2023年秋季期期中联考质评价检测
B.
高二数学
2516
一、池择感：本思头8小从，每小要3分，夫和分在华小尴给出的四个进中，只有一项
259
2516
1625
是符合恩目要求的.
二、选托感：木题共4小趣，每个小悠5分，共0分在每小题给出剂选项中，有多项符合
1,双曲线C:-号=1的布点坐教为《)
图目要求全泌对的得5分。部分沈对的斜2分，有达世的斜·分，
3
9.下列说法正确的有：)
A.〔+2,0
B,{2,0
心，02
D.(0,2]
A,芳直线y=x+心经过第一、二、四象限，划，在第二象跟
2,已1点兴，在2+2=1上，则直线-少-l-0与风的世关系是〔>
B,线y■张-30+2过定点32】
4.相交
B,相初
C.
D.尤云判断
C,点2，-》斜*为-3的点斜太方程为y+13-》
3.已知川2,4)。5对-4，)两点到官然：-y+l-0竹红高相等，则a的他为〔)
A-1成
D.与少钻夹为行、月相感为的改装方程为y一方。
不3
B.3或÷
C.3
D.4
10.已知顶C,:x+y2+2-0y+w2-0,团C,:x+y+4y-5-D:划下列说法正确的足
4.空们中有三太P,A以，，2州个0则点到直线的离为《)
()
,
B.华
C.22
D.
A.若点，)在返C,的内部，川-2。m4
5.已们立统：+2-3=0与词C:x2+,产-1x=0交于A,8两点，划烷段B的垂或平分线
B.者m=2,川 C,C:的公片孩空的直线方程是4x-14y+9=0
方程为〔氵
A.2x-y-4-0B,2x-y-4=0C,x-2y-2=01D.2x-y-2-8
C.老冈CC:女初，则m=±v15
6.句医，宏面为正方形，棱垂首干底而的四凌注8CD-4C,2中，A-2份-2，划异
D.过点2)作冈C:的此，则：的方在是：=3支7x一24+23-0
山直絮4B与所发年的余孩值为‘)
:1.在=生8C1C卡，∠Mc=9n,且8-c--,E为袋段的=点P为
攻品上的式点，平而《过P,,三点，则下列命题正确的是：》
c.
D.}
A.三找能B-P58的体不变
已好双血铁：二--=e>0,6>明的左，t抽点分斑是5.5，P地双血钱C上一点
B.平而a⊥T面Ag
心.当：与4派会时，e盆此三凌社的外技政新的酸血面积为兰：
日.Pl-5,P-,∠P-12°.则双曲线C内腐心*是天)
C.
n月
D.存在点P,使补可线C与平面所成酒的大小为昏
12.玄心生冬中说“始化欧形，这任心双，如耳为用.不瓦女”，必思是自然升的业韵相
8.R,1分划为粉可的一个岳点顶，若粉刘的长轴是0，王w∠测=生.划椭的
足及双对的.喇点山范点白叫的E高和它到定兰线：学的高的比是为汝，苦
标准力2：为〔}
艾我二就上存在这年的点P,划谢该江浅为龙双官就”，度下列行余正西的宁「)
名二2学格1行4可
而二学第2从北双2023年秋季期期中联考质量评价检测高二数学
参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A B A C D C
9．ABC【详解】对于 A中，由直线 y kx b过一、二、四象限，所以直线的斜率 k 0，
截距 b 0，
故点 k , b 在第二象限，所以 A正确；
对于 B中，由直线方程 y ax 3a 2，整理得 a x 3 y 2 0，所以无论 a取何值，
点 3, 2 都满足方程，所以 B正确；
对于 C中，由点斜式方程，可知过点 ( 2, -1) 斜率为 3 的点斜式方程为：y 1 3 x 2 ，
所以 C正确；
π π 5π 3
对于 D中，由直线与 y 轴夹角为 ，可知直线倾斜角为 或 ，所以直线斜率为 ，
3 6 6 3
3
又因为在 y 轴上的截距为 3，所以直线方程为 y x 3，所以 D错误.
