5.2.3同角三角函数的基本关系应用_教学设计（表格式）

课题 同角三角函数的基本关系应用
教学目标
教学目标： 1. 进一步理解同角三角函数的基本关系，会运用同角三角函数的基本关系解决求值、 证明问题. 2. 在同角三角函数的基本关系的运用过程中，进一步体会方程思想，等价转化思想， 体会知识间内在联系. 3. 通过同角三角函数的基本关系的应用，发展数学运算和逻辑推理的素养. 教学重点： 运用同角三角函数的基本关系解决求值、证明问题. 教学难点： 对公式变形的认识与使用.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
4 分 钟 （一） 回顾旧知 问题：在高中阶段，前面我们依次学习了幂函数、指数函数、对数函 数，本章学习的三角函数有：正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函 数之间既有区别又有联系，它们之间具体关系是什么？上一节课我们学习 了同角三角函数的基本关系，请同学们回忆：同角三角函数的基本关系的 内容是什么？ sin2 a＋cos2 a＝1； 当a kπ + （k Z）时， ＝tana . 追问：“同角 ”如何理解？ “ 同角 ”有两层含义：一是角相同，二是对任意一个角（在使得函数 有意义的前提下 ） 关系式都成立 ． 而角的形式可以任意 ， 如 ：
sin2 ＋cos2 ＝1 ； ＝tan 4a . 师生活动：回顾旧知，为本节课做准备. 师：探究出同角三角函数的基本关系后，我们利用它解决了一些基本 的求值问题，下面通过一道课前练习回顾一下主要的解题步骤以及涉及到 的思想方法. 练习： 已知 cosa＝- ，求 sina ， tana 的值. 生：独立完成，回顾方法，体会方程思想. 师：PPT 展示解题过程，引导学生总结解题步骤，关注解题过程中的 易错点. 师生总结： 注意： （1）解决这类求值题目应先根据条件判断角的终边所在的象限，确定 各三角函数值的符号，再利用基本关系求解. （2）书写时， 以此题为例， sin a ， tana 的结果都要用分情况叙述
sin a=± 4， 的形式表达出来 ，不能写成： { 只能写成： tana=± . 3 sina＝4， { 5 4 或 tana＝- ， 3
{sin a＝，用前面的书写方式会有四种搭配情况，事实上只有两种情况. tana= . 3 设计意图：引导学生回顾同角三角函数的基本关系的内容，加深对“同 角 ”的理解，通过练习帮助学生理清解题思路和步骤，体会方程思想，关 注解题中的易错点.
16 分 钟 （二） 学以致用 引导语：这节课我们进一步应用同角三角函数基本关系解决一些问题. 例 1： 已知sin a＝ ，求 -c 的值. 师：此题同样可以通过 sin a＝ ，求出 cosa 的值代入原式解决问 题．在求 cosa 的值的过程中，涉及到对角a 所在象限的讨论，那么有没 有更简单的方法？ 生：可以利用平方关系的等价变形： cos2 a＝1 - sin2 a ，将所求向已 知条件转化.
解： 2 cos2 a - 3 2（1 - sin2 a）- 3 -1 - 2 sin2 a = = 1 - 2sin2 a 1 - 2sin2 a 1 - 2 sin2 a ,
因为sin a＝ ，所以原式＝ ＝- . 总结：在同角三角函数的基本关系的应用中，要熟练掌握公式及公式 变形，根据题意，灵活运用. 设计意图：在同角三角函数的基本关系的应用过程中，体会等价转化 思想，发展数学运算素养. 例 2： 已知 tana＝3 ，求 +- 的值. 生：审题、思考、求解、交流. 师：给出解法 1 的思路：利用同角三角函数的基本关系，建立方程， 从而解决问题．到分类讨论时，提示学生针对分类讨论，能否通过其他方 法解决？进而引发学生思考，用不同方法解决问题. 解法 1：因为 tana＞0 ，所以a是第一或第三象限角. sina =3 由 {+cos2 a=1得(3cosa)2 + cos2 a = 1 ， cos2 a = 1 . 分类讨论 sin a + cosa =2 . sin a - cosa 师：解法 1 的方法简单，但计算量较大，在求解过程中还需分类讨论. 思考：能否通过其他方法解决呢？ 生：再次审题，思考其他解决方案. 师：引导学生再次审题，分析题目特点：已知角a 的正切值，求有关 角a 的正弦与余弦值的运算．并提出问题：以往的解题经验，我们通常把 条件向结论靠拢，同学们思考一下，该如何做呢？ 分析： 已知角a 的正切值，就是已知角a 的正弦值与余弦值的关系， 用这个思路来解决这道题目就迎刃而解了. 解法 2： 由 tana = = 3 ，得 sina = 3cosa ，代入原式， 得 +- = +- = = 2 . 思考：解法 2 的思路是把条件向结论转化，还有其他解决方法吗？ 生：思考、交流. 师：可以从所求结论向已知条件不断变形、简化，寻找与已知条件的
联系，这是分析法的思路．所求的分式分子是角a 的正弦与余弦值的和， 分母是它们的差，如何将所求转化为角a 正切值的运算？ 分析：可以利用同角三角函数的基本关系以及分式的运算性质，分式 的分子、分母同时除以 cosa .
解法 3： sin a cosa (
+
) (
=
=
)sin a + cosa cosa cosa tan a +1 ,
sin a - cosa sin a cosa - cosa cosa tana - 1
因为 tana＝3 ，所以原式＝2 .
