7.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2
运城市2023-2024学年高三第一学期期中调研测试
子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天
计算，记此人第n日布施了a,子安贝（其中1≤n≤31，neN),数列{a.的前n项和为
数学试题
5.若关于n的不等式S。-47.<-a,恒成立，则实数t的取值范围为
2023.11
A(-,》
B.(-∞，12)
c(-2)D.(-,贤)
本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)
8.定义在R上的函数f代x)满足x+3)+f代x+1)=f2)2-x)=f(x+4),
注意事项：
若分》=方，则正-)=
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓
A.-100
B.-25
C.16
D.17
名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定住置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，宇体工整、笔迹请楚。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
3.诗按照题号在各题的答题区域〔黑色线框)内作答，超出答题区城书写的答案无效。
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
4.保持卡面清洁，不折登，不破损。
9.已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
若@上6，则=号
符合题自要求的
B.若a∥b,则x=2
1复数：的虚部为
C若a与b夹角为锐角，则x>号且x≠2
A-分
B-2
c分
n.2
D.Ia+b1≥v2
2.若集合A={y1y=e引，B={xi2x2-x-1<0},则AnB=
10.已知a>0,b>0,且a+2b=1,则
生0
B.{x10≤x<1
Aa-6c-司
B.2+6≥8
C.x10D.-之C.log号a+log号b≥3
DG+≤写
3.已知平面向量4，b满足|a1=2,a·b-4,则a+b在a方向上的投影向量为
A.2a
B.2b
11.已知数列{a,满足a1=1,a,+at=3(儿∈N),则下列结论正确的是
C.a
D.b
A.a4=20
B.a2为等比数列
4.已知一个正四棱台的土下底面边长为1,3，侧棱长为√红，则棱台的体积为
A.4Π
B.3
D.1=3-1+1
C.12
D.13
C%+a+…+a8=3m,-1
2
4
3
12.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B,C,D1中，点E,F分别是楼B,C,B,B的中点，则
5已知ae0,),若na+5)=2生点，则na
A.直线EF∥平面AC,D,
4
A.51
8
R尽-1
B.Vcr-AD3
4
el
D.+1
4
6若函数)=(x-2e-分+a(aeR)在x=1处取得极小值，则实数a的取值范
C.过E,F,D,三点的平面截正方体的截面面积为2
围是
A.(-o,0)
B.(0,e)
D三被锥P。4B0的外接球半径为四
C.(-的，e)D.(e,+o)
高三数学试题第1贞（共4页）
高三数学试题第2页（共4页）期中数学试题答案
一、单项选择题
1-5CCADB 6-8 CDD
二、多项选择题
9.ACD 10.BC 11.AD 12.ABD
5 5 11 1
三、13.6 14. 4 15. 0, , 16. ,0 12 6 12 e
17.（1）因为 f (x) sin(3x ) x 的图象关于直线 对称，
8
所以3 k k Z ， ............... ..............................1 分
8 2
得 k ， k Z，因为 ，所以 k 0, ， .......................2 分
8 2 2 8
所以 f (x) sin 3x
， ............... ..............................3 分
8
f x 24
sin 3 x sin 3x ............... ..............................4 分 24 8
所以 f
x
为奇函数成立 ............... .............................5 分
24
（2）由（1）可得： f x
sin 3x
24
f x 3将 的图象向左平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的 倍，则
24 9 2
g(x) sin 2x ............... .............................7 分
3
π π
当 2kπ 2x 2kπ π ，即 kπ 5π x π kπ （ k Z），
2 3 2 12 12
函数 g(x) sin 2x
是增函数， ............... ..............................9 分
3
g x kπ 5π kπ π 故函数 的单调递增区间是 ， （ k Z）． ............... ...............10 分 12 12
1
{#{QQABYYYQogggQgAAAAgCQwVyCAAQkBACCKoOAAAEsAABgRNABAA=}#}
18.（1）设等差数列 an 的公差为 d，由题可知 d 0，
因为 a1 a3 a5 a7 a9 5a5 45，所以 a5 9， ............... .............................2 分
又 a8是 a5与 a13的等比中项，所以 a
2
8 a5a13， ............... ..............................3 分
2
即 a5 3d a5 a5 8d ，得 d 2或d 0（舍去） ............... ..............................5 分
所以 an a5 n 5 d 2n 1 . ............... ..............................6 分
2n 1
（2）由（1）知：bn .3n
所以数列 bn 的前 n项和Tn b1 b2 bn 1 bn
1 1 3 1
2
2n 3 1
n 1 n
2n 1 1 ①............... .............................7 分3 3 3 3
1 1 1 2 1 3 1 n 1
n 1
① 得： Tn 1 3
2n 3
2n 1
② ...............................8 分3 3 3 3 3 3
2 1 1
2 1 3 n n 1 1 1
两式相减得： Tn 2 2n 1 3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 9 3n 1
n 1
2 2n 1 1 ............... ..............................10 分3 1 1 3
3
n
化简得：Tn 1 n 1
1
. ............... .............................11 分
3
1 n
因为 n N ，所以 n 1 0，所以Tn 1. ............... .............................12 分
3
19.
