5.6.3三角函数的图象变换_教学设计（表格式）

课题 三角函数的图象变换
教学目标
教学目标： 1.理解从正弦曲线到函数y = Asin(x + ) 图象的变换过程，能用“五点法 ”画出函数 y = Asin(x + ) 的简图； 2.掌握参数A，， 对y = Asin(x + ) 图象的影响，发展直观想象的数学素养； 3.会运用函数y = Asin(x + ) 的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题，提升数
学建模的素养. 教学重点：整体把握函数y = Asin(x + ) 图象的变换过程.
教学难点：切实把握图像变换的本质，实现从正弦曲线到函数y = Asin(x + ) 图象的 变换过程.
教学过程
时间 教学 环节 主要师生活动
同学们，在前面两节课中，我们以筒车为背景，根据它运动的特点---- 匀速圆周运动，确立三角函数模型，.为了更好地使用模型，我们研究参 数A，， 的实际意义以及对函数y = Asin(x + ) 图象变化的影响. 问题 1： 正弦曲线是如何变换得到函数y = Asin(x + ) 图象
5 复习引入 第一步先变换出函数y = sin(x+Q) 图象， 由正弦曲线向左或右平移 |Q |个单位长得到的，究竟是向左还是向右，决定Q 的符号，Q >0, 向左平移Q 个单位，Q <0,向右平移|Q |个单位；所以在数学上，Q 会使 一个函数图象向左或者向右平移得到另一个函数图象, 而在实际问题 中,Q 决定了圆周运动的初始位置，也就是 t=0 时盛水桶（质点）的位置， 下一步由函数y = sin(x+Q) 图象变换为函数y = sin(负x+Q) 图象，在这 个过程中，需要使y = sin(x+Q) 曲线上的各点的横坐标变为原来的 （纵 坐标不变），得到函数y = sin(负x+Q) 的图象；在数学上，负 决定了函数图 象上点的横坐标的伸缩，横坐标的改变带来了函数周期的变化，T 与负 的 关系是T = ，而在实际问题中，负 对应圆周运动的角速度; 最后一步，将函数y = sin(负x+Q) 图象变化为函数y = Asin(负x+Q) 图 象，需要使y = sin(负x+Q) 曲线上的各点的纵坐标变为原来的 A倍（横坐 标不变），在数学上，A 决定了函数图象上点的纵坐标的伸缩，决定了函 数值域的变化. 而在实际问题中，A 对应圆周运动中筒车的半径，也就是 振幅.
10 典型例题 例 1 画出函数y＝2sin（3x 一 ）的简图 方法 1：图象变换. 解 1：先画出函数y = sin x 的图象，再把正弦曲线向右平移个单位长度， 得到函数y = sin(x 一 ) 的图象，然后使曲线上的各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数y = sin(3x 一 ) ，最后把曲线上各点的纵坐标 变为原来的 2 倍（横坐标不变），这时曲线就是函数y = 2sin(3x 一 ) 的图 象. 问题 2：事实上这三种变换的先后顺序并无特别规定，还有不同变换方式
吗？ 那我们看有同学是这样解答：同样先画出正弦曲线，再把正弦曲线
上的各点的横坐标变为原来的 1 3 （纵坐标不变），得到函数y = sin3x ，然
后使曲线向右平移个单位长度，得到函数y = sin(3x ) 的图象，最后 把曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变），这时曲线就是函 数y = 2sin(3x ) 的图象.请问对吗？ 分析： 向右平移 π 个单位长度 18 π y = sin3x y = sin(3x 6) 评价图象变换画图方法 练：你能用上述两种不同的变化方式，说说正弦曲线是如何变到函数 y = sin(x+) 图象 方法 2：五点作图法. 问题 3：类比正弦曲线的画法，你能用“五点法 ”画出y = 2sin(3x ) 吗？ 分析： 1.回忆正弦曲线作图方法 为了确定正弦函数的图象形状，抓住了图象上的五个关键点，分别为 与 x 轴交点（0，0）最高点( ，1）与 x 轴交点( π , 0）最低点（ ， -1）以及与 x 轴交点（2π , 0）,然后用光滑的曲线将它们连接起来，得 到正弦函数的简图. 2.利用换元法，令X = 3x ，函数变为y = 2sin X ，类比正弦曲线找出 五个关键点
解：令X = 3x 列表 π , 6 y = 2sin X ，
X 0 π 2 π 3π 2 2π
sin X 0 1 0 -1 0
2sin X 0 2 0 -2 0
但是y = 2sin(3x ) 是以小 x 为自变量，y 为函数值的函数，所以还有 求出 x 的值， 即令3x = 0, , π , , 2π , 分别解得出相应的 x 值，还可以：利用函 数图象特点以及性质，在求出第一个x= 后，可计算函数的最小正 周期，比如：这题中T = ， x= + = , 第三个点的横坐标 为 第 一 个 点 的 横 坐 标 和 第 五 个 点 横 坐 标 和 的 一 半 ， 即 x= +2= ，第二个点的横坐标为第一个点的横坐标和第三个点 横坐标和的一半，即x= = , 第四个点的横坐标为第三个点 的横坐标和第五个点横坐标和的一半，即x= = , 这样计 算简洁，准确性高. 列表
X 0 π 2 π 3π 2 2π
x π 18 2π 9 7π 18 5π 9 13π 18
sin X 0 1 0 -1 0
2 sin X 0 2 0 -2 0
以（ , 0），（ ，2），（ ，0），（ ，-2），（ , 0）为五个关键 点，画函数y = 2sin(3x ) 在一个周期（T = ）内的图象.
