1.5全称量词与存在量词_教学设计（表格式）

课题 1.5 全称量词与存在量词
教学目标
教学目标：1.通过丰富的例子理解全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的含义，会判断全称量词命 题与存在量词命题的真假，会写出其否定形式； 2.使学生体会从特殊到一般的归纳方法，体验从具体到抽象的认知发展过程； 3.培养学生逻辑用语的理解能力和表达能力，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养. 教学重点：理解全称量词命题和存在量词命题的含义. 教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，写出全称量词命题和存在量词命题的否定形式.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
一、引入新课 二、建构新知 请同学们阅读下列两组命题，看看语言上有什么特点？ A 组： (1)对任意一个 x Z ，2x+1 是整数. (2)每一个素数都是奇数. (3)所有的矩形都是平行四边形. B 组： (1)有些三角形是等腰三角形. (2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直. (3)存在一个 x R ，使得 x2>0. 我们发现，A 组中的短语“任意一个 ”、“每一个 ”、“所有的 ”指的是事物的全部，B 组中 的短语“有些 ”、“至少有一个 ”、“存在一个 ”指的是事物的一部分。这两种短语就是我们 今天要学习的全称量词与存在量词。 1.短语“任意一个 ”，“每一个 ”，“所有的 ”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ " ” 表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. A 组命题都是全称量词命题，为了更好地观察命题的结构，我们把 A 组命题改用集合语言 叙述： (1)对于整数集合中的任意一个元素 x ，2x+1 是整数. (2)素数集合中的任意一个元素 x 都是奇数. (3)矩形集合中的任意一个元素 x 都是平行四边形. 不难发现，全称量词命题的结构特点是：集合 M 中的任意一个元素 x ，都满足条件p. 因此 全称量词命题的一般形式就可以写成：“对 M 中任意一个 x ，都有p(x)成立 ”，用符号简记 为“ "x M ，p(x) ”.
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三、深化认识 2.短语“有些 ”、“至少有一个 ”、“存在一个 ”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ 二 ” 表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. B 组命题都是存在量词命题，同理，从集合的角度看，存在量词命题的结构特点是：集合 M 中至少存在一个元素 x ，满足条件p.它的一般形式可以写成：“存在 M 中的元素 x ，使得 p(x)成立 ”，用符号简记为“ 二x eM ，p(x). ” 为了更好地理解全称量词命题与存在量词命题的含义及关系，我们进一步研究命题的真假 与命题的否定. 1.判断命题的真假 例1 判断下列全称量词命题的真假： (1) v x ∈R ，|x |＋1≥1； (2)对任意一个无理数 x ， x2 也是无理数. 分析 要判定全称量词命题“ vx eM ，p(x) ”为真，就需要对集合 M 中的每个元素 x ，证 明p(x)成立；要判定全称量词命题“ vx eM ，p(x) ”为假，举一个反例即可 :在集合 M 中找一个 x0 ，使得p(x0)不成立. 解 (1) v x ∈R ，总有|x |≥0 , 因此|x |＋1≥1 ．所以该命题是真命题. (2) 是无理数，但（）2 =2 是有理数，即至少有一个无理数的平方不是无理数， 所以该命题是假命题. 例 2 判断下列存在量词命题的真假: (1)有一个偶数是素数; (2)存在一个三角形，它的内角和不等于 1800. 分析 要判定存在量词命题“ 二 x ∈M,p(x) ”为真，只需在集合 M 中找到一个元素 x0 ，使 p(x0)成立即可(找特例).要判定存在量词命题“ 二 x ∈M,p(x) ”为假，就需要证明 M 中不 存在使p(x)成立的元素,即对 M 中的任意一个元素 x，p(x)都不成立. 解 (1)因为偶数 2 是素数，所以该命题是真命题. (2)因为任意一个三角形的内角和都等于 1800，所以内角和不等于 1800 的三角形不存在，所 以该命题是假命题. 练习 判断下列命题的真假： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)任意两个等边三角形都相似； (3)有一个实数 x,使 x2+2x+3=0； (4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线. 解 (1) 举反例：6 能被 3 整除，但是 6 不是奇数，所以该命题是假命题. (2)因为任意两个等边三角形对应角相等(都是 600) ，所以它们相似，所以该命题是真命题. (3)分析：“有一个实数 x,使 x2+2x+3=0 ”的含义是“方程 x2+2x+3=0 有解 ”. 因为 = 22 一 4 x 3 = 一8 < 0 ，所以方程 x2+2x+3=0 无实根，因此使 x2+2x+3=0 的实数 x 不 存在. 所以该命题是假命题.
