吉林省松原市前郭蒙中2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

松原市前郭蒙中2023-2024学年高二上学期11月期中考试
（数学）试卷
考试时间：120分钟
一、单选题（每题5分，共8小题）
1、若过两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．1
2、圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
3、过点且斜率为的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
4、已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A．12 B． C．4 D．13
5、已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6、若直线，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则为（ ）
A． B． C． D．
7、若直线和直线平行，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
8、数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线成为欧拉线；已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共4小题）
9、下列说法正确的是（ ）
A．已知点，动点满足，则点的轨迹是椭圆
B．已知点，动点满足，则点的轨迹是椭圆
C．已知点，动点满足，则点的轨迹是椭圆
D．已知点，动点满足，则点的轨迹是椭圆
10、下列说法错误的是：（ ）
A．直线恒过定点．
B．直线在轴上的截距为
C．过点和的直线可以用两点式方程来表示
D．如果两条直线垂直，则他们的斜率之积一定为
11、已知直线和圆相切，那么的值可以是（ ）
A．5 B．4
C．3 D．
12、如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．当点在中点时，直线平面；
B．直线到平面的距离是
C．存在点，使得
D．面积的最小值是
三、填空题（每题5分，共4小题）
13、设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是______；______
14、已知点，则______．______
15、已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，则____________
16、已知正方形的边长为平面分别是的中点，则点到平面的距离为______
四、解答题（共6小题）
17、（10分）（1）求原点到直线的距离。
（2）已知直线，求直线之间的距离。
18、（12分）（1）设两条异面直线的方向向量分别为，求直线与直线所成的角的大小。
（2）设直线的方向向量为，平面的法向量为，求直线与平面所成角的正弦值。
19、（12分）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦的长．
20、（12分）已知空间四边形中，，求的值。
21、（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是的中点．
（1）．证明：平面；
（2）．求二面角的正弦值．
22．（12分）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点．
（1）．若为等边三角形，求的离心率；
（2）．如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值和的取值范围．
试题答案
1-8题CBBDDBAA
9-12题AD BCD CD AC
13．； 14．； 15、 16、
17、（1）解析：根据点到直线的距离公式，得故答案为：．
（2）由题可得，，所以这两条直线之间的距离．
18、（1）设直线与所成的角为，则，
又，故．
（2）设直线与平面所成角的正弦值为．
，
19．解：设，由椭圆方程，知右焦点，
已知直线斜率为1，则直线方程．
把代入，整理得
设，则是上述方程的两根，
．
．
20、【解答】 解：，
21：（1）．连结．
因为分别为的中点，所以，且．
又因为为的中点，且，
且
由题设知，可得，故，
因此四边形为平行四边形，．
又平面，所以平面．
（2）．由已知可得．
以为坐标原点，的方向为轴由正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设为平面的法向量，则，
所以可取．
设为平面的法向量，则
所以可取．
于是，
所以二面角的正弦值为．
22．（1）．连结，由为等边三角形可知在中，，，于是，故的离心率是．
（2）．由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，，即，①，②③
由②③及得，又由①知，故．
由②③得，所以，从而，故．
当时，存在满足条件的点．所以的取值范围为．