5.4.3正切函数的性质与图象_教学设计（表格式）

课题 正切函数的性质和图象
教学目标
教学目标： 1.初步理解正切函数的基本性质，并借助性质把握图象特征； 2.通过正切函数的图象和性质的研究，进一步体会函数研究的方法，体会数形结合和类比的思想方法 的使用； 3.在正切函数的研究中，发展直观想象和数学抽象的素养. 教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，结合性质绘制图象. 教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 复习引入 问题 1：什么叫正切函数？ 我们已经知道，对于任意一个角 x ， x + kp, k Z ，有唯一确定的正切值 tan x 与之对应，因此y = tan x 是一个函数，称为正切函数. 设计意图：为研究正切函数的性质与图象作好准备. 问题 2：如何研究正切函数的性质与图象？ 前面我们研究正弦函数的方法是通过定义和单位圆绘制出正弦曲线，再通过 图象直观地研究正弦函数的性质。研究余弦函数是利用正弦曲线平移得到余弦曲 线，进而研究性质。正切函数的图像不能通过平移得到，但有了前面的知识准备，
我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的部分性质，再利用性质研 究正切函数的图象，进而得到其他性质. 设计意图：在回顾研究正弦函数、余弦函数的方法的基础上引出研究正切函数的 方法.
12 分 钟 新课讲解 一、正切函数 y = tan x 的性质 1.定义域 由正切函数的定义，角的终边不能落在y 轴上，因此我们得到正切函数的定 义域： 〈x | x 丰 + kπ, k eZ〉. 这种表示形式是在实数集中去掉了不能取到的点，还有没有其他的表达方法 呢 ？ 我 们 也 可 以 把 能 取 到 的 所 有 值 用 区 间 形 式 表 示 出 来 ， 即 (一 + kπ, + kπ), k eZ .在这个形式中，每一个取定的 k 值就对应着一个具体 的区间，比如当k=0 时，对应的区间是 (一 , ) ，当 k=1 时，对应的区间是 ( , ) ， 当 k=-1 时，对应的区间是 (一 , 一 ) 等，定义域应取这些区间的并集，用 u 连 接. 问题 3： 由此想象图象会具有什么特点？ 图象被垂直于 x 轴的无穷多条直线x = + kπ, k eZ 隔开，两条直线之间的 图象是连续的. 2.奇偶性 正切函数的定义域关于原点对称， 由诱导公式 tan(一x) = 一 tan x, x eR 且 x 丰 + kπ, k eZ ,可知，正切函数是奇函数. 问题 4： 由此想象图象会具有什么特点？ 正切函数的图象关于原点对称. 3.周期性 由诱导公式 tan(x + π) = tan x, x eR ，且x 丰 + kπ, k eZ ,可知，正切函 数是周期函数，周期是 π .
问题 5：正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象会有什么帮助？ 由于 p 为正切函数的周期，所以我们只需要画出他在一个周期内的图象，然 后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象.选择哪一个长度为 p 的区间呢？ (

