5.1.1任意角_教学设计（表格式）

课题 任意角
教学目标
教学目标： 1. 了解任意角和象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角； 2. 了解角的概念的推广的必要性，认识终边相同角的代数特征，发展数学抽象的素养； 3. 在角的概念的推广过程中，感受数学的应用价值，提升数学运算的素养. 教学重点：任意角，象限角，终边相同的角的概念. 教学难点：用符号代表方向的意义.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
1 分 钟 创设 情境， 引出 问题 引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始 ”变化现象，圆周运 动是这类现象的代表. 问题： ⊙上的点以为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点的位置变化呢？ 师生活动：学生独立思考，教师通过 PPT 让学生清楚：圆周上点的运动可以通过角 的变化进行刻画. 设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角.
2 分 钟 分 析 实例， 归 纳 特征 问题：你还记得初中是怎么定义角的吗？ 师生活动：一起回顾初中角的概念.预设答案：有公共顶点的两条射线组成的图形. 设计意图：这里要让学生先回顾初中学习角的定义，是静态的图形，就因为静所以 限制了交的范围，所以高中的定义中特别突出了动态-旋转 问题： 我们以前所学角都在 0° ~360° 的范围内，生活中有超出 0°~360°角的例子 吗？请你举例说明. 师生活动：学生独立思考，并回答问题.预设答案：体操中“前空翻转体 540 度 ” “后空翻转体 720 度 ”；互相咬合的齿轮. 追问：这些角的不同，体现在哪几个方面？ 师生活动：可以通过学生简单的讨论，发现角的不同体现在两个方面：一是大小； 二是方向. 设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一 方面，学生在用语言描述这些超出 0°~360°角的时候，会发现用静态角的定义不再 适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要 从动态的角度重新定义角. 追问： 以上问题中对角的描述的共性是什么？ 师生活动：学生共同回答出角的大小及旋转方向.
设计意图：通过这个具体的例子进一步让学生体会：要想说清楚一个角，包括两个 方面：一是旋转方向；二是旋转量.
1 分 钟 通 过 阅读， 获 得 概念 问题：请同学们先阅读课本第 168 页最后一段至第 169 页最后一段，再回答下列问 题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类 办法是与之前的哪个知识进行类比的？ 师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题.预设答案：一条射线绕其端 点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如 果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负 角、零角.这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的. 设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转 ”出来的，关键是对旋 转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向.
3 分 钟 初 步 应用， 理 解 定义 练习：你能读出下图中的各个角度 吗？ 师生活动：学生作答，教师点评. 设计意图：熟悉正角、负角的定义， 理解“符号 ”与“方向 ”之间的关 系，从形到数的认识. 追问：两个角有什么关系？ 师生活动：可叫学生个别回答问题.预设答案：它们有大小关系和相等关系； 追问：两个角能相等吗？ 师生活动：可叫学生个别回答问题. 预设答案：如果一个角的旋转量和旋转方向与 另一个角的旋转量和旋转方向都一样，我们就称这两个角相等. 追问：两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？ 师生活动：引入角的加法的概念：设a ，β是任意两个角．我们规定，把角a 的终边 旋转角β , 这时终边所对应的角是a + β . 似于实数a 的相反数是 a ，我们引入任意角a 的 相反角的概念．我们把射线。A绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做 互为相反角．进而引入角的减法的概念：像实数减法的“减去一个数等于加上这个 数的相反数 ”一样，我们有a β=a+( β)．这样，角的减法可以转化为角的加法. 设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个 这种数学对象之间的关系以及运算问题.类比实数，得到相反角的定义及两个任意 角之间的减法运算.
7 分 钟 研究 分类， 精致 概念 问题：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位 置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？ 师生活动：学生互相交流后，再回答.预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重 合，角的始边与x轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、 二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而 复始 ”的变化规律. 设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准.在这个统一 前提下，才能对象限角进行定义.另外，终边落在坐标轴上是一种“边界 ”状态， 因此规定它不属于任何一个象限更方便.这样讨论角的好处就是：在同一“参照系 ” 下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始 ”现象得到有 效表示.
