浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（图片版无答案）

绝密★考试结束前
2023 学年第一学期 期中联考
高二年级数学学科 试题
1 ．本卷共4页满分 150分，考试时间 120分钟；
2 ．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数
字。
3 ．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4 ．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．直线 3x 3y 1 0的倾斜角是（ ）
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.若平面 的一个法向量为 = (1,2,1)， (1,0, 1)， (0, 1,1)， ， ∈ ，则点 到平面 的
距离为 ( )
1 6 3 1A. B. C. D.
6 3 3

3. 已知空间向量 a 2, 2,1 ，b 3,0,4 ，则向量b 在向量a上的投影向量是( )
10 2
A. a B. b 10 b 2 C. D. a
9 5 9 5
4.已知两条直线 1: + 1 = 0 和 2: + + 1 = 0( ∈ )，下列不正确的是 ( )
A. “ = 1”是“ 1// 2”的充要条件 B. 当 1// 2时，两条直线间的距离为 2
C. 当 2斜率存在时，两条直线不可能垂直 D. 直线 2横截距为 1
5.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
4 2 8 3
高二数学学科 试题 第 1页（共 4页）
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6.已知 1， 2是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 1 ⊥ 2，且∠ 2 1 = 60°，则 的离心
率为 ( ）
3
A. 1 B. 2 3 3 C. 1 D. 3 1
2 2
7．若直线 l : kx y 3k 0与曲线C：1 x2 y 1有两个不同的交点，则实数 k的范围是（ ）
1 3] [1 , 3A．（ ， B． ) C． (0, 3) D． (0, 3]
2 4 2 4 4 4
8. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 2 3，点 E 为平面 A1BD内的动点，设直线 AE与平面 A1BD
所成的角为 ，若 sin 2 5 ，则点 E 的轨迹所围成的面积为（ ）
5
3 5
A. B. C. D.
2 4 4
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。

9．已知平面 ABC内的两个向量的 AB 3,1, 4 ,CB 0,2, 2 ，则平面 ABC的一个法向量
可以是（ ）
A. 3,1, 1 B. 3,1,1 C. 3, 3, 3 D. 1,1, 3
2
10．已知直线 l的倾斜角等于 ，且 l经过点 ( 3,1)，则下列结论中正确的有 ( )
3
A. l 3 1 4 3的一个方向向量为 u ( , ) B. 直线 l与两坐标轴围成三角形的面积为
6 2 3
C. l与直线 3x 3y 2 0垂直 D. l与直线 3x y 2 0平行
11.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件 A “第一次为偶数”，
B “第二次为偶数”，C “两次点数之和为偶数”，则（ ）
A. P A 1 P B B. A与 B 3互为对立 C.B与C相互独立 D. P A B 4
12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体
图案(如图 1). 把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2的组合，这个组合再转换成图 3所示的几何体.若
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图 3中每个正方体的棱长为 1，则 （ ）
A. = + 2 + 2 1
B. 若 为线段 上的一个动点，则 的
最大值为 2
C. 点 到直线 的距离是 17
3
D. 异面直线 与 1所成角的正切值为 17
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.某地一年之内 12个月的降水量分别为：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，
则该地区的月降水量 75%分位数 .
14.已知 (1,1)， (2,3)及 轴上的动点 ，则| | + | |的最小值为 .
15.已知圆 1： 2 + 2 4 + 2 = 0与圆 2： 2 + 2 2 4 = 0 相交于 、 两点，则圆 ：( +
3)2 + ( 3)2 = 1 上的动点 到直线 距离的最大值为 .
x2 y2
16．已知椭圆 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2 ，过F1且与 x轴垂直的直线交椭圆a2 b2
于 A,B两点，直线 AF2与椭圆的另一个交点为 C，若 S ABC 3S BCF ，则椭圆的离心率为 .2
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分其中第 17 题 10 分，其余每题 12 分。解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤）
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访
问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布
直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为
[40,50),[50,60), ,[80,90),[90,100]
（1）求频率分布直方图中 a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2人，求此 2 人评分都在[40,50)的概率.
高二数学学科 试题 第 3页（共 4页）
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18. 已知在△ 中， (0,1)， (4, 1)， (2,1)．
(1)求边 的垂直平分线的方程；(2)求△ 的外接圆的方程．
19. 已知直线 l过点 P (3, 2)，
（1）求在坐标轴上截距相等的直线 l的方程.
（2）若直线 l与 x轴、 y轴的正半轴分别交于 A,B两点，O为坐标原点，当 S ABO 的面积最小时，求
直线 l的方程.
20.已知 2 + 2 4 + 2 + 2 2 2 + 1 = 0 ∈ 表示圆 的方程．
(1)求实数 的取值范围；
(2)当圆 的面积最大时，求过点 4, 4 的圆的切线方程；
(3) 为圆上任意一点，已知 6,0 ，在(2)的条件下，求 2 + 2的最小值.
21. 如图，在四棱锥 中， // ， = 1, = 2， ⊥ ，
= = = 2， = 3， 是 的中点．
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)在棱 上是否存在点 ，使得半平面 与半平面 所成二面角的
4 53
余弦值为 ？ 若存在，求 : ，若不存在，说明理由.
53
x2 y2 6
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C : 1(a b 0)的离心率为 ，坐标原点O到直
a2 b2 3
线 l x y 3： 1的距离为 ．
a b 2
(1)求椭圆 C的方程；
(2)已知定点 E( 1,0)，若直线 y kx 2(k 0)与椭圆相交于C,D两点，试判断是否存在实数 k，
使得以CD为直径的圆过定点 E？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由.
高二数学学科 试题 第 4页（共 4页）
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