3.4.3函数的性质应用_教学设计（表格式）

课题 函数的性质应用
教学目标
教学目标： 1. 归纳抽象形成函数性质的判断规则，通过对关键词的辨析和应用规则判断函数性质 的练习，掌握判断函数的操作步骤； 2. 体会函数性质对于函数自变量、函数值以及区间的影响和联系； 3. 发展学生的数形结合思想，培养学生数学抽象与直观想象等数学素养. 教学重点：掌握利用性质解决对陌生函数的研究方法，更加透彻的理解函数的单调性和 奇偶性的应用规则. 教学难点：精准理解函数单调性和奇偶性的定义，将文字语言抽象为数学符号、数学运 算等具体可操作的步骤.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
5 分 钟 （一）利用 函数性质作 图 各位同学，大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师许雯， 通过之前对于函数的单调性、最值和函数的奇偶性的学习，你是否已经 对函数有更多角度的理解了呢？今天，咱们结合之前所学内容，看看函 数性质有哪些更广泛的应用. (
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)例 1：利用函数的性质画出y= 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函 数的单调性. (
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)师生活动：学生独立思考尝试画y= 的图象，老师引导学生从解析式寻 找函数的性质，在函数性质的指导下作图，并对比与函数y=的图象的 区别与联系. 师：我们在初中阶段学画新函数图象的时候都是在自变量的取值范围内 取值、列表、描点、作图. 现在我们已经学习了函数的一些性质，是否 可以从解析式出发，直接得到函数的某些特征呢？ 分析：函数的定义域是x≠0 的全体实数，值域是（0,+∞ ) , 因此函数图
7 分 钟 （二） 函数 奇偶性的应 用 象位于第一二象限. 再由f(-x)= 1 x = 1 x =f(x) 我们可以得到它是偶函
数，即它的图象关于y 轴对称，那么我们就可以通过只作出第一象限（x >0）时的函数图象，再利用对称性得到完整的函数图象了. 当 x＞0 时， y=的图象与反比例函数y=的图象相同，再利用偶 函数关于y 轴对称，我们就可以得到它的完整图象. (
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)不难看出y= 1 的单调增区间是（- ∞,0），它的单调减区间是（0,+∞ ) . 函 数没有最大值和最小值. 设计意图：从函数的解析式入手研究函数的性质，在函数性质的指导下 做出函数的图象，而不仅仅是整个图象依赖列表描点的作图方法.从反比 例函数入手解决函数y=的图象性质，将陌生的知识转化为熟悉的知 识，感受学以致用的过程，体会新函数的研究方法. 例 2：已知y =f (x)是定义域为 R 的奇函数，当 x＜0 时f (x) = 2x2 4x 3 1 求f ( 1)的值. ②求f (1)的值. ③写出f (x)的解析式并画出函数图 象. ④写出函数的单调递减区间. 师生活动：教师提出问题，学生经过思考、讨论后回答问题，教师板书 解答过程，师生共同分析解题思路，归纳解此类问题的研究方法. 师：题目给出了 x＜0 的解析式，因此可以直接利用解析式求f ( 1) ，即 f ( 1) = 2 12 4 1 3 = 1 那么怎么求f (1)呢，很显然我们要利用函数的奇偶性来解决问题. 由题目y =f (x)是定义域为 R 的奇函数，我们可以通过 f (1) = f ( 1) = 1 直接求解.我们还可以求出当 x＞0 时函数的解析式，进一步求f (1)的 值. 对于第三个问题，我们首先要考虑f (x)的定义域为 R ，因此我们需 要解决x = 0 和x＞0 时函数的解析式是什么的问题. 由于f (x)是定义域为 R 的奇函数，所以f(0) = 0. 对于 x＞0 的解析式，我们可以设 x＞0 ，则 x＜0 就可以代入到题
6 分 钟 （三）函数 单调性的应 用 目所给的解析式中求解.再根据奇函数的定义 我们有f ( x) = 2( x) 2 4( x) 3= 2x 2+4x+3= f (x). 所以得到当 x＞0 时，f (x) = 2x 2 4x+3， 因此 2x 2 4x 3 ，x＜0， f(x)= 0 ， x=0， 2x 2 4x+3 ，x＞0. 由图象可以看出f(x)的单调递减区间是 ( 1 ，0），（0 ，1）. （注意为什么不能写成( 1 ，1）或者 ( 1 ，0） ∪（0 ，1）呢，请你思考） 追问：当 x＜0 时，点( 1 ， 1）是图象的一个最高点，能否说此函数 存在最大值y = 1 呢？很显然最大（小）值是定义在全体定义域上的一 个性质，此函数无最大值也无最小值. 设计意图：本例题是利用函数的奇偶性求函数值以及解析式的问题，归 纳此类问题的研究方法，即从奇偶性的定义出发求解，最后从图形上刻 画函数做更加深入的理解，再对分段函数的单调区间以及最值问题进行 考察，巩固了之前所学的知识. 例 3：已知y=f (x)是定义域为 R 的单调增函数 (1)比较f (1) 与 f (5) 的大小； (2)比较f (a2 +2) 与 f (2a)的大小； (3)若f (a2)＞f (a+6 ) ，求 a 的取值范围. 师生活动：学生独立思考，教师启发引导学生独立解决问题. 师：这道题没有给出函数的具体解析式，那么我们还能比较f (1) 与 f (5) 的大小吗？ 对于在某个区间上已知单调性的函数，我们是否可以通过 比较该区间内自变量的大小比较函数值大小？它们间有何种对应关 系？ 分析：函数单调性的定义既是充分条件也是必要条件，即我们除了可以 通过在某个区间自变量的大小与函数值的大小判断函数的单调性，还可 以由函数在某个区间的单调性建立自变量大小与函数值大小的联系.因 为y=f (x)是定义在R 的单调增函数，而自变量 1＜5，所以函数值f (1) < f (5).
3 分 钟 （四）归纳 总结，布置 作业 师：怎样判断f (a2 +2) 与 f (2a)的大小呢？ 分析： 由已知y=f (x)是定义域为 R 的单调增函数，f(a2 +2)与 f(2a)的大 小可以由 a2 +2 与 2a 的大小关系确定. 因为 a2 +2-2a =(a- 1)2+1＞0 ，所以 a2 +2＞2a.再由f(x)是单调增函 数，所以f (a2 +2)＞ f (2a). 师：若f (a2)＞f (a+6 ) ， 自变量需要满足什么条件？ 分析：由于函数单调性的定义是一个充要条件，因此对于在某个区间上 已知单调性的函数，我们还可以通过该区间内函数值的大小关系得到其 对应自变量大小关系. 即由f(x)是定义域为 R 的单调增函数， 已知f(a2) >f(a+6) ，可以确定 a2 ＞a+6 ，利用一元二次不等式的解法，可得 a＞3 或 a＜-2. 设计意图：通过本例题的学习，学生对于函数的单调性的定义有更加深 刻的认识，对于单调函数的自变量对函数值的大小关系的影响理解更加 透彻，并且综合了一元二次不等式的解法，温故知新. 教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题： （1）对于不熟悉的函数我们的作图方法有哪些改进？ （2）对于具有奇偶性的函数，我们是否可以通过了解函数的局部特征 来了解整体函数呢？如果可以需要知道函数的什么信息？ （3）对于在某个区间上已知单调性的函数，我们是否可以通过比较该 区间内自变量的大小比较函数值大小？它们间有何种对应关系？ 设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小节. 布置作业： 教材 P86 第 8 题 第 11 题