3
10．BCD【详解】对于 A，由点 (1,1) 在圆C 1的内部，得
2
1 1 2m 10 m 0，解得 4 m 2，
故 A 错误；
2 2
对于 B，若m 2 ，则圆C : x y 4 x 10 y 4 01 ，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是 4 x 14 y 9 0 ，故 B正确；
C C 2 2对于 ，圆 1的标准方程为 ( x m) ( y 5) 25，圆心为C m, 51 ，半径 r 51 ，
圆C
2 2
2的标准方程为 x ( y 2) 9，圆心为C 0, 2 ，半径 r 32 2 ，
若圆C , C1 2外切，则 C C r r 21 2 1 2，即 m 49 5 3，解得m 15 ，故 C正确；
对于 D，当 l 的斜率不存在时， l 的方程是 x 3，圆心C 到 l 的距离 d 3 r2 2，满足要求，
当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y k x 3 2，
4 3k 7
圆心C 2到 l 的距离 d r 32 ，解得 k ，
2
k 1 24
所以 l 的方程是 7 x 24 y 27 0，故 D正确.
高二数学 第 1 页 共 1 页
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1
11．ABC【详解】A选项，由于 P 为棱 AA1上的动点，故 S BB AB 4PBB1 1 为定值，2
又 E 到平面 ABB A1 1的距离为 2，
故V VB PEB E PBB 为定值，A正确；1 1
B选项，以 B 为坐标原点， BC , BA, BB x, y , z1所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 A 0, 2, 0 , B 0, 0, 0 , E 2, 0, 2 , B 0, 0, 4 ，设 P 0, 2, m , 0 m 41 ，
设平面 ABE 的法向量为 n x , y , z1 1 1 1 ，
n BA x , y , z 0, 2, 01 1 1 1 2 y 01
则 ，解得 y 01 ，
n BE x , y , z1 1 1 1 2, 0, 2 2 x 2 z 01 1
令 x 1，则 z 11 1 ，故 n 1, 0, 11 ，
设平面 的法向量为 n x , y , z2 2 2 2 ，
n B E x , y , z 2, 0, 2 2 x 2 z 0 2 1 2 2 2 2 2则 ，
n B P x , y , z 0, 2, m 4 2 y m 4 z 02 1 2 2 2 2 2
4 m
4 m
令 x 1，则 z 1, y ，故 n 2 2 2 2 1, ,1 ，
2 2
4 m
由于 n n 1, 0, 1 1, ,1 1 1 01 2 ，
2
故平面 平面 ABE ；
高二数学 第 2 页 共 2 页
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C选项，连接 A C , AC1 1相交于点O ，
直三棱柱 ABC - A B C1 1 1中， ABC 90 ，故此三棱柱的外接球即为以 BA, BC , BB1为长宽高
的长方体的外接球，
则此点O 即为外接球球心，其中 A 0, 2, 4 , C 2, 0, 0 O 1,1, 21 ，故 ，
外接球半径为CO 1 1 4 6 ，
设平面 A B E1 1 的法向量为 n x , y , z3 3 3 3 ，
n B A x , y , z 0, 2, 0 2 y 0 3 1 1 3 3 3 3则 ，解得 y 03 ，令 x 1，则 z 13 3 ，
n B E x , y , z 2, 0, 22 1 3 3 3 2 x 2 z 03 3
OE n
3 1, 1, 0 1, 0,1 2
故 n (1,0,1) ，故点O 1,1, 2 到平面 A B E1 1 的距离为 d ，3
n 1 1 2
3
2 2 1 22则 截此三棱柱的外接球所得的截面圆的半径为 R CO d 6 ，
2 2
2 11
故截面面积为 πR π .