设计意图：通过解决求值问题，进一步体会方程思想；通过综合法、 分析法的思路分析，进一步理解同角三角函数的基本关系，体会知识间的 内在联系，发展数学运算素养. 我们将所求问题变一变，又该如何解决呢？ 变式训练 1： 已知 tana＝3 ，求 -2 的值. 思考：能不能像上题中分子、分母同时除以 cosa ？为什么？ 生：尝试、思考，发现同除 cosa 后，没有完全转化到已知条件. 分析：所求式子的分子、分母同时除以 cosa ，不能把所求式完全转 化为只含有角a 的正切的表达式，显然不能达到目的．再观察所求式子的 结构，分子、分母都是二次式，所以考虑分子、分母同时除以 cos2 a .
解： sin2 a + 2 cos2 a = 2 sin2 a - cos2 a + 2c ＝ tan2 a + 2 2 sin2 a cos2 a 2 tan2 a - 1 2 2 cos a cos a ,
因为 tana＝3 ，所以原式＝ . 总结：要注意观察式子的结构特点，灵活运用公式进行变形. 变式训练 2： 已知 tana＝3 ，求 的值. 分析：这道题目也可以用 tana＝3 ，得到角a 的正弦与余弦的关系， 从而将所求转化成只含有角a 的正弦或余弦的表达式，再利用平方关系将 sin2 a 或 cos2 a 求解出来. 思考：有没有不借助角a 的正弦值或余弦值的方法来解决这个问题 呢？ 分析：所求分式中，分母是二次式，而分子是“ 1 ”，为了将所求向已 知条件转化，这时可以考虑用平方关系替代“ 1 ”，我们一起看一下.
解： 2 sin2 a1- cos2 a ＝22aa+c- ＝ 2aa+-11 ， 因为 tana＝3 ，所以原式＝ . 总结：当式子中出现“ 1 ”或者其它常数时，根据需要，可以考虑用平 方关系： sin2 a＋cos2 a＝1替代，从而解决问题. 设计意图：强化分子、分母同时除以 cosa 的可行性，加强对公式变 形的认识与使用，引导学生对式子中的“ 1 ”作适当的变形，灵活运用同角 三角函数的基本关系. 例 3：求证： ＝ . 师：先向学生说明：除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边 都有意义的情况下的恒等式（以此题为例，引导学生理解“都有意义 ”的 含义）．再引导学生思考如何证明，在学生困难之处给予点拨. 生：观察、思考、交流. 师： 明确方法：证明恒等式可以从一边开始（ 一般从式子结构复杂的 一边开始），证明它等于另一边. 思考：请同学们观察式子结构，若从左边式子开始，如何向右边式子 转化？需要做怎样的运算？ 生：观察思考，发现可以利用分式的运算性质进行转化，再利用同角 三角函数的基本关系解决问题. 分析：右边式子中的分子含有1+sin x ，可以利用分式的运算性质： 左边式子的分子、分母分别乘以1+sin x尝试证明（也可以选择其他的方 式进行转化）. 规范展示： 证法 1： 由 {1c-o0 得 x ＋kp ，k Z ，所以1+sin x 0 ， cos x (1+ sin x) 左边 ＝(1 - sin x)(1+ sin x) = cos x (1 + sin x) 1 - sin2 x = cos x (1 + sin x) 2 cos x
= ＝右边. 所以，原式成立. 师：完成证法 1 后，提出思考：还有其他证法吗？课上不展示，鼓励 学生课下用多种方法尝试证明. 生：思考，讨论交流. 分析：也可以从右边式子开始，证明它等于左边式子．我们观察到左 边式子的分子中有 cos x ，所以可以将右边式子的分子、分母同时乘以 cos x ，向左边式子进行转化.
证法 2（课上不展示）：右边 = (1+ sin x)cos x 2 cos x = (1+ sin x)cos x 1- sin2 x
= = = 左边. 师：在给出证法 3 之前，明确证法：证明恒等式，还可以选取与原式 等价的式子，通过等价转化推出原式成立.提出思考：与原式等价的式子有 哪些？ 生 ： 总 结 与 原 式等价 的 式子有 ： (1+ sin x)(1 - sin x)＝cos 2 x 、 ＝1+ sin x 等，体会等价转化思想在证明中的运用. 规范展示： 证法 3：因为(1+ sin x)(1 - sin x)＝1 - sin 2 x＝cos 2 x = cos x cos x ， 且1- sin x 0 ， cos x 0 ，所以 ＝ . 师生总结： 1 ．证明恒等式的方法有： （1）从恒等式的一边开始，证明它等于另一边．一般由繁到简，通过 恒等变形得到另一个式子，从而推出原式成立. （2）证明左右两边都等于同一个式子．（后面遇到时再具体分析） （3）选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式成立. 2 ．公式sin2 a+cos2 a＝1 ， ＝tana的应用极为重要且广泛， 熟练掌握公式及公式的等价形式对今后的学习是非常重要的. 拓广探索：（教材习题 5.2 第 17 题）
从例 3 可以看出， 1-c ＝1 就是sin2 a+cos2 a＝1 的一 个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？请同 学们课后探索尝试. 练习：习题 5.2 第 14（1）题. 设计意图：通过证明三角恒等式让学生进一步理解同角三角函数的基 本关系，提升对等价转化思想的认识，发展数学运算和逻辑推理的学科素 养.
2 分 钟 （三） 归纳总结 布置作业 教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题： 这节课我们应用同角三角函数的基本关系解决了一些问题，在解决问 题的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？ 师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，再让学生发言， 教师帮助完善. 师生总结：通过本节课的学习，进一步理解同角三角函数的基本关系， 体会方程思想、等价转化思想，在解决问题的过程中，发展数学运算和逻 辑推理的学科素养，这对以后的学习会有很大帮助. 设计意图：通过对本节课进行小节，帮助学生养成归纳、总结的学习 习惯. 布置作业：教科书习题 5.2 第 12 ，14（2）（3），15 ，18 题.