5.1.2弧度制_教学设计（表格式）

课题 弧度制
教学目标
教学目标：1、了解弧度制引入的必要性，理解弧度制定义的合理性，能正确进行 弧度与角度的换算； 2、了解角的集合与实数集R 之间可以建立一一对应的关系，会用弧度 制解决简单的实际问题； 3、经历建立弧度制的探究过程，感受引入弧度制的必要性，了解数学 知识发展的过程，提升数学抽象，逻辑推理的数学素养； 教学重点：理解弧度的定义；正确进行弧度与角度的换算 教学难点：弧度制概念的生成
教学过程
时 间 教 学 环 节 主要师生活动
3 分 钟 问 题 导 入 问题 1 、初中学过哪些度量角的单位？ 1o 的角是如何定义的吗？度、分、秒又如 何换算呢？ 有度、分、秒.将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的圆 心角叫做1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制. 问题 2 、你知道 60。+ sin 60。等于多少吗？ 预计：认为两个量不能相加，因为单位不同，60o 是角度，而sin 60o 是 实数，所以无法相加. 我们知道度量不同的量要用不同的单位，对于同一种量，也可以运用不同 的度量单位，比如，测量身高时，可以使用米，也可以使用尺；测量重量时，在 不同的条件可以使用吨、公斤，也可以使用克等. 此外还有国际公制，有中国市 制，那么，度量角的单位是否只有角度制一种呢？ 历史背景：公元六世纪，印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时, 就发现了 有一个问题不好解释，比如sin 30。= 0.5 ，他发现了什么问题呢？ 在这个等式中，单位制是不同的，左边是60进制,右边是10进制为单位，单 位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧, 所以阿耶波多想到了能否 对角的度量采用十进制.
【设计意图】引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数，产生对角的单 位有必要重新认知的需要，为引入弧度制作准备.
7 分 钟 探 究 新 知 探究活动：根据角的动态定义，射线 OA 绕端点 O 旋转到 OB 形成角a . 在旋转
过程中，射线 OA 上点P （不同于端点 O ）的轨迹 是一条圆弧. 记a=n。. 如果要把角的单位统一成十进制，那么就必须借助 用十进制表示的量，这里很明显涉及到两个量：弧 长和半径. 问题3：射线 OA 上三个点 A, A1 , A2 旋转到点
B , B1 , B2 ，在这个过程中，都涉及到哪些量，你能 发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系？ 涉及到三个量：弧长、半径和圆心角， 显然，弧长、半径是不等的，也不相等，但 角度是相等的. 【设计意图】从历史背景中引出数学问题，引导学生在 熟悉的生活体验中，用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系，为下面挖掘“弧 长与半径比值为定值 ”这一隐含的数学现象做好铺垫. 追问 1 、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学 过的数学公式来表示他们之间的关系？ 在初中我们学过弧长公式l = . 追问 2 、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中，弧长和半径都发生变化，而 圆心角不变吗？ 圆心角与弧长和半径有关，n = . 当圆心角不变时， = 为定值. 所以，圆心角a 所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.
如图，对同一个圆心角a ，可得： lAB OA = lA1B1 OA1 = (
l
A
2
B
2
.
OA
)2
因此，弧长与半径的比值 l r 只与圆心角的大小有关，当圆心角确定时， l r 也唯一
确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角. 当弧长与半径相等时， 是一个定值，此时圆心角等于度. 我们把这时
(
l
)的比值 1 记为 1 个单位的角, 就可以用这个 1 个单位的角去表示其他的角. r 比如当弧长 l = 2r 时，所对圆心角为 2 个单位的角；当弧长 l = 0.5r 时，所 (
对圆心角为
0.5
个单位的角，这里
) (
l
)是一个实数，这样 r (
l
) (
可以用
)来度量角的大小，解决了用实数度量角的大小 r 问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制. 弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度. 规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作1rad . 【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形，不仅从代数关系上说明 了 与角的大小有关，而且这个比值是一个实数，有弧长的参与，学生自然体会 到弧度制的合理性，同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程，培养学 生的理性数学思维.
6 分 钟 理 解 新 知 弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来，极大的简化了与之有关的运 算，在高等数学里，优势相当明显. 问题4：你能否作出 2rad 大小的角？ 根据定义，a = = 2 ，即l = 2r 时，弧长所对圆心角为2rad .