2
故当 P 与 A
11
1重合时， 截此三棱柱的外接球所得的截面面积为 π，C正确；
2
4 m
D选项，设 P 0, 2, m , 0 m 4 ，由 B选项可知，平面 的法向量为 n 1, ,12 ，
2
π
假设存在点 P ，使得直线 BC与平面 所成角的大小为 ，
3
4 m
2, 0, 0 1, ,1π BC n 2 2 1
则 sin cos BC , n 2 ，
3 BC n 2 2
2 16 8m m 24 8m m
2 1 1
4 4
高二数学 第 3 页 共 3 页
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1 3
即 2 224 8m m 2 ，整理得， 3m 24m 56 0，
4
由于 Δ 0，方程无解，
π
故直线 BC与平面 所成角的大小不为 ，D错误.
3
12．CD【详解】解：设 P x, y ，
2 2 x 3 y 3
2 2x y
则 25 5 ，化简得 1，故 A错； x 25 16
3
2 2x y
1 2 16
联立 25 16 y 2消 得 x 3 16 x 4，整理得 23x 50 x 175 0，
2 2
25
x 3 y 4
2 50 4 3 175> 0，
2
故动点 P 的轨迹与圆 2C ： x 3 y 4有两个公共点，故 B错；
2 2x y
1
联立 25 16 消去 y得
4 x 5 y 10 0
2
8x 20 x 75 0，
2 20 4 8 75> 0，
故直线 l1上存在这样的点 P ，
所以直线 l ： 4 x 5 y 10 01 为成双直线，故 C对；
2 2x y
1
联立 25 16 消 y 整理得
y kx
2 2
16 25k x 400，
20 20
解得 x , x 1 2 ，
2 216 25k 16 25k
20k 20k
故 y kx , y kx 1 1 2 2 ，
2 216 25k 16 25k
20 20k 20 20k
不妨设 A , , B , ，
16 2 2 2 225k 16 25k 16 25k 16 25k
高二数学 第 4 页 共 4 页
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2 2
设M x , y
x y
0 0 ，故
0 0 1，
25 16
y y y y
k 1 0则 , k 2 01 2 ，x x x x
1 0 2 0
y y y y
k k 1 0 2 0
1 2
x x x x
1 0 2 0
2
y y
1 2 y y y y 1 2
0 0
2x x x x x x
1 2 1 2 0 0
2400k
2y
2 0 16 25k
，400
2x
2 0
16 25k
2 16
将 y 16 2x0 0代入上式，
25
2400k 16
216 x
2 0
k k 16 25k 25
16
1 2 ，故 D对．400
2 25x
2 016 25k
13.【答案】2
因为 l : x y 1, l : ax 2 y 0，且 l //l1 2 1 2，
a
所以 1，得 a 2，
2
3
14． ,1 写成不等式形式也给分，但是区间端点不对不给分【详解】直线 l：kx y 2 k 0， 4
得 k x 1 y 2 0，可知直线 l过定点 P 1, 2 ，
如图，曲线 y 1 2x 表示以 O为圆心，1为半径的上半圆，
2 k 3
当直线 l与半圆相切时， 1，解得 k ，
2
k 1 4
曲线 y 1 2x 与 x轴负半轴交于点 A 1, 0 ， k 1PA ，
3
因为直线 l与曲线 y 1 2x 有两个交点，所以 k 1 .