评价五点画图法以及简要对比以上两种画图方法 师生活动：学生讨论交流，对于方法 1 教师鼓励学生采取不同的变换方法， 对于方法 2 教师引导学生类比正弦曲线的五点法，抓住这个函数图像的关 键点. 设计意图：对所学知识的复习巩固和运用
8 实际问题 例 2：摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱 里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距 地面高度为 120 m，转盘直径为 110m，设置有 48 个座舱，开启后按逆时 针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约 需要 30 min. （1） 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后离地面的高度为 Hm，求在转动一周的过程中，H 关于 t 的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动 5 min 后离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中， 求两人距离地面的高度差 h（单位：m ）关于 t 的函数解析式，并求高度 差的最大值（精确到 0.1）. 思考 1 ：用什么数学模型来刻画摩天轮的转动？为什么？ 1.根据实际问题的特点确定数学模型 由于摩天轮匀速转动，游客距离地面的高度随时间呈周期性变化，因
此可以用三角函数建立模型，把摩天轮抽象为圆，游客所做的座舱抽象为 质点，那么游客距离地面的高度 H 与时间 t 的关系为，设 H = Asin(负t +Q) + k (A>0,负>0, |Q|<π ) 思考 2：如何求函数解析式？ 2.根据信息求解函数解析式 第（1）问的分析： 已知中告诉我们这是一个直径为 110 m的摩天轮，说明点M在半径为55 m 的圆上做圆周运动，得到 A=55，摩天轮按逆时针方向旋转，转一周需要 30 min ，说明周期 T=30 ，角速度负= = , 游客在座舱转到离地面最 近的位置 P 进舱，说明 P 为初始位置，角Q 的终边与y 非正半轴重合，即
Q = 一 π 2 结合A， , k 是指圆心到地面的距离，即 k=55+10.通过已知所给的信息， 负，Q 的实际意义，能很好的得出参数A，负，Q 的值.
（1）解：设座舱距离地面最近的位置为点 P, 以摩天轮的轴心 O 为原点， 与地面平行的直线为 x 轴建立平面直角坐标系. H = 55sin(t 一 ) + 65， 0< t < 30. 在实际问题中，特别注意自变量 t 代表时间，它的取值范围为t 之 0 ，不仅 如此，这里请同学们注意审题“在转动一周的过程中 ”，说明0 < t < 30 . 3.利用函数解析式去解决实际问题 第（2）问的分析：在实际问题中，座舱距地面高度在每一时刻是变化的， 通过解析式求出相对应的函数值，也就是座舱每一时刻的高度，这就函数 解析式的价值. （2）解：当t = 5 时，H = 55sin(x 5一 ) + 65=37.5. 所以，游客甲在开始转动 5min 后距离地面的高度约为 37.5m. 思考 3:如何表示甲、乙两人距地面的高度？ 第（3）问的分析 1：
甲、 乙两人的位置分别用点A,B 表示，一共有 48 个座舱，所以相邻 两个座舱的夹角经AOB= = . 这时，点A 可以看出是游客甲从点P 进 舱，经过 t min 后到达的位置， 此时Q 为 - ,经过 t min 后，甲距离地面 的高度为H1 = 55sin(t - ) + 65, 点 B 可以看成游客乙从 P’ 进舱，经过 t m in 后 到 达 的 位 置 ， 因 为 座 舱 转 动 的 速 度 是 一 样 的 ， 经P ' OP = 经AOB= . 此时Q 为 - + = - , 所以乙距离地面的高 度 H1 = 55 sin(t - ) + 65. 解：如图甲、乙两人的位置分别用 A,B 表示，则经AOB= = . 经过 tmin 后甲距离地面的高度为H1 = 55 sin(t - ) + 65, 点 B 相对于点A 始终落后rad, 此时乙距离地面的高度为 H1 = 55 sin(t - ) + 65. 则 甲、乙距离地面的高度差 h =| H1 - H2 |= 55 | sin( t - ) - s in( t - ) | ，借助三角变换的工具，以 及信息技术辅助求出最值来.
