－y2＝1的左、右顶点，则C的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
(1)A (2)A [(1)如图，设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴．
∵|PQ|＝|OF|＝c，
∴|PA|＝.
∴PA为以OF为直径的圆的半径，A为圆心，
∴|OA|＝.∴P.
又点P在圆x2＋y2＝a2上，∴＋＝a2，即＝a2，∴e2＝＝2，∴e＝，故选A．
(2)依题意可得a＝1，A(－1，0)，B(1，0)，
设P(x，y)，则由|PB|＝2|PA|，
得＝2，
整理得＋y2＝.
由
得x2＋x＋2＝0，
因为双曲线C上恰有4个不同的点Pi(i＝1，2，3，4)满足|PiB|＝2|PiA|，
所以方程x2＋x＋2＝0有两不等实根，
所以只需Δ＝－8>0，解得b2>，
则e＝＝＝>＝.
故选A．]
1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
ABD [双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.故选ABD．]
2．若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为( )
A． B．2 C． D．
D [由题意得e2＝1＋，即1＋＝4，
解得a＝，则实轴长为，故选D．]
3．焦点在x轴上，一条渐近线的方程为y＝x，虚轴长为4的双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
A [根据题意，要求双曲线的虚轴长2b＝4，即b＝2.又双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，所以＝，则a＝2.又双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A．]
4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________．
[由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
提示：(1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
2．离心率e和有怎样的关系？
提示：e2＝1＋.
3．如何用待定系数法设出与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程？
提示：可设为－＝λ(λ≠0)．3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
学习任务 1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象) 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
知识点1 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a ________________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：____________，____________
轴长 实轴长：2a；虚轴长：___
渐近线 y＝±x y＝_____
离心率 e＝________，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
知识点2 等轴双曲线
实轴和虚轴________的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为________．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同． ( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． ( )
(3)离心率是的双曲线为等轴双曲线． ( )
2．双曲线x2－4y2＝1的焦点坐标是________，________；中心坐标为________；顶点坐标为________，________；实轴长为________，虚轴长为________．
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)经过点(，2)，且离心率为3，则它的虚轴长为________．
类型1 根据双曲线方程研究其几何性质
【例1】 (源自湘教版教材)求双曲线－＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图．
[尝试解答]
由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．
[跟进训练]
1．(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
类型2 由双曲线的几何性质求其标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[思路导引]
[尝试解答]
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[跟进训练]
2．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
类型3 双曲线的离心率
【例3】 已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
[思路导引]
―→―→
[尝试解答]
结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
[跟进训练]
3．(1)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． C．2 D．
(2)实轴长为2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上恰有4个不同的点Pi(i＝1，2，3，4)满足|PiB|＝2|PiA|，其中A，B分别是双曲线x2－y2＝1的左、右顶点，则C的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
2．若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为( )
A． B．2 C． D．
3．焦点在x轴上，一条渐近线的方程为y＝x，虚轴长为4的双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
2．离心率e和有怎样的关系？
3．如何用待定系数法设出与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程？第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
学习 任务 1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象) 2．会求解有关弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有哪几种位置关系？
知识点 直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
类别 位置关系 交点个数
k＝±时(此时m≠0) 相交 只有一个交点
k≠±且Δ＞0 有两个交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有一个交点
k≠±且Δ＜0 相离 没有公共点
直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？
提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交．
直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有______条．
3 [根据双曲线方程可知，点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．故过点(，0)且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条．]
类型1 直线与双曲线的位置关系
【例1】 (1)过点P(，5)且与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程．
(2)直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？
[解] (1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时仅有一个交点(，0)，满足条件．
若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入到双曲线方程，得
－＝1，所以25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－k)－7(5－k)2－7×25＝0.
当k＝时，方程无解，不满足条件．
当k＝－时，方程2×5x×10＝875有一解，满足条件．
当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件．
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝和y＝－x＋10.
(2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，
整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
当a≠±时，Δ＝24－4a2.
由Δ>0得－若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝>0，
所以a<－或a>.故当－若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x2＝<0，所以－ (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)讨论直线y＝x＋b与双曲线x2－y2＝1的公共点的个数．
[解] 由消去y得x2－(x＋b)2＝1.