4
高二数学 第 5 页 共 5 页
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2
15． 2
y
x 1, x (1, ) 注意：此处无 x>1给 2分【详解】设圆C 的半径为 r ，
3
2 2
圆 A : ( x 2) y 9的圆心 A 2, 0 ，半径 r 31 ，
2
圆 B : ( x 2) 2y 1的圆心 B 2, 0 ，半径 r 12 ，
因为圆C 与圆 A 、圆 B 外切，
则 CA r 3, C B r 1，
所以 CA CB 2 4 AB ，
所以点C 的轨迹是以 A, B 为焦点的双曲线的右支，
又 2c 4, 2a 2 2 2 2，则 c 2, a 1, b c a 3，
2
y
所以其轨迹方程为 2x 1, x (1, ) ．
3
6
16．【答案】 y x注意：只写对一条渐近线可给 3分，写对两条给 5分。【详解】设
2
x y
P x , y0 0 ， x 0， y 0 B 0, b F c, 0 BF0 0 ，因为 ， 2 ，所以直线 2的方程为 1，又
c b
1 1 bS 3S
♀ BF F ♀ PF F ，S 2c b bc，S 2c y cy bc 3cy y 1 2 1 2 ♀ BF1F 2 ♀ PF1F 0 0，则有 0，解得2 0 ，2 2 3
b x y 2c 2c b
将 y 代入 1中得 x ，则 P ,0 0 ，
3 c b 3 3 3
2 2
4c b
b 6
所以 9 9 ，结合双曲线中
2 2
a b 2c ，解得 ，
1
2 2 a 2
a b
6
故双曲线 C的渐近线方程为 y x．
2
17．
【详解】（1）
设直线 l 与圆C 相交于 A, B 两点
高二数学 第 6 页 共 6 页
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∵ l ： y kx 1过定点 M 0,1 ．................................1分
∴当 l CM 时，弦长 AB 取最小值．................................2分
2 1
∵ k 1CM ，................................3分
1 0
∴ k 1 ................................4分
∴ k 1时直线 l ： y kx 1与圆C 相交得到的弦长最短．................................5分
（2）设直线m与圆C 相交于 E , F 两点
①当 km不存在时，依题意有：直线m的方程为 x 4
2 2 2
∵圆C ： x 1 y 2 5
∴弦长 E F 22 5 4
2
1 8符合．
∴直线m方程为 x 4符合题意．................................6分
②当 k 存在时，设直线m： y 4 k x 4 即 kx y 4k 4 0m ................................7分
∵弦长 E F 8， r 5，∴ 2 2= d 5 4 3．C m
k 2 4k 4
∵C 1, 2 ，∴ 3．................................8分
2
k 1
3
解得 k ．
4
3
∴直线m方程为： x y 1 0即 3x 4 y 4 0．................................9分
4
综上：直线m方程为： x 4或 3x 4 y 4 0．................................10分
18．【详解】（1）因为 ABCD 为平行四边形，
所以 AD BC 5，................................1分
因为 2 2 2AB AC BC ，
所以 AB AC ，................................2分
因为 PA 平面 ABCD ，CA 平面 ABCD ，................................3分
所以 PA AC ，................................4分
而 PA AB A, PA, AB 面 PAB ，................................5分
所以 AC 面 PAB ；................................6分
（2）若选①：解法（一）因为 PA 平面 ABCD ，CA, AD 平面 ABCD ，
高二数学 第 7 页 共 7 页
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所以 PA AC , PA AD ，................................7分
因此 2 2 2 2PC 2 4 2 5 , PD 2 5 29 ，
因为 ABCD 为平行四边形，
所以 AB DC 3，................................8分
因为 2 2 2PC CD PD ，
所以 PC CD ，................................9分
设点 A 到平面 PCD 的距离为 h，
因为V VA PCD P ACD ................................10分
1 1 1 1
所以 .h. 2 5 3 2 3 4 ................................11分
3 2 3 2
4 5
所以 h ................................12分
5
另解：
解法（二）：若选①，以 A 为坐标原点， AB ， AC, AP 所在直线分别为 x, y , z轴，
如图建立空间直角坐标系 A xyz ，
A(0,0,0), P(0,0,2), C(0,4,0), D(-3,4,0) ................................7分
AP ( 0,0,2) ,CD ( 3,0,0) ， PC ( 0,4, 2) ,................................8分
设平面 PCD的法向量为m ( x, y , z)
m PC 0 4 y 2 z 0
m CD 0 3 x 0 ................................9分
令 y 1 ,则 z 2, x 0
m 0,1,2 ................................10分
高二数学 第 8 页 共 8 页
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不妨设点 A到平面 PCD的距离为 d,则
| AP m | 4 4 5
d
| m | 5 5
4 5
所以点 A到平面 PCD的距离为 ................................12分
5
若选②：因为 PA 平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，
所以 PA CD ，
由（1）可知： AB AC ，因为 ABCD 为平行四边形，
所以 AB / /C D ，因此CD AC ，
而 PA AC A, PA, AC 平面 PAC ，
所以CD 平面 PAC ，而 PC 平面 PAC ，
因此CD PC ，所以 PCA是二面角 P CD A 的平面角，
PA 1 PA 1
tan PCA PA 2，以下过程见选①的解答过程；
AC 2 4 2
若选③：因为V P 8ABCD ，
1
所以 3 4 PA 8 PA 2，以下过程见选①的解答过程.
