云南省楚雄州2023-2024学年高二上学期期中教育学业质量监测数学试题（含解析）

楚雄州2023-2024学年高二上学期期中教育学业质量监测
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．若直线经过两点，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与之间的距离为，则（ ）
A．13 B．13或－7 C．7 D．7或－13
5．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆与圆关于直线对称．则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体中，，则（ ）
A． B． C．4 D．
8．已知圆，点，在圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．[1，25] B．[1，5] C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．云南省2013年至2022年地区生产总值指数分别为112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，则（ ）
A．这组数据的极差为8.2 B．这组数据的众数为108.1
C．这组数据的中位数为108.4 D．这组数据的85%分位数为109.5
10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数是定义域为的奇函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．是偶函数 D．是偶函数
12．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（ ）
A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面
C．当时，的最大值为1 D．当时，的最小值为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为_______．
14．圆与圆的公切线条数为_______．
15．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为_______．
16．甲、乙、丙、丁4人进行足球传球训练，每人每次随机把球传给其他人，从甲开始第一次传球，则前5次传球中，乙恰有2次传球的概率为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆，直线与圆交于A，B两点．
（1）求圆M的标准方程；
（2）求．
18．（12分）
已知直线l经过点（－1，－1）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的斜截式方程；
（2）若l与圆相切，求l的一般式方程．
19．（12分）
如图，在直三棱柱中，，，P，Q，R分别是BC，A1B1，AA1的中点．
（1）证明：平面ACC1A1．
（2）求C1到平面PRQ的距离．
20．（12分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若的面积为，求B．
21．（12分）
已知A为圆上一动点，点B（8，0），Q为AB的中点．
（1）求Q的轨迹方程；
（2）若P为圆O上一动点，在直线上存在点M，使得最小，求的最小值．
22．（12分）
如图，在圆锥OP中，AB是底面的直径，C，D是圆O上的两点，，，E为母线PB上的一点．
（1）证明：平面平面ACE．
（2）若直线AD与平面ACE所成角的正弦值为，求．
楚雄州2023-2024学年高二上学期期中教育学业质量监测
数学试卷参考答案
1．B由题意得，则．
2．A　　．
3．C由题意得的斜率为，所以的倾斜角为．
4．B易得，则，得或－7．
5．B由，得，所以在上的投影向量为．
6．C由题意得，则的中点的坐标为．由圆与圆关于对称，得的斜率为．因为的中点在上，所以，即．
7．D由题意得，所以．
8．C　如图，构造圆，当圆与圆有且仅有一个公共点时，，
即圆与圆的关系可以为相切或相交，所以得．
9．ACD这组数据从小到大依次为104.0，104.3，107.3，108.1，108.1，108.7，108.7，108.9，109.5，112.2，则这组数据的极差为，众数为108.1和108.7，中位数为.因为，所以这组样本数据的分位数为109.5．
10．BC 因为，所以共面，A错误．
不存在，使得，所以不共面，B正确．不存在，使得，所以不共面，C正确．
因为，所以共面，D错误．
11．ABD因为（当且仅当，即时，等号成立），所以的定义域为，即的值域为．因为，所以是偶函数，则是奇函数，是偶函数．
12．BC由题意得在正方形的内部（包括边界），易得平面，若平面，则在直线上，不符合题意，A错误．如图1，当与重合时，连接．
是正方形，平面．平面平面．同理可证平面B正确．
图1
如图2，当时，得，则在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧，设，
即，得，同理可得，
，
由，得，则，C正确，D错误．
图2
13． 关于平面的对称点的坐标为．
14．4 由题意得，圆与圆的半径之和为，因为，所以圆与圆外离，则圆与圆的公切线条数为4．
15． 取的中点（图略），则，所以三棱锥外接球的球心为，半径为．故三棱锥外接球的表面积为．
16． 由题意得每人每次随机把球传给其他人的概率都为，乙恰有2次传球的情况可分为在第2次和第4次传球，在第2次和第5次传球，在第3次和第5次传球，
则所求的概率为．
17．解：（1）由题意得，
得圆M的标准方程为．
（2）由（1）得M（－1，2），圆M的半径为．
圆心到直线的距离为，
所以．
18．解：（1）当经过原点时，的斜率为，则的斜截式方程为．
当不经过原点时，设的截距式方程为，代入点，
得，则，即的斜截式方程为．
综上，的斜截式方程为或．
（2）由题意得，圆的半径为2．
当的斜率不存在时，与圆相切．
当的斜率存在时，设，即，
由，得，则．
综上，的一般式方程为或．
19．（1）证明：平面，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，，
平面的一个法向量为，
平面．
备注：第一问也可以不建立空间直角坐标系，取的中点，先证明，再证明平面．
（2）解：由（1）得，
设平面的法向量为，则
取，则，得，到平面的距离为．
20．解：（1）由正弦定理得，
得，因为，所以，即．
（2）由，得，即．
由余弦定理得，则，得，
得，即．因为，所以．
21．解：（1）设，则得
因为在圆上，所以，则，化简得，
故Q的轨迹方程为．
（2）如图，设圆的圆心为，设关于对称的点，
则得即易得，则当三点共线时，最小，最小值为．
因为，所以的最小值为．
22．（1）证明：连接．
四边形为菱形，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴．
平面平面
∵平面ACE，∴平面POD⊥平面ACE．
（2）解：以为原点，的中垂线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设直线与平面所成角的正弦值为，
即．，
设平面的法向量为，则
取，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得，得，即或（舍去）．
故．