4.5.2用二分法求方程的近似解_教学设计（表格式）

课题 用二分法求方程的近似解
教学目标
教学目标： 1. 通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程中的应用，了解极限思想； 2. 通过总结二分法的实施步骤经历由特殊到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养， 提高分析问题和解决问题的能力； 3. 借助信息技术，理解二分法的算法思想，提升数学运算的素养. 教学重点：用二分法求函数 f(x) 的零点 x0 的近似值的一般步骤. 教学难点：对二分法步骤和精确度的理解.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
7 分钟 （一） 引入问题， 探讨方法. 引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数 单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程 的近似解. 问题 1：我们已经知道函数f(x) = ln x + 2x - 6 在开区间 (2, 3) 内存在一个零点，如何求出这个零点？ 追问 1：你能求出函数f(x) = ln x + 2x - 6 零点的精确值吗？为 什么？ 师生活动：学生根据经验简单判断，思考. 教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精 确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（比 如：当精确度为 ε 时：只要近似值与精确值之差的绝对值小于ε 即可） 追问 2：当精确度为 0.5 时，你能得到一个符合要求的零点的近 似值吗？
师生活动：学生可以想到：零点在区间 (2, 3) 内，数轴上 2 和 3 之间的距离为 1 ，它们的中点与零点的距离一定小于 0.5 ，因此精确 度为 0.5 时，可以取 2.5 作为一个零点的近似值. 教师给出区间的中 点的定义：一般地，称 x = 为区间 (a, b) 的中点. 追问 3：当精确度为 0.5 时，3 可以看做零点的一个近似值吗？ 为什么？ 师生活动：学生思考：零点是在 (2, 2, 5) 内，还是在 (2.5, 3)内 呢？这时就要考虑 f(2)f(2.5), f(2.5)(3) 的符号. 由计算工具算得 f(2.5) -0.084 ，由 f(2.5)(3) < 0 可知，零点在区间 (2.5, 3)内， 由数轴上 2.5 和 3 之间的距离为 0.5 可知,零点和 3 之间的距离小于 0.5 ，因此， 3 可以看做零点的一个近似值. 追问 4：根据追问 2 和 3 的回答，当精确度缩小到 0.01 时，为了 得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程 度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？ 师生活动：学生思考：当精确度为 0.01 时，长度小于 0.01 的零 点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存 在零点的区间长度缩小到小于 0.01. 根据追问 2 和 3 的回答，可以通 过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间 逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的. 教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在 的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求 的零点的近似值. 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小 零点所在的范围. 具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函 数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度 的范围. 事实上，通过取中点缩小零点所在区间的方法，在李咏主持 的《幸运 52》节目的猜商品价格的游戏中也有所体现，在这个游戏 中，选手需要对主持人提供的商品进行有限次数的估价，如果猜对， 则获得该商品作为奖励. 在估价过程中，主持人会提示，选手的估价 与实际价格相比是高了还是低了. 为了尽快缩小实际价格的范围，选 手通常采用估计较高价格与较低价格的中间价格来缩小范围，这个中 间价格可以恰好是较高、较低两次价格之和的一半，也可以略有浮动. 因此，取中点缩小区间的手段合理，但不唯一.
设计意图： 通过研究如何求函数f(x) = ln x + 2x - 6的零点， 使学生理解二分法的基本原理.
5 分钟 （二） 解决问题， 实施方法. 问题 2：当精确度为 0.01 时，求函数f(x) = ln x + 2x - 6零点的 近似值. 教师示范：根据问题 1 的研究，取区间 (2, 3) 的中点 2.5 ，算得 f(2.5) -0.084 ，因为f(2.5)(3) < 0 ，所以零点在区间 (2.5, 3)内. 再取区间 (2.5, 3) 的中点 2.75 ，用计算工具算得 f(2.75) 0.512 . 因为 f(2.5)f(2.75) < 0 ，所以零点在区间 (2.5, 2.75) 内（如表 1 和 图 1），我们可以重复这样的步骤，继续缩小零点所在区间，直到区 间长度小于 0.01 为止，如表 2.
追问：根据填好的表格，请你给出函数 f(x) = ln x + 2x - 6 零 点的近似值. 师生活动：学生可以想到：区间（2.53125 ，2.5390625）内任意 一点都可以作为零点的近似值. 教师补充：为了方便，我们可以把区 间的一个端点作为零点的近似值，所以x = 2.53125 (或 2.5390625 ) 可 以 作 为 函 数 f(x) = ln x + 2x - 6 零 点 的 近 似 值 ， 也 即 方 程 ln x + 2x - 6 = 0 的近似解. 设计意图：通过求函数 f(x) = ln x + 2x - 6 的零点在一定精确 度下的近似值，体会二分法的实施过程.