3
19．【详解】（1）当直线 l 的斜率不存在时，显然直线 x 3与圆C 相切，...........................1
分
当直线 l 的斜率存在时，设切线方程为： y 3 m( x 3) ，...........................2分
| 2m 3 |
圆心到直线的距离等于半径 2 ...........................3分
21 m
5
，解得m ，...........................4分
12
切线方程为： 5x 12 y 21 0，...........................5分
综上，过点 M (3, 3) 且与圆C 相切的直线方程为： x 3或 5x 12 y 21 0 ..........................6
分
2 2 2 2 2 2（ ）圆C : ( x 1) y 4 与圆Q : x y 4 x 2ay a 0，
2
相减得圆C 与圆Q 的公共弦所在直线方程 l : 2ay 2 x a 3 0，...........................7分
圆C 的圆心为(1，0)， r 2 ，
设C 到直线 l 的距离为d ，
高二数学 第 9 页 共 9 页
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22 a 3
∴ d ，...........................8分
2 2
( 2a ) ( 2)
又∵圆C 与圆Q 公共弦长为 14，
2
2 14 2
∴ d r ，...........................9分
2
2
2
a 1
即 7 4 ，...........................10分.
2
4a 4 2
解得 a 1，...........................11分
Q 2 2 2 2∴圆 的方程为 x y 4 x 2 y 1 0或 x y 4 x 2 y 1 0 ............................12分
2 2
x y
20．【详解】（1）由题意得 1的焦点为 ( 3 , 0) , ( - 3 , 0) ，...........................1分
5 2
2 2
x y
故椭圆 C： 1 a b 0 的焦点为 ( 3 , 0) , ( - 3 , 0) ，则 c 3；
2 2
a b
2 2 2
c y b
令 x 3，则 1, y ，
2 2
a b a
2
2b
故由过椭圆 C的右焦点且垂直于 x轴的弦长度为 1可得 1，...........................2分
a
联立 2 2 2 2c a b 3，解得 a 4, b 1，...........................3分
2
x
故椭圆 C的方程为 2y 1；...........................4分
4
2
（2）将 y x m x 2 2代入 2y 1得 5x 8mx 4(m 1) 0，...........................5分
4
需满足 2 280 16m 0，即m 5；...........................6分
2
8m 4(m 1)
设 A( x , y ) , B ( x , y )1 1 2 2 ，则 x x , x x ，...........................7分1 2 1 2
5 5
8 8
由 AB 2得 2 ( x x ) 4 x x 1 2 1 2 ，...........................8分
5 5
2
8m 2 4(m 1) 8即 2 ( ) 4 ，...........................9分
5 5 5
高二数学 第 10 页 共 10 页
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解得 2m 3，...........................10分
故m 3 ，符合题意............................12分
2 2
x y
21．【详解】（1）由题意，双曲线C : 1的离心率为 2 ，且 M 3, 1 在双曲线C 上，
2 2
a b
9 1
12 2
a b
c
可得 e 2 ，...........................2分
a
2 2 2c a b
解得 2 2a 8， b 8，...........................3分
2 2
x y
所以双曲线的方程为 1 ............................4分
8 8
（2）双曲线C 的左焦点为 F 4, 0 ，
当直线 l 的斜率为 0时，此时直线为 y 0，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；.........5
分
当直线 l 的斜率不为 0时，设 l : x my 4，...........................6分
x my 4 2 2
联立方程组 ，消 x得 m 1 y 8my 8 02 2 ，易得 0，...........................7
x y 8
分
由于过点 F 作直线 l 交C 的左支于 A, B 两点，
8m 8
设 A x , y B x , y1 1 ， 2 2 ，所以 y y ， y y 1 2 1 2 ，...........................8分2