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(
A
l
) (
l
1
l
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) (
l
1
l
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P
)(4)因为平面内过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，所以平面内任意两条相交直线 都不可能垂直于同一条直线，即平面内不存在两条相交直线垂直于同一条直线. 所以该命 题是假命题. 另： 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交 直线垂直于同一条直线．所以该命题是假命题. ABl
小结：判断全称量词命题、存在量词命题的真假，关键在于读懂命题的含义.在研究命题含 义的过程中，我们会经常遇到与原命题意义想反的命题，即命题的否定. 比如例 1 第(2)题原命题是“对任意一个无理数 x ， x2 也是无理数 ”，举反例 ，就说明“存 在一个无理数 x ， x2 不是无理数 ”，这个命题就是原命题的否定. 再如例 2 第(2)题原命题是“存在一个三角形，它的内角和不等于 1800 ”，相反意义的命题 是：“内角和不等于 1800 的三角形不存在 ”，即“任意一个三角形的内角和都等于 1800 ”. 2.命题的否定 (1)全称量词命题的否定 原命题：对 M 中任意一个 x ，都有p(x)成立，记为 "x M ，p(x). 命题的否定：“存在 M 中的元素 x ，使得p(x)不成立 ”，记为 $x M ， p(x). (2)存在量词命题的否定 原命题：存在 M 中的元素 x ，使得p(x)成立，记为 $x M ，p(x). 命题的否定：对 M 中任意一个元素 x ， p(x)都不成立，记为 "x M ， p(x). (3)全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题. 例 3 写出下列命题的否定： (1)任意一个实数都有平方根; (2)对任意 x ∈Z ，x2 的个位数字不等于3; (3) $ x ∈R ，使得 x2-2x+2<0; (4)有些四边形的四个顶点在同一个圆上. 解 (1)命题的否定：有的实数没有平方根. (2)命题的否定： $ x ∈Z ，使得 x2 的个位数字等于3 . (3)命题的否定： " x ∈R ，都有 x2-2x+2≥0.
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四、课堂小结 五、布置作业 (
含义
) (
全称量词
) (
存在量词
) (
存在量词命题
)(4)命题的否定：任意一个四边形的四个顶点都不在同一个圆上. 思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否 定： (1)平行四边形的对角线互相平分； (2)三个连续整数的乘积是6的倍数； (3)三角形不都是中心对称图形； (4)一元二次方程不总有实数根. 解 (1)原命题：任意一个平行四边形的对角线都互相平分. 命题的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分. (2)原命题：任意三个连续整数的乘积是6的倍数. 命题的否定：存在三个连续整数，它们的乘积不是6的倍数. (3)原命题：有些三角形不是中心对称图形. 命题的否定：任意一个三角形都是中心对称图形. (4) 原命题：有的一元二次方程没有实数根. 命题的否定：所有的一元二次方程都有实数根. 概念
全称量词命题关系
本质
作用
本节课先从认识具体的量词短语开始，形成初步的概念，再通过判断命题的真假进一步理 解了全称量词命题与存在量词命题的含义，通过写命题的否定理解了两种命题的关系，即 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题：“"x M ， p(x) ”的否定是：“$x M ， p(x) ”；“$x M ，p(x) ”的否定是“ "x M ， p(x) ”. 从本质上说，两种命题反映的是集合之间的关系与运算，全称量词命题反映的是子集关系， 存在量词命题反映的是交集运算. "x M ，p(x) M {x | p(x)}； $x M ，p(x) M {x | p(x)} . 学习这两种命题，有助于我们提高逻辑用语的理解能力与表达能力，体会数学语言的严谨 性. 课本第 29-30 页：习题 1.5 第 3 ，4 题.
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