2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（三）
解析版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合P={x｜x＞1}，Q={x｜x2-x＞0}，则下列结论正确的是( )
A．P=Q B．P∪Q=R C．P Q D．Q P
【答案】C
【解析】对P有，P=（1，+∞)，对于Q，有x2-x＞0，解可得x＞1，或x＜0；则Q=（-∞，0)∪（1，+∞)；所以P Q ， 故选择C．
【分析】根据题意，对于Q，求出x2-x＞0的解集，化为区间的形式，进而与P进行比较，即可得答案．
2．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有( )
①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解析】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，故选B．
【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.
3．要得到函数y＝sin（2x+ ）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】函数 y=cos（2x-）=sin（2x- + ）=sin（2x+）=sin［2（x+）+］
要得到函数y=sin（2x+）的图象，
只需将函数y=cos（2x-）的图象上所有点向右平移个单位长度，
故答案为：D。
【分析】先把函数变形整理，得到y=cos（2x-）=sin［2（x+）+］， 再利用三角函数的图象变换，即可得结果.
4．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．出租车车费与出租车行驶的里程 B．商品房销售总价与商品房建筑面积
C．铁块的体积与铁块的质量 D．人的身高与体重
【答案】D
【解析】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；
对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；
对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；
对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，
因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故答案为：D。
【分析】根据函数的定义，逐一进行判断即可.
5．已知向量，满足 =1，||=2，||=3，则|﹣|=（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】C
【解析】解：向量，满足 =1，||=2，||=3，
∴（﹣）2= 2﹣2+2 =22﹣2×1+32=11，
∴|﹣|=．
故选：C．
【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，求模长|﹣|即可．
6．已知角ɑ的终边经过点P（-2,1），则（ ）
A．sinɑ= B． sinɑ= C．cosɑ= D．tanɑ= -2
【答案】A
【解析】角ɑ的终边经过点P（-2,1），
所以P到原点的距离为
根据三角函数定义得到：
sinɑ= =，cosɑ= = - ，tanɑ=-；
故答案为：A.
【分析】由角ɑ的终边经过点P（-2,1），所以P到原点的距离为，再利用三角函数定义求出角ɑ的正弦值、余弦值和正切值。从而选出正确的选项。
7．若a+b=2，则3a+3b的最小值（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】3a+3b≥2=2=6，当且仅当a=b=1时取等号。
【分析】由基本不等式a＞0，b＞0，a+b≥2，当且仅当a=b时等号成立
【点评】应用基本不等式时要注意基本不等式适用的条件，即“一正二定三相等”，且这三个条件缺一不可.
8．命题“，ex＞x2”的否定是（ ）
A．，ex≤x2 B．x0∈R，＞
C．x0∈R，≤ D． ，ex＜x2
【答案】C
【解析】命题的否定需要将限定词和结论同时否定，
题目中：为限定词，x∈R为条件，ex＞x2为结论；而的否定为，ex＞x2的否定为ex≤x2，
所以，ex＞x2的否定为x0∈R，≤故答案为：C.
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系选出命题“，ex＞x2”的否定。
9．复数z=所对应的点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解析】z= = = - i， 可知复数z的实部为正，虚部为负，所以所对应的点在第四象限。
故选D
【分析】根据复数单位的性质与运算法则求解答案
10．已知0＜a＜b＜1＜c，则（ ）
A．ab＞aa B．ca＞cb C．logac＞logbc D．logbc＞logb a
【答案】C
【解析】解：∵0＜a＜b＜1＜c，则ab＜aa ， ca＜cb ， logac＞logbc，logbc＞logba．
故选：C．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可判断出正误．
11．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90、89、90、95、93、94、93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A．92 ， 2 B．92 ， 2.8 C．93 ， 2 D．93 ， 2.8
【答案】B
【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+ （3+4+3)=92；方差为：（22×2+12×2+22)=2.8，故选B。
【分析】本题主要考查平均数与方差的求法，熟记方差公式，属于基础题型。
12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是 （ ）
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角
【答案】D
【解析】
画出如图所示的正方体，由AD∥A1D1，易知A1C1与AD成45°角，所以A不正确；D1C1∥AB,所以B不正确；∠BAC1为AC1与DC所成的角，不是45°，所以C不正确；B1C∥A1D，所以∠DA1C1为A1C1与B1C所成的角，连接DC1，可知△A1DC1为等边三角形，所以A1C1与B1C成的角是60°， 所以D正确.
