3.4函数的应用_教学设计（表格式）

课题 函数的应用
教学目标
教学目标： 1.初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题的过程和方法； 2.在实际问题与数学问题的转化过程中，提升数形结合的能力，发展数学抽象的素养； 3.在建立数学模型解决实际问题的过程中，提升数学运算和数学建模的素养。 教学重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系。 教学难点：利用给定的函数模型，写出具体的函数解析式并解决实际问题。
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
1 分 钟 引言 我们学习过一次函数、二次函数、幂函数等，这些函数都与现实世 界紧密联系。下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模 型解决实际问题的过程与方法。
16 分 钟 例题解析 本节的例 1 是在教科书 3.1.2 函数的表示法例 8 的基础上继续研究 个税缴纳问题，我们来看题目信息： 例 1：2019 年 1 月 1 日起，公民依法缴纳的个税税额根据应纳税所得额、 税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数 ① 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣 除-依法确定的其他扣除 ②
其中，“基本减除费用 ”（免征额）为每年 60 000 元。税率与速算扣除 数见表格。 设小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险 费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%，2%，1%，9%，专项 附加扣除是 52 800 元，依法确定其他扣除是 4 560 元。全年综合所得 收入额为 x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）。 （1）求y 关于 x 的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由 189 600 元增加到 249 600 元， 那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 追问 1：这一问题中存在哪些变量？它们的关系是什么？ 追问 2：如何通过这些关系确定应缴纳个税与综合所得的关系？ 师生活动：教师提出问题，学生独立思考、讨论回答，教师给与补充完 善。 设计意图： 1. 通过学生的分析，理清这个问题中的变量之间的关系； 2. 引导学生写出这些变量之间的函数关系.这里，一定要让学生先回顾 例题 8 的求解过程和结果，在例题 8 的基础上处理本题，让学生体会应 缴纳个税与应纳税所得额之间的关系，以及应纳税所得额和综合所得的 关系。 分析：实际上，在充分明确题目条件后，注意到本题的主干信息由表格 和两个重要公式表达出来： 公式①：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数
由表格信息可知，每个确定的应纳税所得额都有唯一的税率和速算 扣除数与之相对应，因此，这一公式中的变量个税税额y 可以表示成变 量应纳税所得额 t 的分段函数。我们在 3.1.2 例 8 中已经得到了这两个 变量的函数解析式。 公式②：应纳税所得额 = 综合所得收入额 - 基本减除费用 - 专 项扣除 - 专项附加扣除 - 依法确定的其他扣除 可以看出，基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除和依法确定的 其他扣除为定值或由综合所得收入额确定，因此，这一公式中的变量应 纳税所得额 t 也是变量综合所得收入额 x 的函数。 因此，对于任一个综合所得收入额都有唯一确定的应纳税所得额与 之相对应，而任一个应纳税所得额也与唯一确定的个税税额相对应。这 样，对于任一个综合收入所得额都有唯一确定的个税税额与之相对应， 由函数的定义，个税税额y 是综合收入所得额 x 的函数。 通过“应纳税所得额 ”这个桥梁，我们就可以建立起个税税额y 与 综合收入所得额 x 的函数解析式。 师生活动： 1. 教师提示学生在例题 8 的基础上研究这个问题.通过“应纳 税所得额 ”这个中间变量 t 找到 x 和y 之间的对应关系。 2. 由于 t 的取值的范围不同，使得对应的税率和速算扣除数也 不同，那么该如何处理这样的情况呢？ 3. 写出y 关于 x 的函数表达式，并解决题目中的问题。 设计意图：1. 引导学生通过例题 8 来研究这个问题；2. 引导学生采用 分类讨论的方式来处理，用分段函数的形式来表达；3. 在此基础上， 引导学生完成例题。 我们可以通过以下步骤解决本例的两个问题： 第一步，根据例 8 中公式② , 得出应纳税所得额 t 关于综合所得收入额 x 的解析式 t=g(x)；
第二步，结合例 8 中已经得到的y=f(t)的解析式③ , 得出 y 关于 x 的函 数解析式； 第三步，根据所得解析式求出应缴纳个税税额。 解：（1）根据应纳税所得额计算公式得 t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-52800-4560 =0.8x- 117360 令 t =0 ，得 x=146700 ，所以根据应纳税所得额的规定可知， 个人应纳税所得额 t 关于综合所得收入额 x 的函数解析式为： (
t
=
〈
l
0.8
x
-
117360,
x
>
14670
0.