h =| H1 - H2 |= 55 | sin( t - ) - s in( t - ) | 解： = 55 | sin(t - ) + s in( - t) |, 利用sinθ+ sin Q = 2 sin cos , 可得 h = 110 | s in sin t - |, 0 < t < 30. 当 t - = 或 ， 即t ~ 7.8(或22 .8时)，h 的最大值为110 sin ~ 7.2. 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为 7.2m. 四、根据结果解释实际问题 通过数学知识，我们发现随着时间 t 的改变，相邻两个座舱之间的距离是 不断变化的，最高能相差 7 米之高，这是非常大的差距，这使我们对摩天 轮的认识不仅仅停留在感官，而是有了理性的新认识. 问题 4： (1)你还能用数学的眼光还能提出一些其他的问题吗？ 比如可以研究： ①高度差的最小值 ②可以查阅摩天轮所在城市最高建筑物的高度，计算在摩天轮转动一 圈内，游客到地面的距离是否能超越这一高度，有多长时间超过这一 高度？这些数据是否能为宣传摩天轮而服务？ （2）通过这道题的分析，同学们能对下面这些问题有更深一些的体会 吗？
(
函数
y
=
A
sin(
负
x
+
Q
)
的性质
) (
函数
y
=
A
sin(
负
x
+
Q
)
的
) (
简单应用
)
1.实际问题如何抽象成数学问题？ 2.数学问题如何从一种形式转化为另一种形式？ 3.数学问题解决后，我们又是如何解释、认识实际问题？ 师生活动：教师借助信息技术呈现摩天轮的直观影象，再提出问题，由学 生思考分析，教师适当点拨，提醒学生注意坐标系的选择，以及现实问题 中量的单位. 设计意图：本例与开篇的筒车问题相呼应，进一步体会圆周运动与三角函 数模型之间的内在联系，感受数学建模思想，体现数学的综合运用和实际 应用，也是对知识学习效果的一次检验. 练习：用“五点法 ”作出函数y = sin(2x+) 在一个周期上的简图，并说 出函数y = sin(2x+) 的图象与正弦曲线有什么关系？ 设计意图：巩固学生对参数A、负、Q对函数y = Asin(负x +Q) 图象的影响 的掌握，图象的整体变换，以及“五点作图法 ”
2 课 堂 小 结 布 置 作 业 请大家回顾本单元的学习内容，并回答以下问题： （1）你能概述本单元知识的基本脉络吗？
(
现实世界中的
匀速圆周运动
) (
函数
y
=
A
sin(
负
x
+
Q
)
)
(
参
数
A
、
负
、
Q
对
函
数
y
=
A
sin(
负
x
+
Q
)
图象的影响
)
（2）在本章的学习过程中，哪些思想方法值得总结？ ①数形结合：用“五点法 ”绘制y = Asin(x + ) 的图象，结合图象理解 函数y = Asin(x + ) 中参数的几何意义并确定参数的值，由函数y = sin x 的图象，经过恰当的变化得到函数y = Asin(x + ) 的图象，都体现了数 形结合的思想. ②函数思想：根据实际问题建立函数模型，并利用函数的思想解决实际问 题，进一步感受三角函数刻画周期变化现象时的作用. ④特殊与一般：能根据参数取特殊值时的变化情况，把握一般的变化情况， 能借助于特殊问题的研究，解决一类三角函数图象变化规律问题. （3）通过本单元的学习，谈谈你对数学建模过程与方法的认识. 首先，根据实际问题的特点确立函数模型，将实际问题转化为数学问题， 建立模型； 其次，通过对已知材料进行阅读、分析、整理，确定参数，利用所得的函 数解析式去求解问题; 最后，再根据相应的结果，解释实际含义，创造性地解决实际问题. 师生活动：教师引导学生回顾本单元的学习内容，并回答以下问题 设计意图：梳理本单元的核心知识和研究过程，以及体现的数学思想方法， 加深学生对本单元内容的整体认识，进一步体会研究数学对象的思路和方 法，以及数学建模的过程与方法.
布置作业：教科书习题 5.6 第 1，2，3，4，5，7 题