【分析】要求两条异面直线所成的角，关键是通过做平行线，把两条异面直线所成的角做出来，然后再计算.
二、填空题：：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则当x＜0时，f（x）=
【答案】﹣x2+2x
【解析】
解：当x＜0时，﹣x＞0，
则f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x．
又f（x）是R上的奇函数，
∴当x＜0时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x．
故答案为：﹣x2+2x．
【分析】当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求得f（﹣x），由奇函数的性质可得f（x）与f（﹣x）的关系，从而可求出f（x）．
14．（lg - lg25）÷ =
【答案】-20
【解析】
（lg - lg25）÷
=（-2lg2 - 2lg5）÷
= -2（lg2×5）÷
= -2×10
= -20
【分析】利用对数的商的运算法则和有理数的运算法则即可。
15．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米．
【答案】50
【解析】
设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD OD cos60°=OC2
即，1502+1002-2×150×100× = r2
解得r=50（米）．
【分析】连接OC，由CD∥OA知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
16．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ＋＝＋；②＋＝＋；③＋＝＋中成立的序号为 ．
【答案】②
【解析】
以PA、PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC中点O，同样以PB、PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD中点O′，则O与O′重合，∴ ＋＝＋
【分析】本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据平行四边形的性质结合所给向量满足的关系进行分析即可.
17．已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是 ．
【答案】31
【解析】解：一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，
∴ = 31，解得x=32．
∵ 6×50%=3
∴数据的第50百分位数是 = 31
【分析】利用中位数的性质求x，再百分位数的定义可知数据的第50百分位数是数据第三位和第四位的平均数．
18．设 ，则= .
【答案】-2
【解析】
==
=lg = -2
【分析】先根据x≤ 0，求；再根据x＞0，求出
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知△ABC的面积为3，b-c=2，cosA=-，问：
（1）求a和sinC的值
（2）求cos（2A+）的值
【答案】
因为cosA=-，所以sinA==，
在△ABC中，S△ABC=bcsinA=3，得bc=24，
又因为b-c=2，
解得b=6，c=4，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=62+42-2×6×4×（-）=64，所以a=8，
由正弦定理 = ，得=，所以sinC=
因为sinA=，cosA=-
所以cos2A=2cos2A-1=-，sin2A=2sinAcosA=-
又因为cos =，sin =
cos（2A+）=cos2Acos - sin2Asin =-× -（-）× =
【解析】
（1）由面积公式可得bc=24，结合b-c=2，可求得解得b=6，c=4。再由余弦定理求得a=8，最后由正弦定理求sinC的值。
（2）由（1）的结论和三角变换可得。
【分析】解三角形问题实质是附加条件的三角变换，因此在解三角形问题的处理中，正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用，分析近几年的高考试卷，有关的三角题，大部分以三角形为载体考查三角的变换。
20．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．
【答案】
（1）解：由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．
则当0≤x≤1时，
y=（5x+3x）×2.6=20.8x
当1＜x≤时，
y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，
当x＞时，
y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；
即得y=
（2）解：由于y=f（x）在各段区间上均单增，
当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；
当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；
令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，
所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元
乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元
【解析】（1）根据题意可得函数解析式。（2）根据已知选择函数的解析式利用单调性求出答案。
21．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.i.用所给编号列出所有可能的结果；ii.设A为事件“编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率
【答案】
甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27+9+18=54
