3.4.2函数的最大（小）值_教学设计（表格式）

课题 函数的最大（小）值
教学目标
教学目标：1.理解函数的最大（小）值的概念，会求一些函数的最大（小）值; 2.借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，体会从特殊到一 般的方法，提升对数形结合方法的认识； 3. 在最大（小）值概念形成过程中，提升数学抽象和直观想象的数学素养. 教学重点：函数最大（小）值的概念，求一些函数的最大（小）值. 教学难点：函数最大（小）值的概念的理解及其数学符号表达.
教学过程
时间 教 学 环 节 主要师生活动
5 分钟 提 出 问 题 从二次函数f(x) = x2 入手，观察图象，发现它有一个最低点 (0，0) . 问题：如何用数学语言表达？ 生：所有的函数值都大于或等于 0 ，符号语言： "x R ，都有 f(x) f(0) . 追问：我们画出的只是函数图象的一部分，如何说明 x 取定义域中所 有值时，函数值都大于 0 呢？ 结合函数的单调性进行分析：函数 f(x) = x2 在(- ,0] 上单调递减， 当 x 0 时， f(x) f(0) ；在[0, + ) 上单调递增，当 x 0 时， f(x) f(0) .从而， "x R ，都有 f(x) f(0) . 因此，在 x = 0 时，函
数f(x) = x2 取得最小值，最小值是 f(0) =0. 问题：某函数 y = f(x) 的图象如图，看到的图中 最高点纵坐标是函数的最大值吗？ (
O
x
)y
讨论：看到的最高点的纵坐标不一定是这个函数的最大值，因为函数 的最大值是在整个定义域上函数值的最大值，需要结合函数的定义域和单 调性分析，用严谨的数学语言来刻画. 探究：你能以函数 f(x) = 一x2 为例说明函数 f (x) 的最大值的含义 吗？ 学生：结合函数单调性，vx e R ，都有 f(x) < f(0) . 因此，在 x = 0 时，函数f(x) = 一x2 取得最大值，最大值是 f(0) =0. 设计意图： 以熟悉的素材，从形入手，直观感知函数的最大（小）值. 由于直观判断不一定准确，需要结合函数的单调性，从数的角度严谨地刻 画函数的最值，引出用数学符号语言来刻画函数最值的必要性. 同时为后面 借助函数的单调性求函数最值做了铺垫.对单调性的回顾中关注点的变化， 体会单调性是局部性质，而最值是整体性质.
5 分钟 形 成 概 念 探究：你能尝试给出函数的最大值的定义吗？ 老师引导：设函数 y = f(x) 的定义域为 I ，如果它有最大值M ，那 么M 满足什么条件？ 生：所有的函数值都比它小，或者相等. 符号语言： vx e I ，都有f(x) < M . 生：存在点的函数值等于它（至少有一个 x 与之对应）. 符号语言： 二x0 eI ，使得f(x0 ) = M . 师生共同得到函数最大值的定义. 一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数M ，满足: (1) vx e I ，都有f(x) < M ; (2) 二x0 e I ，使得 f(x0 ) = M . 那么，我们称M 是函数 y = f(x) 的最大值（maximum value）. 我们来分析定义中的两个条件： 问题（1）：定义中的第（1）个条件f(x) < M ，可不可以写成 f(x) < M ？ 不可以，不能所有函数值都小于M ，必须有函数值等于M 的点. 问题（2）：定义中的第（2）个条件是必不可少的吗？第一个条件中
f(x) M 是否包含了至少有一个点的函数值等于M ？ 讨论：对 f (x) M 的理解: “ f (x) < M ” “ f(x) M ” . 当 f (x) < M 时，是符合条件（1）的，但不能保证M 是函数的最大值. 举例说明：生活中例子：全班所有同学的身高都小于 3 米，符合条件（1）， 但显然 3 是不是身高的最大值. 函数举例：对于函数 f(x) = x, x [- 1, 2] ，是否满足"x [- 1, 2] ，f(x) 4 ？ 那么 4 是函数的最大值吗？
举例：函数f(x) = x, x ( - 1, 1) ，是否满足"x (- 1, 1) f(x) 1 ，那么 1 是函数的最大值吗？ 可见定义中两个条件缺一不可. (
O
x
) y
2、你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y = f(x) 的最小值的定义吗？ 学生尝试独立给出函数最小值的定义. 设计意图：从特殊到一般，将自然语言和图形语言转化为符号语言，获 得最大值概念，提升学生数学抽象的素养.让学生学会用类比的方法独立获 得最小值的概念，提升学生的数学思维能力. 设置问题，通过简单的举例， 帮助学生理解概念中的条件及其数学符号，突破难点.
2 分钟 理 解 概 念 3 、对函数最大（小）值的理解 (1)是否每个函数都有最大值、最小值？ 函数不一定有最大值、最小值. (2)如果一个函数有最大值，有几个？ 最大值是整体概念，如果存在，一定是唯一的，但是取最大值时的自 变量可以有多个，如f (x) = x2 , x [-2, 2] ，最大值是 4，当 x = ±2时，函数 取得最大值. (3)函数的最值与函数的值域之间有什么关系？ 函数的值域是一定存在的，确定的．函数不一定存在最值，如果存在 最值，则最大值是值域的区间的右端点，最小值是值域的区间的左端点. 设计意图：结合具体实例，深入理解函数最值的概念，强调最大（小） 值是整体概念，所以可以不存在，但存在一定唯一．最大值是函数值，所 以可以有多个 x 取到最大或最小值．明确函数的最值和值域的联系和区别.
8 分钟 应 用 举 练一练 求下列函数的最大值和最小值： （1） f(x) = 3x + 2 (x [- 1, 2])；（2） f(x) = 1 x (x [1, 2]) .
例 设计意图：通过熟悉的函数，让学生初步体会借助函数单调性求最值 的方法，第（2）题与例2呼应，做好方法的铺垫. 例 1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一 . 制造时一般是期望在它达到 最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度 h （单位：m ）与时间t （单位：s） 之间的关系为h(t) = -4.9t2 +14.7t +18 ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂 的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到 1 m）？ 师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范. 练习：教科书第 81 页练习 1 . 设计意图：用函数最值的概念解决实际问题，提升数学建模的素养. 本 题中的函数是定义在一个闭区间上的二次函数，可以画出函数图象求二次 函数最值，让学生掌握这种方法. 例 2 已知函数f (x) = (x [2, 6]) ，求函数的最大值和最小值. 师生活动：分析方法，借助函数的单调性求函数的最大值和最小值，强调 证明函数单调性的重要性，只有证明了函数在给定区间上是单调递减的， 才能说明函数在区间端点取到的函数值是函数的最大（小）值. 练习：教科书第 8 页练习 3 . 设计意图：掌握借助函数单调性求函数最值的方法步骤，注意数学的 严谨性，解题的规范性，强调只有证明了函数在给定区间上的单调性才能 说明函数在区间端点处取最值.
2 分钟 小 结 作 业 教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题： （1）函数的最大（小）值的定义是什么？ （2）如何求函数的最大（小）值？ 布置作业：教科书习题 3.2 第 4 ，7 ，10 题. 设计意图：从知识和方法两个方面对本节课进行小结.