3.2.2函数的奇偶性_教学设计（表格式）

课题 函数的奇偶性
教学目标
教学目标： 1. 了解函数奇偶性的含义，会判断并证明一些简单函数的奇偶性； 2. 初步把握函数性质研究的基本方法，从特殊到一般，从定性到定量，体会数形结合，类 比的思想方法； 3. 经历研究函数性质的一般过程，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的核心素养。 教学重点：函数奇偶性概念的形成 教学难点：函数奇偶性的定义及判断
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
复习 引入 探究 新知 这节课之前我们通过研究某一区间上自变量的大小关系和所对应函数值的大 小关系，得到了函数的单调性，并且用符号语言准确简洁地描述了函数图象 在定义域的某个区间上“上升 ”或“下降 ”的性质，这一节课我们继续来研 究函数的其他性质。 （ppt 呈现函数 f (x ) = x2 和 g(x ) = x 的图象） 【问题 1.1】课前大家已经画好了几个函数的图象，请大家观察 f (x ) = x2 和 (
(
)
)g x = x 这两个函数的图象，体现了什么共同特点吗？ 我们很容易发现图象关于y 轴对称。 【过渡】刚刚得到的结论只是基于对图象的直观体现。我们是否也可以类比 研究函数单调性一样，把图形上所呈现的对称性在自变量与所对应的函数值 的关系中有所体现？或者说，图形上所呈现的特点在数量关系上有所体现？
那么我们观察下面的表格： x…-3-2-10123…f (x ) = x2…9410149…g (x ) = x …3210123…
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 例如对函数 f (x ) = x2 ，有 f (-3) = 9 = f (3) ， f (-2) = 4 = f (2) 【问题 1.2】我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没有出现的 点是否也具有相同的性质呢？ 比如 f (- 1.3) = f (1.3) 吗？ 事实上， vx eR ， f (-x ) = (-x )2 = x2 = f (x ) ， 具备这样特征的函数，我们称为偶函数。 上述用解析式证明结论的过程，实质上就是用符号语言刻画了函数的性质 【过渡】我们在研究函数单调性的时候，从直观的函数图象上升下降，到定 性的结论 y 随 x 增大而增大（减小），再到定量的严谨地表述。 【问题 1.3】那么我们能否类比研究函数的单调性，用数学语言表述“函数图 象关于 y 轴对称 ”这一特征呢？ 从表格中我们刚刚说到自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等，也 就是 -x 的函数值与 x 的函数值相等。那我们可以借助初中轴对称的知识把这 个结论一般化： 一般地 ， 设 函数 f (x ) 的 定 义域为 I ， 如 果 vx e I ， 都有 -x e I ， 且 f (-x ) = f (x ) ，那么函数 f (x ) 就叫做偶函数。 这样我们就得到了偶函数的定义。 类比刚才的研究方法，我们来研究另一组函数 ，请大家观察 f (x ) = x 和
g (x ) = 1 x 的图象：
（ppt 呈现函数 f (x ) = x 和 g(x ) = 的图象） 【问题 2.1】刚才两个函数图象关于y 轴对称，那以下这两个函数图象有什么 共同特征吗？ 我们发现它们的图象都关于原点中心对称。 【过渡】这个结论同样是从直观的函数图象上得到的，我们可以类比刚才的 办法，探究一下这个结论。 我们依旧采用列表的方法，可以列出下面的表格： x…-3-2-10123…
累 计 6 分 钟 f (x ) = x…-3-2-10123… (
1
)g (x ) = x …1 31 2 -1 1 1 21 3 …
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数 例如对函数 g(x ) = ， 有 g (-3) = - = -g (3) ， g (-2) = - = -g (2)。 同样地，表格中没有出现的其它点也符合上述规律，例如 f (- 1.3) = -f (1.3) 具备这样特征的函数，我们称为奇函数 【问题 2.2】类比偶函数定义，大家能否用符号语言严谨地表述“函数图象关 于原点对称 ”这一特征呢？ 一般地 ， 设 函数 f (x) 的 定 义域为 I ， 如 果 vx e I ， 都有 -x e I ， 且 f (-x ) = -f (x ) ，那么函数 f (x) 就叫做奇函数。 【过渡】这样我们得到了奇函数与偶函数的定义，接下来我们更深入地探究 一下这两个定义。 （ppt呈现奇偶函数定义） 【问题 3.1】如何理解定义中的 vx e I ，都有 -x e I ？ 从定义域中任取一个自变量，这个自变量的相反数还在定义域里。 即奇函数、偶函数的定义域必须关于原点对称。 【问题 3.2】定义中的“ v ”可以删去吗？ 显然不可以，函数的单调性可能是某个区间上的函数性质，但函数的奇偶性 体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的 特性 【问题 3.3】奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？ 我们从前两个问题中找到了奇函数与偶函数的两个相同点如下： 相同点： （1）定义域关于原点对称； （2）都是函数的整体性质。 我们从这节课开始的图象与列表中发现了奇函数与偶函数的两个不同点如 下： 不同点： （1）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是 一对相反数； （2）偶函数的图象关于y 轴对称，而奇函数的图象关于原点对称。 这样我们就从“数 ”与“形 ”上面分别找到了奇函数与偶函数的不同点。
