5.4.2正弦函数，余弦函数的性质应用_教学设计（表格式）

教学设计
课题 正弦函数 、 余弦函数的性质应用
教学目标
教学目标： 1. 利用正弦函数和余弦函数的图象及性质解决相关的问题； 2.在利用正弦函数和余弦函数的图象及性质解决相关问题的过程中体会换元的方法; 3.通过解决相关应用问题 ，提升代数推理的能力， 培养数学运算和数学推理的素养. 教学重点： 正弦函数和余弦函数的性质的应用. 教学难点： 理解正弦函数和余弦函数的性质.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
5 分 钟 引入 前面我们学习了正弦函数 ，余弦函数的图象及性质， 具体研究了 函数的周期性 、 单调性 、 最值， 本节课我们将利用正余弦函数的图象 及性质解决相关的应用问题.
15 分 钟 （ 一） 例题 例 1 求下列函数的周期： (1) y = 3sin x, x R ； （ 2 ） y = cos 2x, x R ； （3） y = 2sin（ x - ）, x R. 解：（1 ） "x R ， 有 3sin(x+2p)=3sin x. 由周期函数的定义可知 ，原函数的周期为 2p . （2 ）令 z=2x ， 由 x R 得z R ， 且 y = cosz 的周期为 2p ，
即 cos(z+2π)= cosz， 于是 cos(2x+2π)=cos 2x， 所以 cos 2(x+π)=cos 2x，x R. 由周期函数的定义可知 ，原函数的周期为 π . （3 ）令 z= x - ，由 x R 得z R ，且 y = 2sin z 的周期为 2π , 即 2sin(z+2π)=2sin z， 于是 2 sin( x - +2π)=2 sin( x - )， 所以 2sin[(x+4π) - ]=2sin( x - ). 由周期函数的定义可知 ，原函数的周期为 4π . 追问 ：解答完成之后思考， 求解的依据是什么？ 据此求解的步骤 是什么？ 这些函数的周期与解析式中哪些量有关？ 师生活动 ：对于这些问题， 学生能够求出周期 ，但是不清楚如何 规范地表达， 这是本例的难点所在 ，教师要基于学生课堂上的生成， 给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解.对于周期问 题, 求解的步骤如下： (
”
)第 一 步， 先用换元法转换. 比如对于“（2 ） y = cos 2x, x R ， 令 2 x=t， 所以 y = f(x) = cos 2x = cost ； 第 二 步， 利用已知三角函数的周期找关系.有 cos（2π+t）= cos t ， 代入可得 cos（2π+2x）= cos 2x ； 第三步， 根据定义变形. 变形可得cos 2(π+x）= cos 2x ， 于是就 有 f(x+π) = f(x) ； 第四步 ，确定结论.根据定义可知其周期为π .
周 期 与 自 变 量 的 系 数 有 关 . 仿 照 上 述 分 析 过 程 可 得 函 数 y = Asin(负x +Q) 的周期为T = . 一般地，如果函数 y = f(x) 的周期是T ，那么函数 y = f(负x) 的 周期是 . 设计意图 ：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解 ，形成 求解的具体步骤， 进而帮助学生理解函数 y = Asin(负x +Q) 的周期， 为后续学习做准备. 例 2 下列函数有最大值 、 最小值吗？如果有， 请写出取最大值、 最小值时自变量 x 的集合， 并求出最大值 、 最小值. （ 1 ） y = cos x +1, x eR ; （ 2 ） y = 一3sin 2x, x eR . 解： 容易知道， 这两个函数都有最大值 、 最小值. （ 1 ） 使函数 y = cos x +1, x eR 取得最大值的 x 的集合， 就是 使函数 y = cos x 取得最大值的 x 的集合 {x | x = 2kπ, k eZ} ； 使函数 y = cos x +1, x eR 取得最小值的 x 的集合， 就是使函数 y = cos x, x eR 取得最小值的 x 的集合 {x | x = (2k+1)π, k eZ} . 函数 y = cos x +1, x eR 的最大值是 1+1=2； 最小值是- 1+1=0. （2 ）令 z = 2x ，使函数 y = 一3sin z, z eR 取得最大值的 z 的集 合， 就是使 y = sin z, z eR 取得最小值的 z 的集合 {z | z = 一 + 2kπ, k eZ} . 由 2x = z = 一 + 2kπ, 得 x = 一 + kπ. 所以 ，使函数 y = 一3sin 2x, x eR ， 取得最大值的 x 的集合是
