上海市复旦附高2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

上海市复旦附高2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1.已知复数 (i是虚数单位)，则z的虚部是 .
2.已知3sinα=cosα,则tan(π-α)的值是 .
3.已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的
数值是 .
4.已知两点P(3,4),Q(-5,6),则以线段PQ为直径的圆的标准方程是 .
5.已知向量则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
6 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于 .
7.齐王与田忌赛马， 田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马； 田忌的中等马优于齐王的下等马，
劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现各从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，
则田忌的马获胜的概率为 .
8.已知一组数据: 10, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 记这组数据的第60百分位数为a, 众数为b,
则a和b的大小关系是 . (用“<”,“>”,“=”连接)
9.已知函数f(x)=3sinx+2cosx, 当f(x)取得最大值时,= .
10.已知 则abc的值为 .
11. 如图在△ABC中, AB=2,AC=5,∠BAC=60°,边BC、 AC上的中线AM、 BN相交于点P,则cos∠MPN= .
l2.已知函数 若有且仅有一个正整数 使得不等式
成立， 则实数a的取值范围是 .
二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)
13. 设ab>0, 则“a>b”是 的 ( ) .
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
14. 定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x), 如果对于任意给定的非常数等比数列{an},{f(an)}仍是
等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是( ) .
B. f(x)=2x+1 D. f(x)=log |x|
15.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，
捕影而视之， 空正掩目，而日应空之孔.”意为：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长t是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，
则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，
O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为 ( ) .
16. 已知F 、F 是椭圆的左、右焦点，Q是Γ上一动点，记
若则的值为( ) .
三、解答题(本题共5道题，满分78分)
17. (本题满分14分,第1题 6分, 第2题8分)
如图，长方体的底面ABCD是正方形, 点E在棱AA 上, BE⊥EC .
(1)证明: BE⊥平面EB C ;(2)若AA =2,AB=1, 求四棱锥的体积.
(本题满分14分,第1题6分,第2题8分)
已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
(1)已知判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
(2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列.
19. (本题满分14分,第1题6分, 第2题8分)
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的
麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD的麦田里成为守望者.如图所示， 为了分割麦田，他将B、D连接,经测量知AB=BC=CD=1,AD=2.
(1) 霍尔顿发现无论BD多长，2cosA-cosC都为一个定值. 请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2) 霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系. 记△ABD与的面积
分别为S 和S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
20.(本题满分18分,第1题4分, 第2题6分,第3小题满分8分)
已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线l与Γ交于M,N两点.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若 且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；
(3)若其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.
21. (本题满分18分,第1题4分,第2题6分,第3小题满分8分)
已知函数其中λ为实数.
(1)若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；
(2)若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；(3)记g(x)=h(x)-λx,
若p,q(p上海市复旦附高2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题解析 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1. 2. 3.0.015 4.=17 5. 6.
7. 8.= 9. 10. 11. 12.
10. 【详解】得 ,
由得所以
所以 1；即
即所以 或 故答案为：10或
11.【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得到
各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】依题意，以A为原点，AC所在直线为x轴，
过A作AC的垂线为y轴，如图所示，因为
所以
则
即为向量与的夹角，则
,
则故答案为：
【详解】函数
有且仅有一个正整数使得不等式 成立，
恒成立，
由②-①且③-②得： 恒成立，
恒成立,.
二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)
C 14.A 15.B 16.A
14.A.【分析】根据等比数列的定义及函数的性质计算即可一一选定.
【详解】不妨设的公比为即；对于A项， 仍是常数，即B项
符合题意；对于B项，由题意可得 ，因为an非常数，则
非常数，故非常数，即B项不符合题意；对于C项，,同B项可知，该比值非常数，即C项不符合题意；对于D项， ，同B项
可知，该比值非常数，即D项不符合题意.故选: A.
A.【详解】中由勾股定理得：===即= ,
= === ,
又，6=4 ,
,=, c=a=,
解答题(本题共5道题，满分78分)
(1)证明：由长方体的性质可知，平面
∴⊥平面E .
(2)取棱的中点F, 连接EF、则
由(1)知, 由题设可知，
∵在长方体 中, 平面
∴点E到平面的距离
∴四棱锥的体积
18.(1)对于任意仍为数列 中的项，则称数列为“回归数列”.
己知则
显然 不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”.
(2)由题意知:必存在使得：由题意可知：
故因此 即:
整理得：则数列为等差数列.
19.【详解】(1)在中,
在中, , 则为定值.
(2)
因为设则,
所以，当时, 取得最大值即 时, 的最大值为.
20.【详解】(1)由题意得解得:∴椭圆C的标准方程为
(2)设直线l的方程为代入椭圆的方程 消去y得：
，,
=-2代入①和②得： 得：=-2，解得：;
(2)设直线l的方程为 代入椭圆的方程 消去y得：
由解得
= ③
把①和②代入③得：=4,④又
+=16,,,
④中当且仅当即时，等号成立，的面积的最大值为
已知函数其中λ为实数.
(1)若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；
(2)若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；(3)记g(x)=h(x)-λx,
若p,q(p【详解】(1)易得定义域为， -=,① 当且仅当0时，恒成立，
y=h(x)是定义域上的单调递增函数，符合题意；
而当0时，恒正，也不恒负，即y=h(x)不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；
所以，由题意得:实数λ的取值范围为；
(2)函数y=h(x)有两个不同的零点，y=h(x)不是定义域上的单调函数，即0；
由①得：y=h(x)在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，
函数y=h(x)有两个不同的零点=;
(3)p,q(pp,q(0p又，===
又==,
= - =,在p上为单调递增函数，
=.