5.2三角函数的概念_教学设计（表格式）

课题 三角函数的概念
教学目标
教学目标：1. 初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函 数的概念； 2. 在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想 方法的作用； 3. 经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象 素养. 教学重点： 任意角的三角函数概念. 教学难点： 用单位圆上点的坐标定义三角函数.
教学过程
时 间 教 学 环 节 主要师生活动
创 设 情 景 ， 导 入 新 课 问题引入：在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象，比如日出日落、 钟摆运动等，匀速圆周运动是这类现象的代表，在前面的学习中我们已经知道函数是 描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动 的运动规律该用什么函数模型刻画呢？ 如右图所示,圆 O 上的点P 以 A 为起点做逆时针旋转,在 把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角 的大小变化 刻画点P 的位置变化.根据弧度制的定义，角 的大小与圆 O 的半径无关，我们能否建立一个函数模型，刻画点 P 的位 置变化情况 【设计意图】开门见山引出研究内容、过程与研究方法，指明点P 随着角度的变化而 变化，明确构建函数模型的目标，让学生初步了解本节课学习的方向，为具体研究指 明方向.
引 导 探 究 ， 形 成 新 知 分析要解决这个问题，我们需要什么工具？ ①建立函数模型,要利用直角坐标系. ②根据任意角的定义，需要借助单位圆. 如图，以单位圆的圆心 O 为坐标原点， 以射线 OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标 系，点 A 的坐标是(1, 0) ，点 P 的坐标是 (x, y ) . 把该问题抽象为一个质点P 从点 A (1, 0) 开始在单位圆上的运动. 问题1：这个运动过程中的有哪些变量，判 断它们之间是否具有函数关系.如果有，能否写出函数解析式？ （1）点P 在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P 的横坐标x 、纵坐标 y ，弧长l ，旋转角度a ； （2）判断变量：x, y, l,a 间的哪两个变量能否构成 函数关系？ 过过点P 作PM 」x轴于M ,根据勾股定理可知 OM 2 + PM 2 = 1，即x2 + y2 = 1，显然变量x 、y 间的 对应关系不符合函数定义.在弧度制学习中我们已 经知道变量l,a 之间的关系，并且变量x, y 与a 的关系和x, y 与l 的关系等 价，所以我们研究变量x, y 与a 的关系. 问题2: 若角a 终边与单位圆交于点 P ，如何求点 P 的坐标呢？ 追问1：当我们遇到一般性问题应该如何研究？ 特殊化： 不妨设a = ，此时点P 在第一象限, 构造直角三角形，过点P 向x 轴引垂 线交x 轴于M ,RtΔOMP 中,可得OM = ,PM = ,即x = ,y = ,所 以点P 的坐标为 , . 追问2:当a = 时，点P 的坐标是什么？ 同样,当a = 时，点P 在第二象限, 可得x = - ,y = ,所以点P 的坐
( 1 ) 标为|（- 2 , 2 )|| . 追问3：任意给定一个角a ，点 P 的坐标唯一确定吗？ 因为单位圆的半径不变，点 P 的坐标只与角a 的大小有关，当角a 确定时，点P 的 坐标是(x, y ) 也唯一确定. 追问4：在展示的运动变化的过程中，观察角a 的终边与单位圆的交点 P 的坐标，有 什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？ 对任意一个实数a ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的横、纵坐标x 、 y 都是唯一确定的，有如下对应关系： 任意角a (弧度)→ 唯一实数x ； ① 任意角a (弧度)→ 唯一实数y . ② 一般地，任意给定一个角a =R ，它的终 边OP 与单位圆交点P 的坐标，无论是横 坐标x ，还是纵坐标y ，都是唯一确定的. 所以，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是角 a 的函数. 【设计意图】以函数的对应关系为指向，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义， 角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角a (弧度)的函数，为引出三角函 数的定义做好铺垫. 下面给出这些函数的定义： 如图，设a 是一个任意角，a =R ，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x, y ) ，那么 把点 P 的纵坐标 y 叫做a 的正弦函数，记做sina ，即 y = sina； 把点 P 的横坐标 x 叫做a 的余弦函数，记做 cosa ，即 x = cosa； 把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做a 的正切函数，记做 tana ，即 x
y x = tana(x 士 0) .
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？ 实数a (弧度)对应于点P 的纵坐标y →正弦函数； 实数a (弧度)对应于点P 的横坐标x →余弦函数； 当点P 的横坐标为0时，角a 的终边在y 轴上，此时a = + kπ (k = Z)，
所以 y x = tana 无意义.