{x | x = - + kp, k Z} . 同理 ，使函数 y = -3sin 2x, x R 取得最小值的 x 的集合是 {x | x = + kp, k Z} . 函数 y = -3sin 2x, x R 的最大值是 3， 最小值是-3. 师生活动： 学生先独立完成， 然后展示交流解题思路和结果， 学生点明换元法及其重要作用. 本例中， 对于（ 1）， 因为 1 是确定值， 因此问题转化为求 y = cos x 的最值； 对于（ 2 ） 令 2x=t ， 转化为求 y = -3sin t 的最值. 设计意图： 巩固对最值概念的理解 ，初步感受换元法在求解三角 函数问题中的作用. 例 3 不通过求值， 比较下列各组数的大小： （ 1）sin（- ）与 sin（- ）； （ 2）cos（- ）与 cos（- ）. 解：（ 1 ） 因为 - <- < - < 0, 正弦函数 y = sin x 在区间[- , 0] 上单调递增， 所以 sin(- ) > sin(- ). （2 ） cos(- )= cos =cos(4p+)=cos， cos(- )= cos =cos(4p+)=cos .
因 为 0< 3p < 5 < p, 且 函 数 y = cos x 在 区 间 [0，p] 上 单 调 递
减， 所以 cos > cos , 即 cos(- ) > cos(- ). 师生活动： 学生独立完成，教师进行指导. 本例中 ，对于（ 1），可 直接应用函数的单调性求解； 对于（ 2）， 首先要将所给的角化简 ，使 之位于同 一 个单调区间内， 即转化为第（ 1 ）题之后求解.
设计意图 ：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题 例 4 求函数 y = sin( x+)， x e[ 一 2π ,2π] 的单调递增区间. 分析 ：令 z = x+ ， x e[ 一 2π ,2π]， 当自变量 x 的值增大时， z 的值也随之增大， 因此若函数 y = sin z 在某个区间上单调递增， 则 函数 y = sin( x+)在相应的区间上也 一 定单调递增. 解： 令 z = x+ ， x e[ 一 2π ,2π]， 则 z e [ 一 π , π] . 因为 y = sin z ， z e [ 一 π , π] 的单调递增区间是[ 一 ，] ， 且由 一 < x+ < ， 得 一 < x < . 所以， 函数 y = sin( x+)的单调增区间为[ 一 ，] . 师生活动：师生共同分析此问题 ，然后共同完成求解. 本题中，令
1 π z = x+ 2 3 , x e[ 一 2π ,2π]， 当自变量 x 的值增大时，z 的值也随之
增 大 ， 因 此 若 函 数 y = sin z 在 某 个 区 间 上 的 单调 递 增 ， 则 函 数 y = sin( x+)在相应区间上也 一 定单调递增. 在解题完成后 ，教师可进 一 步提出此问题的变式问题： 求函数 y = sin( - x)的单调递增区间. 此辨识问题让学生独立完成， 可能 会有 一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分 析. 设计意图： 类比例 3 求解， 进 一 步熟悉换元转化的思想方法； 通 过变换自变量系数的符号 ，提高学生思维的深刻性 ，提升学生的逻辑 推理和数学运算素养.
（ 二） 梳理总结
（三） 拓展研究 思考 你能求出函数 y = sin(- x+)， x [ - 2p，2p] 的单调 递增区间吗？
（ 四） 布置作业 教科书习题 5.4 第 1 ，2 ，3 ，4 ，5， 12， 16， 18， 19 题.