练习：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答 这两个问题．三角形的内角涵盖了哪几个象限呢？ 师生活动： 由学生逐题给出答案.预设答案：锐角是第一象限角，第一象限角不一 定是锐角；直角是终边落在 轴正半轴上的角，终边落在 轴正半轴上的角不一定是 直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.三角形的内角取值范围可以 用区间角表示，即 0 °, 180°) ，它从 轴的正半轴逆时间旋转到 轴的负半轴，经历 了第一象限， 轴的正半轴和第二象限. 设计意图：检验学生对象限角的理解情况. 问题：那如果角的终边没有落在四个象限里，你会表示这些角吗？ 比如你会表示终 边落在 轴的负半轴上的所有的角的集合吗？ 师生活动：学生观察并思考后，再举手回答.共同寻找终边落在 轴的负半轴上角的 征顺一 角 还可以是 180° + 360° = 540° , 继续逆时针旋转一个周角的话，这个角又变成了 180° + 2 × 360° = 900° , 推而广之，我们只要在 180°上加上个( ∈ ) 360°就 能表示所有终边落在 轴的负半轴上的角，写成集合的形式就是： = = 180° + 360°, ∈ }进而再推广到一般情形，所有与角 终边相同的 角，连同角 在内，可构成一个集合 = = + 360°, ∈ }， 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和. 问题：终边落在 轴上的所有的角的集合又怎么表示？ 师生活动：将 轴正半轴上所有角的集合与 轴负半轴上所有角的集合取并集即可； 也可以理解成找到一个 轴正半轴上角的代表，比如 0° , 使其逆时针（或顺时针） 旋转一个平角即 180°就可以到达 轴负半轴，如果继续使其逆时针（或顺时针）旋 转一个平角即 180°就可以回到 轴正半轴，继续做下去，角的终边就会在 轴负半 轴和正半轴上循环往复的出现，就涵盖了所有的终边落在 轴上的所有角，其集合 表示形式是： = = 0° + 180°, ∈ }，同理终边落在 轴上的所有角的集合 是 = = 90° + 180°, ∈ }；如果要表示终边落在坐标轴上的所有角，我们 只需找到一个角的代表，比如 0° , 使其不断地旋转比如 90°就能涵盖所有的坐标轴， 其集合表达形式是： = = 0° + 90°, ∈ } . 设计意图：对象限角概念进行必要的补充，使得终边落到任何位置都能表示.应引 导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式. 另外，分析终边与 y 轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简 化集合的表示，实质是“终边组成一条直线 ”的代数解释：“两个集合中的元素相 差 180 ° 的整数倍. ” 问题：有了终边落在坐标轴上角的表示方法，你能表示出第二象限角吗？ 师生活动：写出第二象限角的集合表示方法. (
例
1
在
0°
~360°
范围内，找出与
950°
12
'
角终边相同的角，并判定它是第几
象限
) = 09 ° + 360° < < 180° + 360° , ∈ } .
5 分 钟 初步 应用， 理解 关系 师角问 ：同独立的回答°预设'么点6相0？°差, 6° ,的整当数=倍3；时与 ,9 50=° 12' 129°48' ，它是第二象限角.
设计意图：这个题目有两种处理策略让学生都可以尝试，一种几何法，把角画出来 之后再出去转圈，或者先写出终边相同角集合，再让分别取值，后者虽然是一般 方法，但前者可以让学生体会到终边相同角处理的意义所在，一类角可以用一个角 替2代写研出究终.边在直线 = 轴的非负半轴上的角的集合 . 中适合不等式 360° = ＜720° 的元素 有哪些？ 追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？ 师范生围生；完 成 后= 5让°生代18表0° 行∈ 展 示；. 预设答案：315°, 135六个；°,45所求角的°,225°, 405° , 585° . 设计意图：此题主要是巩固终边相同的角的表示.为了使学生顺利完成相应的集合 运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征.
1 分 钟 梳理 小结 问题:通过本节课的学习，你能说出本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是 怎样规定的？你能从数与形两个角度进行描述吗？ 师生活动：学生自主总结，展示交流.预设答案：角的概念主要是任意角、象限角、 终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按 顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了 一个零角.在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重 合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角.所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 = = + 360°, ∈ , 即任一与角 终边相同的 角，都可以表示成角 与整数个周角的和.从形上看，终边相同的角就是“终边旋转 整数周回到原来的位置 ”.这节课关于角的概念很多，会与原有角的概念发生重叠， 交叉，比如钝角是第二象限角但第二象限角不一定是钝角等等. 设计意图：帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养.