6 分钟 （三） 总结提炼， 归纳方法. 问题 3： 在问题 2 中，我们用怎样的方法求函数 f(x) = ln x + 2x - 6零点 近似值？这种方法适用于哪些函数？ 师生活动：学生思考：通过不断地把函数 f(x) = ln x + 2x - 6的 零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零 点近似值. 对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数 值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值. 教师在学生回答的基础上形成“二分法 ”的定义：对于区间[a, b] 上的连续不断且 f(a)f(b)< 0的函数 y = f(x) ，通过不断地把它的 零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法. 设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义.
问题 4：根据求函数f(x) = ln x + 2x - 6 零点的近似值的过程， 你能提炼出给定精确度e ，用二分法求函数 y = f(x) 零点 x0 的近似 值的一般步骤吗？ 教师讲解： 回顾求函数 f(x) = ln x + 2x - 6 零点的近似值的过 程，我们主要经历了以下环节： 1. 确定初始区间：由 f(2.5)(3) < 0 ，得到f(x) = ln x + 2x - 6 的 零点所在区间 (2, 3) ； 2. 不断缩小区间：通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积 的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小. 具体可解为如下步骤： （1）计算区间中点； （2）计算中点函数值； （3）计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号； （4）确定零点所在区间. 那么这个过程什么时候结束呢？ 当零点所在区间的长度小于精 确度的范围时，重复操作结束. 3. 得到近似值：当零点所在区间的长度小于精确度的范围，把区 间的一个端点作为零点的近似值. 由此，我们可以提炼出给定精确度e ，用二分法求函数 y = f(x) 零点 x0 的近似值的一般步骤： 1. 确定零点 x0 的初始区间[a, b] ，验证f(a)f(b) < 0 . 2. 求区间 (a, b) 中点 c . 3. 计算 f(c) ，并进一步确定零点所在区间： （1）若 f(c) = 0 （此时， x0 = c ）,则 c 就是函数零点； （2）若 f(a)f(c) < 0 （此时， x0 (a, c) ），则令b = c ；
（3）若 f(c)f(b) < 0 （此时， x0 (c, b) ），则令 a = c . 4. 判断是否达到精确度e ：若 a -b < e ，则得到零点的近似值 为 a （或b ）；否则重复步骤 2～4. 设计意图：根据求函数 f(x) = ln x + 2x - 6 零点的近似值的过 程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤.
5 分钟 （四） 例题实践， 熟悉方法. 问题 5：借助信息技术，用二分法求方程 2x + 3x = 7 的近似解（精 确度为 0. 1）. 例题分析：原方程即 2x + 3x = 7 ，令 f (x) = 2x + 3x - 7 ，用信 息技术画出函数 y = f(x) 的图象（图 2），并列出它的对应值表（表 3）. 观察图 2 或表 3 可知f(1)f(2) < 0 ，说明该函数在区间 (1, 2) 内 存在零点 x0 .
取区间 (1, 2) 的中点 x1 = 1.5 ，用信息技术算得 f(1.5) 0.33 ， 因为 f(1)f(1.5) < 0 ，所以x0 (1, 1.5) . 再 取 区 间 (1, 1.5) 的 中 点 x2 = 1.25 ， 用 信 息 技 术 算 得 f(1.25) -0.87 ，因为 f(1.25)f(1.5) < 0 ，所以 x0 (1.25, 1.5) . 同理可得， x0 (1.375, 1.5) ， x0 (1.375, 1.4375) . 由于 1 .375 - 1.4375 = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可 取为 1.375（1.4375 也可以）. 设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤， 学会用二分法求方程的近似解.
2 分钟 （五） 归纳小结， 布置作业 教师总结： 本节课我们学习了用二分法求方程近似解的方法. 二分法通过 不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理 数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想. 回顾整个研究过程，我们通过求具体方程的近似解了解二分法并 总结其实施步骤，经历了由特殊到一般的研究过程，从中不但能体会 到算法思想，还获得了从具体问题的解决过程提炼出一类问题的解决 方法的经验. 设计意图：回顾本节课所学内容和学习过程，感悟本节课涉及的 数学思想方法，交流分享关于本节课的收获. 作业布置：教科书第 155 页习题 4.5 第 4 ，5 ，8 题.