因此，对于确定的角a ， y x 的值也是唯一确定的，所以 y x = tana(x 丰 0) 也是以
角为自变量， 以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数，称为正切函数. 实数a (弧度)对应于点P 的纵坐标y 与横坐标x (x 丰 0)之比→正切函数. 追问1: 任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？ 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函 数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以 看成是自变量为实数的函数. 按照函数的定义与常用的符号，我们通常将它们记为 正弦函数： y = sin x ； 余弦函数： y = cos x ； 正切函数： y = tan x . 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么呢 很明显，正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即 x eR ，对于正切函数而言， 要求点P 的横坐标x 丰 0 ，即角a 的终边 OP 不能位于 y 轴上，那么正切函数的定义 域为〈x x 丰 + kπ, k eZ〉. 追问3：这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢 任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直 角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为 1，所以锐角三角函数也 可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三 角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数. 追问4： “任意角的三角函数 ”与“锐角三角函数 ”这两个概念有什么异同 锐角三角函数的自变量是锐角，应理解为 (
y
=
sin
x
,
x
e
|
（
0,
2
)
|
；
y
=
cos
x
,
x
e
|
（
0,
2
)
|
；
y
=
tan
x
,
x
e
|
（
0,
2
)
|
.
)( π ) ( π ) ( π ) 【设计意图】引导学生将任意角三角函数纳入到函数中，丰富学生对三角函数的认知， 另外，注意任意角为轴线角的特殊情况，让学生更全面地认识任意角的三角函数，体 现数学的严谨性.
理 解 概 念 ， 运 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作 备AOB = ，此时 备AOB 的终边与单位圆的交点 B 的坐
用 新 知 标为 , - ， 所以sin = - , cos = , tan = - . 【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函 数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵. 例2 如图，设a 是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点 O 重合）的坐标 为(x, y ) ，点 P 与原点的距离为 r . 求证： sina = ， cosa = ， tana = 引导学生分析问题： ①你能根据三角函数的定义作图表示sina和 cosa 吗？ ②在你所作的图形中， ， ， 表示什么？你能 找到它们与任意角a 的三角函数的关系吗？ 解：设角a 的终边与单位圆交于点P0 (x0 , y0 ) ，分别过点 P, P0 作x 轴的垂线
PM , P0M0 ，垂足分别为M , M0 ，
则 PM = y , P0M0 = y0 ， ΔOMP )ΔOM1P1 . OM = x , OM0 = x0 ,
所以得到 (
PM
) 0 0 1 = PM r , 即 y 0 = y . r
因为 y 与 y0 同号，所以y0 y (
,
)= r 即 sina = y . r
同理可证： cosa = x ， tana = r y . x
【设计意图】通过问题引导，使学生找到 ΔOMP 、 ΔOM1P1 ，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定 义得到证明. 追问：例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定 义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格
的的数学语言叙述这个定义吗？ 一般地，对于任意角a ，角a 终边上的任意一点P 的坐标为(x, y ) ，它到原点 O 的
距离为 r = OP = (
OM
2
+
PM
2
) = (
x
2
)2 + y , 那么sina = y , r cosa = x ， r
tana = y . x
显然任意角a 的三角函数值不会随点的位置的变化而变化.
应 用 新 知 ， 总 结 提 升 任意角三角函数的概念是三角函数知识的基础，我们以后要学习的有关三角函数其他 知识都建立在我们对三角函数的概念的理解与认识上，所以同学们一定要认真学习和 体会今天所学的知识. 三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？ ①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角a 的顶点与坐标原点重合，终边与 单位圆的交点为P ， 即可由点P 坐标(x, y )得到三角函数定义. 正弦函数：y = sin x(x eR) ; 余弦函数：y = cos x (x eR) ; 正切函数：y = tan x〈x x 产 + kπ, k eZ〉. ②终边定义法: 建立直角坐标系，对于任意角a ，角a 终边上的任意一点P
的坐标为(x, y ) ，它到原点O 的距离为r = (
x
2
)2 + y , 那么sina = y , r
cosa = x r , tana = y . x
在我们研究三角函数概念的过程中，你体会到了什么数学思想方法？ 在任意角的三角函数的概念建构的过程中，我们运用了转化与化归、数形 结合、函数思想，这些思想方法在我们今后的学习中非常重要，我们一定 认真体会.
布 置 作 业 固 教科书 p182 练习 第 1 ，3 ，4 题 P184 习题 5.2 第 2 题