大理州民族中学 2023-2024 学年上学期期中测试 A. 的取值范围为(4,12) B. 若该椭圆的焦点在 轴上，则 ∈ (8,12)
C. 若 = 6，则该椭圆的焦距为 4 D. 若椭圆的离心率为 6，则 = 10
高二数学 3
2 2
考试时间：120 分钟 满分：150 分 10.已知点 在双曲线 ：
= 1 上， 1， 2是双曲线 的左、右焦点，若△ 1 2的面积为 20，则下列说16 9
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项 法正确的有 ( )
符合题目的要求） A. 20 50点 到 轴的距离为 3 B. | 1| + | 2| = 3
1. 设集合 = { |2 ≤ 4}， = { ∈ | 2 4 + 3 ≤ 0}，则 ∩ =( )
C. △ 1 2为钝角三角形 D. ∠ 1 2 = 3
A. [1,2] B. ( 1,3) C. {1} D. {1,2}
1+ 11. 已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | <
)的部分图象如图所示，
2. 在复平面内，复数 对应的点位于( )
2
下列说法正确的是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
A. 函数 = ( )的最小正周期为 2
1
3. 函数 ( ) = ( 2 )
+ 2 的零点所在区间为( )
B. 函数 = ( )的图象关于直线 = 5 对称
A. ( 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 12
C. = ( ) [ 2 , 1 1 2 1 函数 在 3 6 ]单调递减4. 已知 = 23， = ( 3 ) ， = log2 2，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < < D. 该图象向右平移6个单位可得 = 2 2 的图象
5. 如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为 ( ) 12. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以
A. = | | 4 2 B. = 4 2 上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被
C. = 2 + 2| | D. = 2 + 2 称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为 24，棱长为 2的半正多面体，它的所
2
6. 双曲线 2 = 1 的渐近线方程为 ( ) 有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四4
面体所得．若点 为线段 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是( )
A. =± 14 B. =±
1
2 C. =± 2 D. =± 4
A. 16该半正多面体的体积为
7.已知圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 4，直线 经过点 (1,1)，则直线 被圆 3截得的最短弦长为( )
B. 当点 运动到点 时， //
A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3
2 2 C. 当点 在线段 上运动时(包含端点)， 始终与 垂直
2 8. 已知 1， 2是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点， 为椭圆 上一点，且∠ 1 2 = 3，若△ 1 2
D. 直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为[0, 22 ]
的面积为 9 3，则 =( )
A. 9 B. 3 C. 4 D. 8
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
13. 抛物线 = 8 2的焦点到准线的距离是 ．
求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分）
2 2 14. 某汽车 4 店有甲、乙、丙、丁、戊 5种车型在售，小王从中任选 2种车型试驾，则甲车型被选到的概率
9.已知曲线 + = 1 表示椭圆，下列说法正确的是 ( )12 4
为 ．
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15. 已知直线 + 1 = 0 被圆 ： 2 + 2 = 4 所截得的弦长为 2 2，则 = ． 20.(本小题 12分)如图，四棱锥 中，PA ⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．
16. 如图，已知矩形 4中， = 3 = 8，现沿 折起，使得平面 ⊥平面 ，连接 ，得到三棱
若PA = AD = 3，CD= 6.
锥 ，则其外接球的体积为 ． (1)求证：AF∥平面PCE；
(2)求点F到平面PCE的距离.
四、解答题（本题共 6 题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦距为 8，且椭圆上任一点到两焦点的距离之和为 12;
2 2
(2)与双曲线 = 1 有相同的焦点，长轴长是 10.7 9 21.(本小题 12分)已知四棱锥 (如图)，四边形 为正方形，平面 ⊥平面 ，
= = = 2， 为 中点．
(1)求证： ⊥ ；
18.( 本小题 12分)在△ 中，内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 = cos 2． (2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
(1)求角 ；
(2)若 = 3，求△ 面积的最大值．
19.(本小题 12分)如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 40名，将其成绩(均．为．整．数．)整理后画出
的频率分布直方图如下： 22.(本小题 12分)已知椭圆 ：
2 2
2 +
2 = 1 的焦距为 2， 1， 2分别为左右焦点，过 1的直线 与椭圆 交于 ，
观察图形，回答下列问题： 两点，△ 2 的周长为 8．
(1)80 90这一组的频数、频率分别是多少？ (1)求椭圆 的标准方程；
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数． 2
(2)已知结论：若点( , )为椭圆 +
2
0 0 2 2 = 1 上一点，则椭圆在该点的切线方程为
0
2 +
0
2
= 1.点 为直线
(3)从成绩是 80分以上(包括 80分)的学生中选两人，求他
= 8 上的动点，过点 作椭圆 的两条不同切线，切点分别为 ， ，直线 交 轴于点 .证明： 为定点.
