5.4.1正弦函数，余弦函数的图象_教学设计（表格式）

课题 正弦函数，余弦函数的图象
教学目标
教学目标： 1.借助正弦函数的定义和单位圆，经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘 制正弦函数图象的“五点法 ”； 2.在分析正弦函数、余弦函数相互关系的基础上，经历绘制余弦函数图象的过程，理解 其中运用的图象变换的思想. 教学重点：正弦函数、余弦函数的图象以及“五点法 ”. 教学难点：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3 分钟 （一）规划 研究方案， 形成研究 思路 问题 1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函 数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什 么问题？ 师生活动：明确学习三角函数定义后，应该继续研究三角函数的 图象和性质. 追问 1：之前研究指数函数、对数函数的图象和性质的思路是怎 样的？ 预设：研究思路是：函数的定义、函数的图象、函数的性质. 追问 2：绘制一个新函数图象的基本方法是什么？ 预设：绘制一个新函数图象的基本方式是描点法. 追问 3：根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域 上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？ 预设： 根据三角函数的定义，单位圆上任意一点在圆周上旋转 一 周 又 回 到 原 来 的 位 置 ， 这 一 特 性 已 经 用 公 式 一 表 示 ：
sin(c + k. 2π) = sinc ，cos(c + k. 2π) = cos c ，其中k E Z ．根 据公式一，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程．方 便起见，我们可以先画函数 y = sin x ， x E[0, 2π]的图象，再画出 正弦函数 y = sin x ， x E R 的图象. 设计意图： 规划研究方案，构建本单元及本节课的研究路径， 以便从整体上掌握整个单元的学习过程，形成整体观念.
10 分钟 （二）正弦 函 数 的 图 象 问题 2：描点法是画函数图象的基本方法，对于正弦函数，大家 想取哪些点、怎样描点画图呢？ 学生活动：学生可能会说，对于自变量 x 在[0, 2π] 上随意取一 些值，然后利用计算器算出函数值，再在平面直角坐标系上描点连线. 教师提示：这样作图应该能够得到正弦函数图象的大致形状，但 是三角函数中会出现无理数，这样作图明显不够精确，而且也没有利 用到三角函数的定义，缺少了三角函数定义和图象之间的内在联系， 所以需要寻求更精确、并且利用到三角函数定义的方法. 问题 3：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正 弦函数，在[0, 2π]上任取一个值x0 ，如何借助单位圆确定正弦函数 值 sin x0 ，并准确画出点T(x0 , sin x0 ) ？ 预设：请大家看图，在平面直角坐标系中画出以原点 O 为圆心 的单位圆，且单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1, 0) ．在单位圆上， 将 点 A 绕 着 点 O 旋 转 x0 弧 度 至 点 B ． 根 据 弧 度 制 的 定 义 c = ,x0 既是 经AOB 的大小，也是弧 AB 的长度；根据正弦函数 的定义，点B 的纵坐标 y0 = sin x0 ．由此，以x0 为横坐标， y0 为纵
坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0 , sin x0 ) ．在没有信息技术的 情况下，可以用“手工绕线法 ”完成，同学们可以课下思考. 设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定 义的理解；通过分析点的坐标的几何意义，准确描点. 问题 4：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，你能类 比指数函数、对数函数图象的画法，画出 y = sin x ， x e [0, 2π] 的 图象吗？ 师生活动：师生共同讨论方案，教师指导并完善方案. 方案 1：在区间[0, 2π] 内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐 一绘制，再用光滑的曲线连接. 教师点评：随意取值，横坐标 x0 可能会出现比较多的无理数， 不容易在x 轴上准确定位；而且根据弧度制的定义，x0 的值是弧 AB 的长度，不容易平移，所以在单位圆上定位 x0 弧度的角的终边时， 存在一定困难. 方案 2： x0 取 1 、2 、3 等值，再按照上述方式绘制图像. 教师点评：1 、2 、3 等弧度数在 x 轴上可以准确定位，但是在单 位圆上定位这些弧度的角的终边时，仍然存在上述的问题. 方案 3： x0 取比较熟悉的特殊角，如 、 、 等. 教师点评： [0, 2π] 内的这些特殊角是大家比较熟悉的，在 x 轴 上比较容易定位，但是在单位圆上怎样确定点 B 的位置呢？究竟取 哪些、怎样取特殊角，才能即简便又准确呢？ 方案 4：在区间[0, 2π] 内取等分点，最为简便准确. 预设：如图，把 x 轴上[0, 2π] 这一段分成 12 等份，即每个象限