1
解：（I）由已知得 bc sin A 3 (a 2 b 2 c 2) ， ...........................................1 分
2 4
2 2
sin A 3b c a
2
∴ .
2bc
即 sin A 3 cos A . ............................................3分
∴ tan A 3 . ............................................4分
2
{#{QQABYYYQogggQgAAAAgCQwVyCAAQkBACCKoOAAAEsAABgRNABAA=}#}
又∵ A (0, ) A
2
， ， ...........................................5 分
3
（II）由 cos ADB cos ADC得： ...........................................6 分
AD2 BD2 AB2 AD2 DC2 AC2
，又∵D为 BC的中点，∴ BD DC 7， AD 3，
2AD·BD 2 AD·DC
AB2∴ AC
2 20 b 2 c 2，即 20 . ............................................8分
b2 c2 28 cos 2 1又∵ ，
2bc 3 2
∴bc 8 . ...........................................9 分
又∵b c，∴b 4， c 2， ...........................................10 分
2 3
∴ sinC c sin A 21 2 ............................................12 分
a 2 7 14
20.(1)由题意知，在等腰梯形 ABCD中， AB//CD，
又 E,F 分别为 AB,CD的中点，所以 EF AB,EF CD，. ...................................1 分
即折叠后 EF DF ,EF CF ， ....................................2 分
DF CF F ，所以 EF 平面DCF， ....................................3 分
又MC 平面DCF，
所以 EF MC． ...................................4 分
(2)∵平面 BEFC 平面 AEFD，平面 BEFC 平面 AEFD EF ，且 EF DF ，
所以DF 平面 BEFC，CF 平面 BEFC ,
DF CF，DF ,EF ,CF 两两垂直，
以 F 为坐标原点，分别以 FD,FC,FE所在直线为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
易知DM 1,MF 1，
所以M 1,0,0 ,D 2,0,0 , A 1,0, 2 ,B 0,1, 2 ，
则MA 0,0,2 ,DA 1,0,2 ,AB 1,1,0 . ...................................6 分
设平面MAB的法向量m x1, y1, z1 ，
m MA 2z1 0 ur
则 ，取 x1 1，则 y1 1，得m 1,1,0 ； .............................8 分
m AB x1 y1 0
3
{#{QQABYYYQogggQgAAAAgCQwVyCAAQkBACCKoOAAAEsAABgRNABAA=}#}
设平面DAB的法向量 n x2 , y2 , z2
n DA x 2z 0 r
则
2 2
，取 z2 1，则 x2 2, y2 2，可得 n 2,2,1 ，..........10 分
n AB x2 y2 0
cos m,n m n 4 2 2
2 3 3 ， ....................................11 分m n
由图易知平面MAB与平面DAB夹角为锐角，
所以平面MAB与平面DAB 2 2夹角的余弦值为 ． ....................................12 分
3
21.（1）由题可得 f (x) ax ln a， l1： y a x1 ln a x a x1 1 x1 ln a ......................1 分
1 x 1g (x) ， l2： y log x x ln a a 2 ln a ， ..........................2分x ln a 2
因为 l x
1
1均过原点，所以 a 1 1 x1 ln a 0 x1 k1 e ln a，ln a
l 1 1因为 2均过原点，所以 loga x2 0 x2 e k2 ，..........................3 分ln a e ln a
所以 k1k2 1 ............................................4分
x 1 x 1 ln x
（2 1 2）由题 e ，b1 b2 e 1 1 xx 1
ln x2 1 ln x2 1x ，......................5分2 2
记 h(x)
ln x 1
ln x 1(x 0)，
x
h (x) ln x x ，记 (x) (ln x x)2 ， ...........................................6分x
x 0, 1 在 单调递减，且 ln 2
1
0， (1) 1 0，.................................7 分
2 2
x 1 0 ,1 使得 x0 0，即 ln x0 x0， ........................................8 分
2
4
{#{QQABYYYQogggQgAAAAgCQwVyCAAQkBACCKoOAAAEsAABgRNABAA=}#}
且 h x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 , 上单调递减.