整理得2bx＋b2＋1＝0.①
如果b＝0，则方程①变为1＝0，无解．此时直线与双曲线无公共点．事实上，此时直线为y＝x，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点．
现在设b≠0，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点．
类型2 与双曲线有关的轨迹问题
【例2】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)( )
A．北偏西45°方向，距离680 m
B．南偏东45°方向，距离680 m
C．北偏西45°方向，距离680 m
D．南偏东45°方向，距离680 m
A [如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴，y轴正向，建立直角坐标系．设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020，0)，
B(1 020，0)，C(0，1 020)．设P(x，y)为巨响发生点．
由已知|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分线上，易得PO所在直线的方程为y＝－x，又B点比A点晚4 s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1 360，可知P点在以A，B为焦点的双曲线－＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故双曲线方程为－＝1，将y＝－x代入上式，得x＝±680，∵|PB|>|PA|，
∴x＝－680，y＝680，
即P(－680，680)，故|PO|＝680.
故巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心680 m处．]
求解与双曲线有关的轨迹问题的一般思路
(1)定义法：解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线．
(2)直接法：根据点满足条件直接代入计算．
[跟进训练]
2．若动圆P经过定点A(3，0)，且与定圆B：(x＋3)2＋y2＝16外切，试求动圆圆心P的轨迹．
[解] 设动圆圆心P(x，y)，半径为r.
则依题意有|PA|＝r，|PB|＝r＋4，
故|PB|－|PA|＝4.
即动圆圆心P到两个定点B(－3，0)，A(3，0)的距离之差等于常数4，且4<|AB|，因此根据双曲线定义，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝3，2a＝4，b2＝5，
所以动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
所以动圆圆心P的轨迹是双曲线－＝1的右支．
类型3 双曲线与其他知识的综合问题
【例3】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积．
[解] (1)因为点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a＞1)上，所以－＝1，解得a2＝2，即双曲线C：－y2＝1.
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立可得，(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
所以，Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0 m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以由kAP＋kAQ＝0可得，＋＝0，
即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0，
化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0 ，所以α＋β＝π，
因为tan ∠PAQ＝2 ，所以tan (β－α)＝2 ，即tan 2α＝－2 ，
即tan2α－tanα－＝0，解得tan α＝(负值舍去)，
于是，直线AP：y＝(x－2)＋1，直线AQ：y＝－(x－2)＋1，
联立可得，
x2＋2 (1－2 )x＋10－4 ＝0，
因为方程有一个根为2，
所以xP＝，yP＝，
同理可得，xQ＝，yQ＝.
所以PQ：x＋y－＝0，|PQ|＝，
点A到直线PQ的距离d＝＝，
故△PAQ的面积为××＝.
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．
[跟进训练]
3．已知直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B．
(1)求实数k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)将直线l的方程y＝kx＋1与双曲线C的方程2x2－y2＝1联立，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①.
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，
则
解得－2(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F，则FA⊥FB．
∴＋y1y2＝0，
即＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，
(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＝0，
∴(1＋k2)·＋＋＝0，
化简得5k2＋2k－6＝0，
解得k＝－或k＝(舍去)．
故存在实数k＝－，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
B [因为双曲线方程为x2－＝1，则P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．]
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
A [易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－23．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
B [设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，
∴a＝3，∴x2－y2＝9.故选B．]
4．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
±1 [由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？
提示：完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线－＝1相交，其交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝或|AB|＝.
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
提示：直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交，不相切．
3．如何处理与双曲线有关的综合问题？
提示：双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
学习任务 1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象) 2．会求解有关弦长问题．(数学运算、逻辑推理)
类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有哪几种位置关系？
知识点 直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
类别 位置关系 交点个数
k＝±时(此时m≠0) 相交 只有____交点
k≠±且Δ＞0 有____交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有____交点
k≠±且Δ＜0 相离 ____公共点
直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？
直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有______条．
类型1 直线与双曲线的位置关系
【例1】 (1)过点P(，5)且与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程．
(2)直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？
[尝试解答]
(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)讨论直线y＝x＋b与双曲线x2－y2＝1的公共点的个数．
类型2 与双曲线有关的轨迹问题
【例2】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)( )
A．北偏西45°方向，距离680 m
B．南偏东45°方向，距离680 m
C．北偏西45°方向，距离680 m
D．南偏东45°方向，距离680 m
[尝试解答]
求解与双曲线有关的轨迹问题的一般思路
(1)定义法：解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线．
(2)直接法：根据点满足条件直接代入计算．
[跟进训练]
2．若动圆P经过定点A(3，0)，且与定圆B：(x＋3)2＋y2＝16外切，试求动圆圆心P的轨迹．
类型3 双曲线与其他知识的综合问题
【例3】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积．
[尝试解答]
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．
[跟进训练]
3．已知直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B．
(1)求实数k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
3．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
4．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？
2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？
3．如何处理与双曲线有关的综合问题？