3 等分，从而使 x0 的值分别为 0 ， ， ， ，… ，2π ，它们所对 应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周 12 等分，再按照上述方法 依次画点T(x0 , sin x0 ) ，就能准确定位出每个 x0 在单位圆上所对应的 终边位置，从而可以准确地画出自变量取这些值时对应的函数图象上 的点． 师生活动：学生用上述方法绘制图象．教师用几何画板演示上述 图象的生成过程，初步得到 y = sin x ， x E [0, 2π] 的图象，再借助 信息技术取任意多的点，并连续成线． 设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施；利 用信息技术得到更多图象上的点，达到点动成线的直观效果，使学生 进一步理解任意一点与整体图形之间的关系，理解图象形成的内在道 理． 问题 5：根据函数 y = sin x ， x E [0, 2π] 的图象，你能想象正 弦函数 y = sin x ， x E R 的图象吗？依据是什么？请画出该函数的 图象． 预设：根据公式一 sin(c + k. 2π) = sin c ，其中 k E Z ，可知函 数 y = sin x ， x E [2kπ, 2(k +1)π] ， k E Z 且 k 子 0 的 图 象 与 y = sin x ，x E [0, 2π] 的图象形状完全一致．因此将函数 y = sin x ， x E [0, 2π] 的图象不断向左、向右平移（每次移动 2π个单位长度）， 就可以得到正弦函数 y = sin x ， x E R 的图象．如图所示． 教师指出：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏 ” 的连续光滑曲线． 设计意图：绘制函数 y = sin x ， x E R 的图象，让学生体会从 有限到无限的推广过程，并培养学生说理的习惯． 问题 6：对函数的研究，能够快速又比较准确的做出其简图，往
往起重要的作用．你能画出函数 y = sin x ， x [0, 2π] 图象的简图 吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？ 师生活动：教师引导学生观察图象，共同确定关键点. 预设：在函数y = sin x ，x [0, 2π] 图象上，以下五个点：(0, 0) ， ( , 1) ， (π, 0) ， ( , 1) ， (2π, 0) 在确定函数图象时起关键作用， 它们是函数图象的最大值 点、最小值点以及零点．描 出 这 五 个 点 ， 函 数 y = sin x ， x [0, 2π] 的 图象形状就基本确定了．因 此，在精度要求不高时，常 先找出这五个关键点，再用光滑曲线连接起来，得到正弦函数的简图， 这种方法非常实用，方便有效，称为“五点法 ”. 设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法 ”画图的 简便方法.
5 分钟 （三）余弦 函 数 的 图 象 问题 7：我们已经能够做出正弦函数的图象，你能做出余弦函数 的图象吗？ 师生活动：此时学生可能会跃跃欲试，想用类似的方法画余弦函 数的图象．对此教师应予以肯定，并进一步追问. 追问 1：如果仍然采用之前的方法，如图，此时单位圆上点B 的 横坐标为 cos x0 ，那么将它作为点T 的纵坐标，还容易平移吗？显然 不太方便. 追问 2：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密 切相关的函数．诱导公式已经表明，余弦函数和正弦函数可以互化．所 以你能否通过已经得到的正弦函数的图象，通过变换得到余弦函数的 图象？ 师生活动：学生比较容易想到 y = cos x = sin( x) ，教师要 引导学生分析，此时的图象变换比较困难，要选择比较简洁的公式.
预设：通过比较进行选择．从数的角度和操作性上，可以选择诱 导公式 cos x = sin(x + ) ，得：y = cos x = sin(x + ) ，x e R ．而 函数 y = sin(x + ) ， x e R 的图象可以通过正弦函数 y = sin x ， x e R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以将正弦函数的图 象向左平移个单位长度，就能得到余弦函数的图象. 教师指出：余弦函数 y = cos x ， x e R 的图象叫余弦曲线，它 是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形 ”曲线. 追问 3：你能利用点的坐标，解释这种平移变换吗？ 预 设 ： 设 函 数 y = sin x 图 象 上 任 意 一 点 为 (m, n) ， 即 sin m = n ．则在函数 y = sin(x + ) 上，当x + = m ，即 x = m 一 时 ， 函 数值 也 为 n ， 所 以 函 数 y = sin(x + ) 图 象 上有对 应 点 (m 一 , n) ，是将点 (m, n) 向左平移了个单位得到的，所以只要将
y = sin x 图象上的点向左平移 象. π 2 个单位，即可得到 y = cos x 的图
设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象得 到余弦函数的图象；增强对两个函数图象之间联系性的认识，并且通 过坐标变换加深对图象变换的理解. 问题 8：类似于“五点法 ”作正弦函数的图象，如何做出余弦函 数的简图？ 追问：根据余弦曲线的特点，你认为选取哪个区间研究比较合 理？ 师生活动：师生共同讨论，余弦曲线可以从正弦曲线平移得到， 也是周而复始的，所以也需要选取长度为 2π的区间；可以发现余弦
曲线的图象关于 y 轴对称，所以选取区间[一 π, π]比较合理. 预设：选取 (一 π, 一1) ， (一 , 0) ， (0, 1) ， ( , 0) ， (π, 一1)这五
个点为关键点.
设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法 ”.
5 分钟 （四）例题 例 1：画出下列函数的简图： （1） y = 1+ sin x ，x e [0, 2π] ； （2） y = 一 cos x ，x e [0, 2π] . 追问：你能利用函数 y = sin x ， x e [0, 2π] 的图象，通过图象 变换得到 y = 1+ sin x ， x e [0, 2π] 的图象吗？ 同样 ，利用函数 y = cos x ， x e [0, 2π] 的 图 象 ， 通 过 怎 样 的 变 换 就 能 得 到 y = 一 cos x ， x e [0, 2π] 的图象？ 设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟 练“五点法 ”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图像变换，深化 对函数图象关系的理解，并为后续的学习做好铺垫.
2 分钟 （五）小结 及作业 小结：思考下列问题： （1）我们是如何做出正弦曲线、余弦曲线的？ （2）如何用“五点法 ”做出正弦函数、余弦函数的简图？ （3）做函数图象有哪些基本方法？ 布置作业：教科书第 200 页练习 1 、2 、3 题.