p
p


p

) (
è
2
2

è
2

)可以选择区间 - , ÷; 而正切函数又是奇函数，所以只需画出在 0, ÷的图象. [0, ) 点称 - , 移 π个位 正切函数图象 下面我们研究怎样得到函数 y = tan x, x 0, 的图象. 二、正切函数 y = tan x 的图象 我们可以利用描点法作出 y = tan x, x 0, 图象，为了更准确地得到点的 坐标，我们可以利用单位圆找到正切值的几何意义. 如图 5.4—9，设x 0, ，在直角坐标系中画出角 的终边与单位圆的交点 B(x0 , y0 ) 过点B 作 x 轴的垂线，垂足为M ；过点 A(1, 0) 作 x 轴的垂线与角 x 的 终边交于点T ，则 tan x = = = = AT ；由此可见，当x 0, 时， 线段 AT 的长度就是相应角 x 的正切值 ． 我们可 以利用线段 AT 画出 函数 y = tan x, x 0, 的图象，如图 5.4.10 所示.
通过动画演示，将 x 0, 的角四等分，通过线段 AT 找到对应角的纵坐标， 若希望更准确的绘图，可进一步取更多的点，用光滑曲线连结取到的点，得到 y = tan x, x 0, 的图象. 设计意图：通过正切函数定义及单位圆找到正切值得几何表示（即正切线），绘制 正切函数的图象. 将 函 数 y = tan x, x [0, ) 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 就 可 得 到 函 数 y = tan x, x (- , 0] 的图象；将函数 y = tan x, x (- , ) 的图象向左、右平 移，每次平移 p 个单位，就可得到正切函数x R ，且 x + kp, k Z 的图象. y = tan x, x R ，且 x + kp, k Z 的图象，称为“正切曲线 ”. 从 图 5.4.11 可 以 看 出 ， 正 切 曲 线 是 被 与 y 轴 平 行 的 一 系 列 直 线 x = + kp, k Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
问题 6： 由正切曲线，我们能够得到正切函数的哪些其他性质呢？ 4.单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间 (- , ) 上单调递增.由正切函数的周期 性可得，正切函数在每一个区间 (- + kp, + kp), k Z ,上都单调递增. 应注意：（1）区间端点不在定义域内，所以必须写成开区间； （2）正切函数在每一个开区间 (- + kp, + kπ), k Z ,上都是单调递增 的.k 的每一个取定的值都对应着一个单调区间，而正切函数的定义域是这无穷多 个区间的并，故正切函数在其整个定义域内不具有单调性. 5.值域 当 x (- , ) 时，tan x 在 (- , + ) 内可取到任意实数值，但没有最大值、 最小值.因此，正切函数的值域是实数集 R . 6.渐近线 正切函数的图象是被相互平行的直线 x = + kp, k Z 隔开的无穷多支形 状完全相同的曲线组成的.当 x 趋近于 + kp, k Z 时，函数值趋近于正无穷或 负无穷， x = + kp, k Z 为其渐近线. 7.对称性 问题 7：正切曲线有对称中心吗？ 由于正切函数是奇函数，不难看出正切曲线是中心对称图形，原点就是它的 一 个 对 称 中 心 ， 还 有 别 的 对 称 中 心 吗 ？ 正 切 曲 线 与 x 轴 的 每 一 个 交 点 (kπ, 0) ,k Z 都 是 其 对 称 中 心 ； 另 外 ， 每 条 渐 近 线 与 x 轴 的 交 点 + kπ , 0 ,k Z 也是其对称中心. 由此可知，正切曲线的对称中心为 ( , 0), k Z . 应注意，正切函数的对称中心除了函数图象与 x 轴的交点外，还有渐近线与 x 轴 的交点.对称中心不一定在图象上，比如我们熟悉的反比例函数，原点是其对称
中心，但并不在函数图象上. 正切曲线无对称轴. 8.零点 观察正切曲线可以看出，正切函数的零点为 kp, k Z . 以上我们研究正切函数的思路是：通过定义得到部分性质，在性质的辅助下 得到正切函数图象，再由图象得到其他性质，将函数的性质与图象有机的结合起 来，充分地体现了数形结合的思想. 设计意图：通过研究正切函数的性质画出正切函数图象，再通过图象发现更多性 质.在解决问题的过程中由数想形， 由形到数，反复进行数形转化.从定义、诱导 公式、图象等多角度认识正切函数的性质与图象. 下面我们利用性质解决一些问题.
6 分 钟 例题解析 例 1.不求值，分别比较下列各组正切值的大小. (1) tan(- )和tan(- ) ； （2） tan - 与 tan - 的大小. 解：(1)：- < - < - < 0, 且y = tan x在 - ，0 单调递增, (
π
3π
)\ tan(- ) > tan(- ) ； 5 7 解：(2)：tan - = tan - + 3 π = tan - , tan - = tan - + 4 π = tan , - < - < < , 且y = tan x在 - , 单调递增, \ tan(- ) < tan( ) ,即tan(- ) < tan(- ) .
例 2. 求函数 y = tan( x + ) 的定义域、周期及单调区间. 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论. 解： 自变量 的取值应满足：
π x + π 子 2 3 + kπ, k eZ 即 x 子 + 2k, k e Z
所以，函数的定义域是〈x | x 子 + 2k, k eZ〉. 设 z = x + ，又 tan(z + π) = ttan(z) 所以 tan[( x + ) + π] = tan[( x + )] 即 tan[ (x + 2) + )] = tan[( x + )] 因为 vx e〈x | x 子 + 2k, k eZ〉, (
π
π
π
π
)都有 tan[ (x + 2) + )] = tan[( x + )] 2 3 2 3 所以，函数的周期为 2 .
由 - + kπ < x + 解得； - + 2k < x < < + kπ, k eZ + 2k, k eZ
因此，函数在区间 (- + 2k, + 2k), k eZ , 上单调递增. 设计意图：应用正切函数的性质解决问题，加深对性质的理解，熟悉相关思想方 法的应用.
1 分 总结提升 这节课，我们通过正切函数的定义、结合诱导公式等得出了函数的一些性质， 进而利用性质指导我们画出了正切函数的图象，再利用图象帮助我们发现了更多 的性质，帮助我们理解性质，并利用性质与图象解决了有关问题。在解决问题的 过程中运用了类比、整体代换、数形结合等思想方法．这样研究函数的方法值得 同学们思考与借鉴.