则应从甲协会抽取27× =3（人）；
则应从乙协会抽取9× =1（人）；
则应从丙协会抽取18× =2（人）；
故从甲乙丙三个协会抽取的运动员人数分别为3,1，2
i.从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种
ii.事件A可能得结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种
因此，事件A发生的概率为P（A）= =
【解析】1.由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3，2，1
2.i列举15种；ii符合条件的结果有9种，则可求得
【分析】注意分层抽样是按比例抽取，求古典概型记得概率关键是求与的值常借助表格、树状图、以及列举法进行计算，注意基本事件的列举要按照一定的顺序进行列举，否则，容易出现遗漏或重复的现象，这点更引起康生现在。
22．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为矩形，AB⊥平面AA1D1D，CD⊥平面AA1D1D，E、F分别为A1B1、CC1的中点，且AA1=CD=2，AB=AD=1．
（1）求证：EF∥平面A1BC；
（2）求D1到平面A1BC1的距离．
【答案】
证明：（1）
取A1B的中点O，连接OE，OC，则OE平行且等于BB1，
∵F为CC1的中点，∴CF等于CC1，
∵CC1平行且等于BB1
∴OE平行且等于CF，
∴四边形OECF是平行四边形，
∴EF∥OC，
∵EF 平面A1BC，OC 平面A1BC，
∴EF∥平面A1BC；
（2）解：由题意可知，BB1=2，A1D1=1，C1D1=2
△A1BC1中，A1B=A1C1=，BC1=，∴= xx=．
设D1到平面A1BC1的距离为h，则=× h=×h== BB1=xA1D1 C1D1 BB1=xx2x1x2
∴h=．
即D1到平面A1BC1的距离为．
【解析】（1）取A1B的中点O，连接OE，OC，证明四边形OECF是平行四边形，可得EF∥OC，即可证明EF∥平面A1BC；
（2）利用等体积法求D1到平面A1BC1的距离．2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（三）
学生版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合P={x｜x＞1}，Q={x｜x2-x＞0}，则下列结论正确的是( )
A．P=Q B．P∪Q=R C．P Q D．Q P
2．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有( )
①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
3．要得到函数y＝sin（2x+ ）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．出租车车费与出租车行驶的里程 B．商品房销售总价与商品房建筑面积
C．铁块的体积与铁块的质量 D．人的身高与体重
5．已知向量，满足 =1，||=2，||=3，则|﹣|=（ ）
A． B．6 C． D．5
6．已知角ɑ的终边经过点P（-2,1），则（ ）
A．sinɑ= B． sinɑ= C．cosɑ= D．tanɑ= -2
7．若a+b=2，则3a+3b的最小值（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．命题“，ex＞x2”的否定是（ ）
A．，ex≤x2 B．x0∈R，＞
C．x0∈R，≤ D． ，ex＜x2
9．复数z=所对应的点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
10．已知0＜a＜b＜1＜c，则（ ）
A．ab＞aa B．ca＞cb C．logac＞logbc D．logbc＞logb a
11．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90、89、90、95、93、94、93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A．92 ， 2 B．92 ， 2.8 C．93 ， 2 D．93 ， 2.8
12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是 （ ）
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角
二、填空题：：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则当x＜0时，f（x）=
14．（lg - lg25）÷ =
15．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米．
16．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ＋＝＋；②＋＝＋；③＋＝＋中成立的序号为 ．
17．已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是 ．
18．设 ，则= .
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知△ABC的面积为3，b-c=2，cosA=-，问：
（1）求a和sinC的值
（2）求cos（2A+）的值
20．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．
21．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.i.用所给编号列出所有可能的结果；ii.设A为事件“编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率
22．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为矩形，AB⊥平面AA1D1D，CD⊥平面AA1D1D，E、F分别为A1B1、CC1的中点，且AA1=CD=2，AB=AD=1．
（1）求证：EF∥平面A1BC；
（2）求D1到平面A1BC1的距离．