m h x ln x 10 0 lnx0 1，∵ h x h
1
0 3 ln 2x ，..........................................10分0 2
1 5
又∵ h x0 x0 x ，0 2
故3 ln 2 m
5
得证. ...........................................12分
2
22.
解：（1）f (x)的定义域是（0， ）
f (x) 1 a(1 1 ) ax
2 x a 1
2 2 2 (ax
2 x a) ………………………1 分
x x x x
令u(x) ax2 x a
当a 0时， x 0 u(x) 0
f '(x) 0 f (x)在（0， ）单调递增 ………………………2 分
当a 0时， 1- 4a2
若 0，即a 1 时，u(x) 0
2
f '(x) 0, f (x)在（0， )单调递减 ……………………3 分
1
若 0,即0 a 时，令u(x) 0
2
1 1 4a2 1 1 4a2
解得x1 0, x2a 2
0
2a
易得f (x)在（0，x1)单调递减，在（x1, x2 )单调递增，在（x , )单调递减 ……4 分2
综上所述：当a 0时，f (x)在（0， ）单调递增
1 1 1 4a2 1 1 4a2 1 1 4a2
当0 a 时，f (x)在(0, )单调递减，在（ , )单调递增，
2 2a 2a 2a
1 1 4a2
在（ , )单调递减
2a
1 ………………………5 分
当a 时，f (x)在（0， ）单调递减
2
5
{#{QQABYYYQogggQgAAAAgCQwVyCAAQkBACCKoOAAAEsAABgRNABAA=}#}
(2)解法一：
x 1 1 ln x
由题易得e x m(x ) m ln x x m lnm x x x m ln e m m ln
x m m m m ……6 分
令g(x) e x mx(m 0),有g(x)在（0， ）为增函数 ………………………7 分
原式等价于g(x 1 x ) g(ln ),
x m ………………………8 分
x 1即 ln x lnm
x ………………………9 分
即lnm ln x (x 1 ),令h(x) ln x (x 1 ) ……………………11 分
x x
由（1）知a 1时，h(x)在（1， ）为减函数，h(x) h(1) 0
lnm 0 m 1 ………………………12 分
(2)解法二：
x 1 ln x
由题易得e x m(x 1 ) m ln x x m lnm m ln x x e m x m ln
x m m m m ……6 分
令g(x) e x mx(m 0),有g(x)在（0， ）为增函数 ………7 分
g(x 1 x 1原式等价于 ) g(ln ),即x ln x lnm ………………………9 分
x m x
设h(x) x 1 ln x lnm 0对 x 1恒成立
x ………………………10 分
首先h(1) 0,即m 1
下面证明m 1时，h(x) 0恒成立 ……………………11 分
由(1)知，当a 1时，x 1 ln x 0, lnm 0, 此题的证
x
m 1 ………………………12 分
6
{#{QQABYYYQogggQgAAAAgCQwVyCAAQkBACCKoOAAAEsAABgRNABAA=}#}