m 21 m 1
由直线 AP : y 2 k x 4 ，得Q 2, 2 2k1 1 ，...........................9分
y 2 2k y 2 2k y 2 y 2
k 2 1 2 1 1 1所以 k k 2 ，又 1 PA ，...........................10分x 2 my 2 x 4 my
2 2 1 1
高二数学 第 11 页 共 11 页
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y 2 y 2 2k y 2 my 2 my y 2 2k
1 2 1 1
2 1 2 1
所以 k k1 2
my my 2 my my 2
1 2 1 2
2my 2 y 4 2my 2mk y
2 1 1 1 1
，...........................11分my my 21 2
y 2
1
因为 k 1 ，所以 k my y 21 1 1 ，且 y y my y1 2 1 2，
my
1
2m y y 2 y y
1 2 1 2
所以 k k 21 2 ，即 k k 1 2
为定值............................12分
my my 2 y y 2 y1 2 1 2 1
22．【详解】（1）在 R t△ABC 中，因为 D E // BC ，故 DE AC ，
故在四棱锥 A D EBC 中，有 BC CD , D E A D , D E CD1 1 ，
而 A D CD D1 ，故 DE 平面 A CD ，因 A C 平面 A CD1 1 1 ，
所以 D E A C A C BC1 ，而 D E // BC ，故 1 ，
而 A C CD1 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系：
........................1分（只要建系对都给 1
分）
在 R t△ABC 中，因为 D E 经过 ABC 的重心 G（如图），连接 AG 并延长，交 BC 于 H，
AG 2 AD 2 D E
则 ，故 ，
AH 3 AC 3 BC
因为 AC 6, BC 3，故 AD 4, C D 2, D E 2，
在 R t A DC1 中， A C 16 4 2 31 ，
则C 0, 0, 0 , A 0, 0, 2 3 , D 2, 0, 01 , B 0, 3, 0 , E 2, 2, 0 ，...........................2分
故 M 1, 0, 3 ，故 CM 1, 0, 3 ，又 A B 0, 3, 2 3 , BE 2, 1, 01 ，...........................3
分
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{#{QQABSYaUogggQAIAAAgCQwXgCgEQkAACACoOhAAIoAABwANABAA=}#}
设平面 A BE1 的法向量为 n a , b, c1 ，
n A B 0 3b 2 3c 0
则
1 1 ，即 ，
n BE 0 2a b 01
取 b 2 ，则 c 3 , a 1，故 n 1, 2, 31 ，...........................4分
4 2
故 cos CM , n 1 ，
2 8 2
2
故CM 与平面 A BE1 所成角的正弦值为 ，...........................5分
2
π
因为CM 与平面 A BE1 所成角为锐角，故该角为 ............................6分
4
（2）存在，（此处答有存在都可以给 1分）设 A1N A B ，则 A N 0, 3 , 2 3 1 1 ，故
N 0, 3 , 2 3 2 3 ，...........................7分
又CN 0, 3 , 2 3 2 3 , D E 0, 2, 0 , D N 2, 3 , 2 3 2 3 ， CM 1, 0, 3 .........8
分
设平面CMN 的法向量为 n s, t, w2 ，
n CN 0 3 t 2 3 2 3 w 0
则
2 ，即 ，
n CM 02 s 3w 0
2 3 2 3
取 w 2 3 2 31，则 s 3 , t ，故 n 3 , ,12 ，...........................9分3 3
设平面 D EN 的法向量为 n 3 s , t , w1 1 1 ，
n D E 0 2t 01
则 ，即 ，
n DN 0 2s 3 t 2 3 2 3 w 01 1 1
取 w 11 ，则 t 0, s 3 3 n 3 3 , 0,11 1 ，故 3 ，...........................10分
因为平面 D EN 平面CMN ，故 n n3 2 ，
所以 3 3
2
3 1 0 ，故 ，...........................11分
3
A N A N
所以 1 2 ,即在线段 A B1 上存在点 N使得平
1
面 D EN 平面CMN ，此时 2
BN BN
............................12分
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