问题5：任意角都可以用 l r 的比值表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定
呢？ 任意角都是从旋转角度定义的，当半径一定时，旋转量从弧长可以判 断，符号由旋转方向决定，所以任意角都可以用表示.正角、零角、 负角分别用正数、零、负数表示. 规定：如果半径为 r 的圆的圆心角a 所对弧长为l ，那么角a 的弧度数的绝对值
是 a = ，这里，a 的正负由角a 的终边的旋转方向决定. 追问: 反过来任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？ 对于任意一个实数a 满足 = a ，那么l = a r ，此时a 的绝对值 大小确定，再由a 的旋转方向确定a 的正负符号，所以任意一个实数 都可以表示唯一确定的角. 这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系. 【设计意图】帮助学生进一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和实数集 合建立一一对应的关系. 早在18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中倡导使用 弧度制，统一了角与长度的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化，并提出 了弧度制的思想. 而弧度这个词产生于 1873 年，爱尔兰工程师詹姆 斯·汤姆森（James Thomson）教授在其编著的一本考试 集中创造性地首先使用了 “ 弧度 ”一词.他将 “ 半径 （radius）”的前四个字母与“角(angle) ”的前两个字母 组合在一起，构成了一个新词 radian ，被人们广泛接受. 【设计意图】在通过介绍弧度制及其名称符号的发展历 史，让学生感受数学文化丰富的历史沉淀.
5 分 钟 应 用 新 知 问题 6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢？ 当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为 2p ，而在角度制下为 360。，即360。= 2p rad ，180。= p rad ， 所以1。= rad 0.001745rad . 反过来可得1rad = 。 57.30。= 57。18 ' . 例1.（1）把 67。30 ' 化成弧度 （2）把 3. 14rad 化成角度（用度表示，精确到 0.001）
借助前面的结论，可得 67。30 ' = = prad 3. 14rad = 3.14 179.909。 用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度 ”二字或“ rad ”可以省略不 写．但是“°”为单位不能省. 练习：填写下面特殊角的度数与弧度数的对应表 度0。30。45。120。135。150。360。弧 度p 3p 2 p3p 2
【设计意图】通过实际操作，让学生明白角度制与弧度制可以度量同一个角，所 以它们之间可以互换并要掌握这种互换，同时要注意规范及掌握一些特殊角的角 度和弧度值. 例 2 利用弧度制证明下列关于扇形的公式 （1） l = aR ； （2） S = aR2 ； （3） S = lR . 其中 R 是圆的半径， a(0 < a < 2p) 为圆心角， l 是扇形的弧长， S 是扇 形的面积. 解：从我们前面得到的弧度制公式a = 出发，可得l = aR . 下面我们证明（2）（3） 初中我们学过，在角度制下，半径为 R ，圆心角为 no 的扇形的弧长公式和面积
公式分别为 l = ， S = 将圆心角转化为弧度， npR2 . 360 得a = .
所以，代入公式 S = npR2 360 得到 S = 1 2 2 aR .
再将 l = aR 代入上式即得 S 【设计意图】让学生体会弧度制， = lR . 统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了
有关公式及运算，通过例题进一步让学生熟悉公式，学会应用公式解决简单的实 际问题.
2 分 钟 归 纳 小 结 本节课我们学习了什么？ （1）在数学知识上我们学习了任意角的新度量制——弧度制. ①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，具体来说就是长度等于半径 的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度； ②如果半径为 r 的圆的圆心角a 所对弧的长为l ，那么角a 的弧度数的绝对 值是a = ，这里，a 的正负由角a 的终边的旋转方向决定； ③ 借助公式180。= πrad 进行任意角的弧度制和角度制之间的互化，在今后 的三角函数的学习中要熟练掌握特殊角的弧度数. （2）数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，我们通过对问题的 理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、用数学的语 言表达问题. 在今天的学习中，我们运用了数形结合、转化与化归、特殊与一般等数学 思想方法，在今后的学习中我们还要进一步熟悉和掌握这些思想方法.
布 置 作 业 教科书 P175-176，习题 5.1 第 5、6、7、8 题