们在同一分数段的概率．
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{#{QQABCYQQggggQAJAAQhCQwEiCgCQkAACAKoOAAAAsAABAQFABAA=}#}高二数学参考答案
2 2 2
一、选择题 (2)由余弦定理得 = + 2 cos ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即 3 = 2 + 2 + ，
答案 D A D C C B C B BC BC BD BCD
则 3 = 2 + 2 2 ，当且仅当 = 时等号成立，
二、填空题 解得 1，
1 2 500π
13. ； 14. ； 15. 1
16 5 ；
16. 1 3 3
3 则 △ = sin = ，2 4 4
3
三、解答题 故△ 面积的最大值为 ．
4
17. 解：(1)由已知条件可得 2 = 8， = 4;
2 = 12， = 6，∴ 2 = 2 2 = 36 16 = 20，
19. 解：(1)根据题意，设 40 50的这一组的频率，等于 80 90的这一组的频率，等于 ，
2∴
2 2 2
所求椭圆的标准方程为 + = 1或 + = 1；
36 20 20 36 50 60的这一组的频率为 0.015 × 10 = 0.15，
60 70的这一组的频率为 0.025 × 10 = 0.25，
(2) 由已知双曲线的焦点在 轴上且焦点坐标为(0, ± 4)， = 4 70 80的这一组的频率为 0.035 × 10 = 0.35，
2 = 10， = 5，∴ 2 = 2 2 = 25 16 = 9， 90 100的这一组的频率为 0.005 × 10 = 0.05，
∴
2 2
所求椭圆的标准方程为 + = 1． 则 80 90这一组的频率为[1 (0.15 + 0.25 + 0.35 + 0.05)] ÷ 2 = 0.1，
9 25
其频数为 40 × 0.1 = 4；
(2)这次竞赛成绩的平均数为 45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.25 + 75 × 0.35 + 85 ×
18. 解：(1) ∵ = cos 2， 0.1 + 95 × 0.05 = 68.5，
= 1由正弦定理得： ，
2 70 80一组的频率最大，人数最多，则众数为 75，
又∵ sin = sin( + )， 70分左右两侧的频率均为 0.5，则中位数为 70；
∴ ( + ) = + = 1 ， (3)记“取出的 2人在同一分数段”为事件 ，
2
= 1 因为 80 90之间的人数为 40 × 0.1 = 4，设这四个人为 ，则 ，
2
在△ 中， ∈ (0, )，则 sin ≠ 0， 90 100之间有 40 × 0.05 = 2人，设为 ，从这 6人中选出 2人，有
∴ cos = 1，
2 , 、 , 、 , 、 , , 、 , 、 , 、 , 、 , 、 , 、 ,
又 ∈ (0, )，解得 = 2 ； , 、 , 、 , 、 , ，共 15个基本事件，
3
其中事件 包括 , 、 , 、 , 、 , 、 , 、 , 、 , ，共 7个基本事件，
则 = 715．
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20. 解：（1）如图建立坐标系 设直线 与平面 所成角为 ，
6 3 3
0,0,3 , , 0,0 , 6, 3,0 , 0, , , | | |1×1+2×2+
3
3 ×( 3)|
2 2 2 则 = |cos , | =
6
|
= =
| | | 1+4+1
，
3× 1+4+3
4
6 6 3 3 = , 0,3 = , 3,0 , = 6, , , 因为 ∈ [0, ]，所以 = 1 sin2 = 1 ( 6 )2 = 102 ，2 2 2 2 4 4
6 所以直线
10
平面 所成角的余弦值为 ．
= 0 + 3 = 0
4
设平面 的法向量为 = , , ,则有 2
,即
= 0 6 + 3 = 0
2
22. 解：(1)如图 1，
令 = 6, 可得平面 的法向量为 = 6, 1,1 .
又因为 = 0, 所以 //平面
C F 2 n 3 3 2（ ）F到平面 PEC的距离 d = = =
8 4
21.解： (1)证明：取 中点 ，连接 ，并过点 作 的平行线 ，交 于 ，则 ⊥ ，
由已知可得， | 2| + | 2| + | | = | 1| + | 2| + | 1| + | 2| = 4 = 8，
∵ = = ，∴△ 为等边三角形，
所以 = 2，又 2 = 2，所以 = 1， 2 = 2 2 = 3．
又∵ 为 中点，∴ ⊥ ， 2 2
所以椭圆 的标准方程为 + = 1；
又面 ⊥面 ，面 ∩面 = ， 面 ， 4 3
∴ ⊥ ∴ ⊥ (2)证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， (8, )．面 ， ．
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图空间直角坐标系，
因为 = = 2．
则 (1,0,0), (0,0, 3), ( 1,1,0), (1,2,0)，
所以 = 1 × ( 2) + 2 × 1 + ( 3) × 0 = 0，
所以 ⊥ ． 1 + 1 = 1 2 2 则由已知可得， 方程为： 4 3 ， 方程为： + = 14 3 ．
(2) = ( 1,1, 3), = (1,2, 3)，
将 (8, )代入 、 方程整理可得，6 1 + 1 3 = 0，6 2 + 2 3 = 0．
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
显然 、 点坐标都满足方程 6 + 3 = 0．
+ 3 = 0则有 = 0 ，即 ， = 0 2 + = 0 即直线 的方程为 6 + 3 = 0，
= 1 3 = 0 = 1 1令 ，则 = 2, = ， 令 ，可得 ，即 点坐标为( , 0)．
3 2 2
3
所以 = (1,2, )， 所以 为定点．
3
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