累 计 10 分 钟 巩固 应用 【问题 3.4】偶函数定义中的 f (-x ) = f (x ) 和奇函数定义中的 f (-x ) = -f (x ) 还有其他等价的数学表达形式吗？ 有些时候，我们可以把两个函数值移到等号一边，得到奇（偶）函数 定义的等价形式： 设函数 f (x ) 定义域为I ，则有： f (x ) 是偶函数常 vx e I ， -x e I ，且 f (-x ) -f (x ) = 0 ； f (x ) 是奇函数常 vx e I ， -x e I ，且 f (-x ) + f (x ) = 0。 上述的形式在判断某些函数的奇偶性时非常有用。 例如我们在计算完 f (-x ) 后，发现并不能很直观地看出它与 f (x ) 是否相等 或互为一对相反数，那么我们可以通过和或者差的运算，结果和 0 进行比较， 来得到函数奇偶性的结论。 【过渡】我们分析过奇函数与偶函数的定义后，我们就用它来判断几个具体 函数的奇偶性： 【例 1】判断下列函数的奇偶性：（ppt先呈现第一个函数） 1. f (x ) = x4； 2. f (x) = x + ； 3. f (x ) = ； 4. f (x ) = 0. 【解】 1. 函 数 f (x ) = x4 定 义 域 为 R ， vx e R ， 都 有 -x e R ， 且 f (-x) = (-x)4 = x4 = f (x) ，所以函数 f (x ) = x4 是偶函数。 【问题 4.1】如果函数改为 g(x ) = x4 (x > 0) ，那么 g(x ) 还是偶函数吗？ 显然不是，此时函数 g(x ) 的定义域为(0, +伪) ，不关于原点对称，所以函数 g (x ) 不具有奇偶性。 【过渡】这也提示我们，研究函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点 对称。 【问题 4.2】大家可以借助我们刚刚的证明过程归纳一下证明函数的奇偶性有 哪些步骤吗？
累 计 15 分 钟 （ppt 呈现） 根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，我们可以按如下步骤进行： 第一步，求出函数的定义域； 第二步，判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数不具有奇偶性，结束 判断；若是，则进行第三步； 第三步， vx e I （I 为定义域），计算 f (-x ) ， 若 f (-x ) = f (x ) ，则 f (x ) 为偶函数； 若 f (-x ) = -f (x ) ，则 f (x ) 为奇函数； 若 f (-x ) 丰 f (x ) 且 f (-x ) 丰 -f (x )，则 f (x ) 既不是奇函数也不 是偶函数； 若 f (-x ) = f (x ) 且 f (-x ) = -f (x )，则 f (x ) 既是奇函数也是偶 函数。 特别地，证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中任意一个自变量都 成立，但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出一个反例即可。 【过渡】那么我们用刚刚一起归纳出的方法来判断下面几个函数的奇偶性 2. 函 数 f (x) = x + 定 义 域 为 {x x 丰 0 } ， vx e{x x 丰 0 } ， 都 有 -x e{x x 丰 0 } ，且 f (-x) = -x + = - (|（x + = -f (x) ，所以函数 f (x) = x + 是奇函 数. 3. 函 数 f (x ) = 定 义 域 为 [0, +m) ， 二x0 = 4 e[0, +m) ， -x0 = -4 G[0, +m) ，所以 f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数。 4. 函 数 f (x ) = 0 定 义 域 为 R ， vx e R ， 都 有 -x e R ， 且 f (-x ) = 0 = f (x ) = -f (x )，所以函数 f (x ) = 0 既是奇函数也是偶函数. 【例 2】（教材 P85/思考） 1. 判断函数 f (x ) = x3 + x 的奇偶性； 2. 右图是函数 f (x ) = x3 + x 图象的一部分，你能根据函数f (x ) 的奇偶性画 出它在y 轴左边的图象吗？
累 计 20 分 钟 课堂 小结 3. 一般地，如果知道y = f (x ) 为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它 的研究？ 【解】 1. 函 数 f (x ) = x3 + x 定 义 域 为 R ， vx e R ， 都 有 一x e R ， 且 f (一x) = (一x)3 + (一x) = 一 (x3 + x) = 一f (x)，所以函数 f (x ) = x3 + x 是 奇函数。 2. 由第一问可知 f (x ) 是奇函数，那么它的图象关于原点中心对称，所以左 侧的图象如图所示。 3. 像第二问一样，如果已经确定了函数 f (x ) 具有奇偶性，那么我们可以只 研究这个函数在一半定义域上的图象及性质，再借助函数的奇偶性得到整 个定义域上的图象及性质。 【小结】 今天我们从几个具体函数图象的对称性入手，通过计算验证函数值，然后用 符号语言表述了我们发现的结论，抽象出了奇函数和偶函数的定义，进而得 到了函数奇偶性的判定方法。 上节课我们研究了函数的单调性，今天我们探究了函数的奇偶性，那么函数 的奇偶性有什么作用？ 如果一个函数具有奇偶性，那么我们可以利用它在图象上的对称性，更加简 洁地得到这个函数的图象；并且可以与函数的单调性一起，去研究这个函数 更多的性质。