常州市联盟校2023-2024学年高二上学期期中调研
数学试卷
2023.11
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若过，两点的直线的倾斜角为，则
A． B． C．1 D．5
2．椭圆的焦距为
A． B． C． D．3
3．抛物线的准线方程为
A． B． C． D．
4．方程表示实轴在轴上的双曲线，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
5．若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
6．如图一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片
折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于，则
点的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为
A． B． C． D．
8．设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知圆，则下列说法正确的有
A．实数的取值范围是 B．圆C的圆心为
C．若，则圆C的半径为3 D．若圆与x轴相切，则
10．已知直线与，则下列说法正确的有
A．直线恒过点 B．当时，则在轴上的截距为2
C．若，则 D．若，则与之间的距离为
11．已知O为坐标原点，，点是抛物线上两点，F为C的焦点，则下列说法正确的有
A．若，则最小值为4 B．周长的最小值为10
C．为直径的圆与轴相切 D．若直线经过点F，则
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则
A．点的横坐标为 B．的周长为16
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的离心率为__________．
14．与双曲线有相同焦点，且经过点的椭圆的标准方程为__________．
15．与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是__________．
16．已知O为坐标原点，，Q为抛物线上任意一点，且恒成立，则实数的
取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长．
18．（12分）
已知的顶点为，，．
（1）求边AC的垂直平分线的一般式方程；
（2）求的外接圆的方程．
19．（12分）
已知圆和定点，为圆外一点，直线与圆相切于点，且．
求点的轨迹方程；
（2）经过点的直线与点的轨迹相交于两点，且，求直线的方程．
20．（12分）
已知动圆与圆外切，与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）求的取值范围．
21．（12分）
已知，，动点在直线上．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
22．（12分）
已知双曲线的离心率为，右焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线过定点且与双曲线交于不同的两点A，B，点是双曲线的右顶点，直线分别与y轴交于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．常州市联盟校2023-2024学年高二上学期期中调研
数学（参考答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A C B A B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
题号 9 10 11 12
答案 AC AD ACD BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．或 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）
解：（1）设抛物线的方程为，
将代入方程解得．
因此抛物线C的标准方程为． ………………………………………………5分
（2）直线的方程为，设A（x1，y1），B （x2，y2），
联立直线 与抛物线的方程：，解得
所以的长为． ………………………………………………10分
18．（12分）
解：（1）设中点为，所以，即，
由题意得，所以边上高的斜率为2，
又因为的垂直平分线过点，
所以的垂直平分线的方程为：，即． ………………………………5分
（2）解：设的外接圆的方程为．
将A，B，C三点坐标代入上式得解得．
所以圆M的方程为，即． ………………………………12分
19．（12分）
解：（1）设点坐标为，由得，
所以，
化简得． ………………………………………………4分
（2）由得，由得圆心到直线的距离为3，
当直线垂直与轴时，直线，满足条件．
当直线不垂直与轴时，可设直线的方程为，即．
所以，解得，所以．
所以直线的方程为或． ………………………………………………12分
20．（12分）
解：（1）圆的圆心为，半径．
圆的圆心为，半径，
，所以圆与圆的关系是内含．
设动圆圆心为，动圆半径为，
由于，
所以点的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为10的椭圆，从而，，所以，
所以点的轨迹方程为． ………………………………………………6分
（2），
又，即，
当时，取得最大值为25；
当或8时，取得最小值为16，
即，即，
所以的取值范围为． ………………………………………………12分
21．（12分）
解：（1）设关于直线：对称点坐标为，
则，得，即，
，所以的最小值为． ……………………………5分
（2）设点坐标为，
则，
当且仅当最小时，取得最小值，即点到线段中点距离最小，
因为，所以，
所以的最小值为． ………………………………12分
22．（12分）
解：（1）由双曲线的离心率为，得，所以，
则渐近线方程为即，右焦点到渐近线距离为，
所以，则双曲线的方程是． ………………………………4分
（2）以线段为直径的圆过轴上的定点．
法一：当直线斜率不存在时，以为直径的圆的方程为：，恒过定点．
当直线斜率存在时，设，．
由得：．当时，
设，，则有，．
又是椭圆的右顶点，则．
由题意知：直线为，故．
直线为：，故．
若以为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．
又，，∴恒成立．
又
．
∴，解得．
故以为直径的圆过轴上的定点． ………………………………………………12分
法二：设，代入得．
，
直线：，令得，即，同理得
设以线段为直径的圆过轴上的定点，有，即，
则，将、代入得，，则定点．
………………………………………………12分
