5.4.2正弦函数，余弦函数的性质_教学设计（表格式）

课题 正弦函数、余弦函数的性质
教学目标
教学目标： 1. 初步理解函数的周期性，在周期性和单调性的指导下把握正弦函数、余弦函数的其 他性质； 2. 深入周期性和奇偶性的综合，加强多角度认识函数性质； 3. 借助单位圆深刻理解性质，提升数学直观和数学推理的数学素养. 教学重点：在周期性和奇偶性的指导下整合正弦函数、余弦函数的其然性质. 教学难点：周期函数、（最小正）周期的意义.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3 分钟 （一） 新知引入 导语：通过前期对指数函数、对数函数的学习，我们已经知道对 函数性质的研究思路 : 绘制函数图象——观察图象、发现性质——证明性质 上节课我们已经学习正弦函数、余弦函数的图象，本节课让我们一起 利用函数的图象研究正弦函数、余弦函数的性质. 问题 1：类比以往对函数性质的研究，思考本节课可研究正弦函 数、余弦函数的哪些性质？ 师生活动：学生思考总结：根据研究函数的经验，我们可探究正 弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值 等. 问题 2：观察正弦函数图象并结合其自身特点，思考正弦函数有 哪些保持不变的特征. 内的：π , 02 或生 2π ∈ .
追问 :如何用代数方法解释以上猜想？ 师生活动：学生思考、讨论. 当自变量 的值增加 2π整数倍时所 对应的函数值，与 所对应的函数值相等.可利用诱导公式sin + 2π 学)想=正1 况所对应的两 段图象，从而让数与形从特殊到一般进行对应，体会周期描述的周而 复始的含义. 设计意图：通过对函数性质的研究思路的回顾，引导学生明确函 数性质的研究内容，选择适当的研究方法.
10 分钟 （二） 周期性 问题 3：请阅读教科书 5.4.2 节“ 1.周期性 ”中的内容，回答下 列问题：什么是周期函数？什么叫做周期？ 师生活动：学生阅读教科书，回答周期函数的定义： 一般地，设函数( )的定义域为 , 如果存在一个非零常数,使 得对每一个 ∈ 都有 + ∈ , 且 + ) = ( )， 那么函数( )就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 为学生更好的理解定义，教师可通过以下追问强调对“存在 ”和“每 一个 ∈ ”的理解. 追问：你是如何理解定义中的“存在一个非零常数 ” 师生活动：对于函数 “若对任意一个非零常数,都不能使 得 + ) = )恒成立 ”，即“在函数 定义域中总能找到某个 值0 ，使得0 + ) ≠ ( )，”在这种情况下， )就不是周期函数. 追问：正弦函数是否为周期函数 追问：sin + = sin , sin + ) = sin ， sin + ) = sin , , 那么是正弦函数 = sin 的一个周期吗？ 为什么？ 师生活动：学生思考并回答，在正弦函数的定义域中，可以找一 个值， 比如当 = 时，sin + ≠ sin ，所以不是正弦函数一个 周期.教师引导学生注意，在已知函数( )是周期函数的前提下，只 要函数( )定义域中有一个值0 ，使得0 + ) ≠ ( )，则就不是 函数( )的周期.所以研究函数的周期要特别关注“每一个 ∈ ”的 含义. 问题 4：正弦函数的周期是多少？ 师生活动：由关系式sin + 2π = sin ( ∈ )可知正弦函数的
(
的周期.从而得到
，

(
∈
N

)
也都是它的
周期.
即证明
T
∈
且
≠
0
)
都是它的周期.
)周期是 2π( ∈ 且 ≠ 0) 追问：对于一般的周期函数( )，如果常数是这个函数的周期， 你能证明T( ∈ 且 ≠ 0)也是它的周期吗？ 师生活动：共同探究并证明，让学生试着证明，若学生有困难教 师给予必要的帮助. 从周期函数的定义可以得到，如果是( )的一个周期，它可以 是正数也可以是负数，并且对定义域内的每一个 , 都有 + ) = 所( 以 2也是)，于是+ 2()的周期= 同 + 理可证+ ,3,=4, 5 + , 都=是它 周期.进而 (

+

)
=

+
2
1
，
由此可知
2
,

3
,

4
,
都是它
)得到∈, 都 是 它+ 周=期(. )，那么 = + 1 = + 数 教定师义引域导中学的生任注意意一，，导那过么程 成+的，2是 ,, , 也都 是周期函 必须在函数定义域中，因此周期函数( )的定义域一定既无上界也无 下界，即无界. 问题 5：在正弦函数的所有周期中，是否存在一个最小的正数？ 师生活动：根据正弦函数的周期是 2π ∈ 且 ≠ 0) ，当 = 1 时得到最小的正数为 2π . 教师总结：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正 数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期. 在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般 都是指函数的最小正周期.最小正周期是最具有代表性的一个周期， 但不是每个周期函数都存在最小正周期. 问题 6：余弦函数是否为周期函数，若是，请指出其周期和最小 正周期. 师生活动：学生观察余弦函数图象得出结论，余弦函数也是周期 函数，2π( ∈ 且 ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是 2π . 设计意图：直观理解正弦函数、余弦函数的周期性，了解最小正 周期. 问题 7：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么 帮助？ 师生活动：学生独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师 进行梳理总结. 教师总结：函数的周期性可以简化对图象和性质的研究过程.对
于一个周期函数，如果知道了周期，在对函数的探究过程中就可以从 一个周期入手，只要认识到一个周期上函数的图象与性质，那么整个 定义域上函数的图象和性质就都完全清楚了.另外，以正弦函数为例， 已知 2π是它的周期后，不一定必须从 0 ，2π开始研究，只要从左向 后平移取 2π个单位长度都可以理解为正弦函数的一个周期进行探 究. 设计意图： 了解周期性的意义，为下面的研究做铺垫.
7 分钟 （三） 其他性质 问题 8：观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格. 正弦函数余弦函数定义域值域周期性奇偶性对称轴对称中心每一个单调递增区间每一个单调递减区间最大值最小值
师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想 象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善， 并进行展示交流. 在填写表格时，学生可以较准确地填写出正弦函数、余弦函数的 定义域、值域、周期性、奇偶性.学生在猜想并写出单调区间、最值 点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑.通 过以追问 促观进察学正生弦的函思数考图，象帮，助找他出们在理[,. 2 23 ]内的对称轴和对称 中心. 追问：观察正弦函数图象，探究在[ 2 , 23 ]内函数的单调性. 师生活动：学生能够在一个周期内找到正弦函数的对称轴、对称 中心以及图象的变化趋势.教师引导学生结合正弦函数的周期性，将 对称轴，对称中心和单调性进行归纳，并得到正弦函数的最大（小） 值. 设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序； 培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力.
问题 9：请同学们课后类比正弦函数性质的探究过程，进行对余 弦函数性质的探究并完成表格. 问题 10： 阅读教科书 5.4.2 节“2. 奇偶性 ”“3. 单调性 ”“4. 最 大值与最小值 ”的内容，回答下列问题： （1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？知道一个函数的 奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？ （2）分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？ 为什么？ 师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题. 设计意图：引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系 统、规范地认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严 谨性.
2 分钟 （四） 课堂小结 布置作业 教师总结：本节课我们经历了观察图象、发现性质进而证明性质 的过程，对正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性、 最值进行探究，进一步体会研究函数性质的一般思路和过程.这为我 们下节课研究正弦函数、余弦函数图象与性质的应用奠定了理论基 础. 作业布置：阅读教科书第 208 页“探究与发现 利用单位圆的性 质研究正弦函数、余弦函数的性质 ”.