)( 0, 0 < x < 146700, 追问 3：当 x 在什么范围内时可以使 t 落到相应的区间，从而确定税率 和速算扣除数？ 设计意图：引导学生通过解相应的不等式求得工资 x 的不同范围，从而 得到个税税额关于综合收入所得额的分段函数。在教学过程中让学生体 验上述数学抽象的过程。 结合 3.1.2 例 8 的解析式③ , 可得： 当 0≤x ≤146 700 时，t=0，所以y=0； 令 0<0.8x- 117360≤36000 ，得 146700当 671 7001346 700 时，t>960 000 ，所以 y=t ×45%-181920=0.36x-234732； 所以，函数解析式为 xx 0 210 y =〈|0. 16x - 40392, 326700 < x < 521700 |0< 1346700 当 x=249600 时，y=0.08×249600-14256=5712 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 5712 元。 本题小结：在例 8 中，给出小王的综合所得收入额为 189 600 元， 我们需要先利用公式②求出应纳税所得额，再利用我们建立的个税税额 y 关于应纳税所得额 t 的函数解析式，求出他应缴纳个税税额为 1029.6 元。而在本例中，我们将个税税额表示成了综合收入所得额的函数，就 可以直接由综合收入所得额求出需要缴纳的个税税额。由此可见，有了 函数模型，就可以通过研究函数的性质而获得实际问题中的变化规律， 通过函数图象也可以更直观地看到这种整体的变化规律。 同时注意到，当综合所得收入额增加到 249 600 元时，个税税额也 相应增加到了 5712 元，这体现了依法纳税是每个公民的责任与义务！ 有兴趣的同学可以在课下画出函数对应的图象，直观地观察个税税额随 综合所得收入额的变化情况。
例题 2：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 v（单位：km/h）与时 间 t（单位：h）的关系如图所示。 (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假 设这辆汽车 的里程表在汽 车 行驶这段 路程 前 的读 数 为 2004km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s（单位：km ）与 时间 t 的函数解析式，并画出相应的图象。 追问 1：此题是研究汽车行驶路程的相关问题，与例 1 通过文字、表格 呈现信息不同，此题通过图象体现了变量间的关系，请同学们找到题目 中涉及的变量，并分析说明图中的信息。 师生活动：教师提出第一个问题，学生思考、讨论，并回答问题。 设计意图：这个例题需要利用图形中的信息及问题中的数据建立分段函 数的数学模型.教学中仍然要让学生从分析题意入手，分析清楚问题中 涉及的变量，它们之间是什么关系，通过这些关系是如何确定里程表读 数与时间之间的关系的等。 分析：本题涉及时间 t、平均速率 v 、行驶路程 S、里程表读数 s 等 变量；时间 t 和平均速率 v 的关系由图给出，图形中抛开阴影不看，是 一些平行于 x 轴的小线段，而这些小线段实际上就是平均速率关于时间 变化的函数图象，是一个分段函数。读图时，请注意边界点的开闭情况， 当 t 在[0,1)内时，对应的平均速率为 50 km/h；当 t 在[1,2)内时，对 应的平均速率为 80km/h 等。每一个阴影矩形的面积应由长乘以宽得到， 即时间与对应的平均速率的乘积，因此每一个阴影矩形的面积表示每个 时间段内行驶的路程，进而整个阴影面积的意义就是汽车 5 小时内行驶 的总路程。
解 :（1）阴影部分的面积为 50会1+ 80会1+ 90会1+ 75会1+ 65会1 = 360 所以阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km。 分析： 由图可知，当时间 t 在[0,5]内变化时，对于任意的时刻 t 都 有唯一确定的行驶路程与之相对应. x=t 这条直线左边的阴影面积就是 经过 t 时间的路程。每个时间段内对应的平均速率不同，因此在每个时 间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述。 由 S=vt， s=2004+S 等关系，通过逐步抽象，我们就不难得到里程表读数 s 与时间 t 的函数关系。 当 t e[0, 1) 时，里程表读数 s 应在 2004 的基础上加上经过 t 时间行驶 的路程 50t； 当 t e[1, 2) 时，里程表读数 s 应在 2004 的基础上加上第一小时内行驶 的路程 50，再加上 1 到 t 时间行驶的路程 80（t-1），以此类推。 （2）根据图 1,有 分段表示时，注意 t 取值区间的开闭情况与图象对应。 注意到各段均为一次函数，易得函数图象如图， 本题小结：本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有 帮助。因此，我们要注意提高读图能力。另外，本题用到了分段函数， 解决现实问题时经常会用到此类函数。
3 分 钟 练习巩固 若用模型y=ax2 描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m ）与刹 车时的速率 x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为 60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为 20 m.在限速为 100 km/h 的高速公路上， 一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 50 m ，那么这辆车是否超 速行驶？ 设计意图：让学生巩固在已知函数模型的基础上，运用函数的知识和思 想解决实际的能力。 解： 由20 = (60)2 a解得a = , 由50= x2 解得x=30， 因为30 <100，所以这辆车没有超速行驶。
3 分 钟 总结回顾 师：通过本节课的学习，谈谈你对用函数解决实际问题的感受。 生：思考、作答 设计意图：让学生初步体会用函数的方法解决实际问题的过程。 分析：在研究这两个例题的过程中，我们经历了以下步骤： 1. 阅读审题：通过题目给出的文字、公式、图表等信息明确要研究的 问题，理清变量关系； 2. 数学转化：提炼实际问题中变量的函数关系，转化为函数解析式， 将实际问题转化为函数问题； 3. 解决问题：利用函数解析式、图象等解决简单的实际问题。 即实际问题 数学问题 实际问题的过程。 这两个问题都是给定数学模型的实际应用，教科书将在后续内容中 安排更加复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题，我们也 将遵循以上的思路来处理。
课后作业 教科书 P95.习题 3.4— 1.2.3