秘密★启用前
金成实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
答卷注意事项：
学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。
填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。
答题时字迹要清楚、工整
本卷共22小题，总分为150分。
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1.直线x+y+m=0(m∈R)的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
2．已知点，，且满足，则点Q的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
3．过点，斜率是直线的斜率的的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为,则实数a的值为( )
A.0 B.4 C.-2 D.0或4
5．已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到点A(－1,0)，B(1,0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为( )
A．2－ B.－ C．2 D.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知圆，直线，则（ ）
A．圆心坐标为 B．圆的半径为3
C．直线与圆相交 D．圆上的点到直线的距离最大值为
10．已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（ ）
A． B．
C．的模为5 D．向量与的夹角为
11．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于
C．当最小时， D．当最大时，
12．瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到直线的最小距离为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则______．
14、如下（左）图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为_____________m.
15．如上（右）图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则______.
16．过点作圆的两条切线，切点分别为，则= .
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题10分，第18-22题每题12分）
17．(10分)在中，已知，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
18.(12分)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且 ,若直线m与直线l关于点(1,0)对称,求直线m的方程.
(注:试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按照第一个解答计分.)
①与直线3x+2y+8=0垂直;②在y轴上的截距为.
19.(12分)已知点A(2,1),直线l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R).不论a取何值,直线l过定点P.
(1)求点P的坐标,及点A(2,1)到直线l距离的最大值;
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.
20．(12分)已知圆与圆相交于A，B两点.
（1）求直线的方程；
（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；
（3）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程.
21．(12分)在正四棱柱中，，为的中点.
（1）求直线与平面所成的角；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求点B到平面的距离.
22．(12分)如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
(1)证明：平面；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
参考答案 C A A D D C B A
二、多选题
题号 9 10 11 12
参考答案 BCD ABD ACD ACD
三、填空题
13、7 14、 2 51 15、0 16 3、
2
四、解答题
17（10 分）
解：（1） B(5, 2)，C(3,5)，
y ( 2) x 5
边 BC所在的直线方程为 7x 2y 31 05 ( 2) 3 5 ，即 ；
（2）设 B到 AC的距离为d ，
S 1则 ABC AC ·d，2
| AC | (3 0) 2 (5 1) 2 5 ，
AC y 1 x 0方程为： 即： 4x 3y 3 05 1 3 0
d | 5 4 3 ( 2) 3 | 29
42 ( 3)2 5 .
S 1 29 29 ABC 5 .2 5 2
18.(12分)
. 2 + 3 + 8 = 0, = -1,解：因为方程组 - -1 = 0 的解为 = -2,
所以两条直线 2x+3y+8=0和 x-y-1=0的交点为(-1,-2).
若选①,可设直线 l的方程为 2x-3y+c=0,
将点(-1,-2)代入方程 2x-3y+c=0,可得-2+6+c=0,解得 c=-4,
即有直线 l的方程为 2x-3y-4=0.
在直线 l上取两点(-1,-2)和(2,0),
点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2),
点(2,0)关于点(1,0)对称的点坐标为(0,0),
{#{QQABJYSUggCIABAAAAhCQwHyCkKQkBCCAKoOBEAMMAABgQNABAA=}#}
所以直线 m的方程为 2x-3y=0.
1-(-2)
, 5若选②可得直线 l的斜率为 k=2 = ,
0-(-1) 2
5 1
所以直线 l的方程为 y= x+ .
2 2
在直线 l上取两点(1,3)和(-1,-2),
点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2),
点(1,3)关于点(1,0)对称的点坐标为(1,-3),
所以直线 m的方程为 5x-2y-11=0.
19.（12 分）
解(1)直线 l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R),化为 a(x+1)+(-x+y+2)=0,
+ 1 = 0, = -1,
由 - + + 2 = 0,解得 = -3.
∴不论 a取何值,直线 l恒过定点 P(-1,-3).
分析易知点 A(2,1)到直线 l的距离的最大值|PA|= 9 + 16=5.
(2)令 y=0, - -2则 x= (a≠1),令 x=0,则 y=-a-2, - -2由题意可知 =-a-2,
-1 -1
解得 a=±2.
当 a=1时,易知不满足条件,所以 a=±2
20.（12分）
x2 y2 2x 2y 8 0
解：（1）由 2 2 x 2y 4 0．
x y 2x 10y 24 0
圆C 21 : x y
2 2x 2y 8 0 与圆C 2 22 : x y 2x 10y 24 0 的公共弦 AB所在的直线
方程为 x 2y 4 0；
（2）以 AB为直径的圆即为面积最小的圆
由 A( 4,0)， B(0, 2)，
则 AB中点为 ( 2,1)，
1 | AB | 1 ( 4 0)2 (0 2)2 5
2 2 ．
经过 A、 B两点且面积最小的圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5．
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（3）由（1）得 x 2y 4，代入 x2 y2 2x 2y 8 0中得， y2 2y 0，
x 4 x 0
或 ，即 A( 4,0)， B(0, 2)y 0 y 2 ，
又圆心在直线 y x上，
设圆心为M (x, x)，则 |MA | |MB |， |MA |2 |MB |2 ，
即 (x 4)2 ( x)2 x2 ( x 2)2，解得 x 3．
圆心M ( 3,3)，半径 |MA | 10．
圆心在直线 y x上，且经过 A、 B两点的圆的方程为 (x 3)2 (y 3)2 10 ．
21.（12分）
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系.
A 2,0,0 ，C 0,2,0 ，B 2,2,0 ， P 1,2,1 .
AC 2,2,0 ， AB 0,2,0 ， AP 1,2,1
设平面 ABP的法向量m x, y, z ，
m AB 0 2y 0
则 ，化为 ，
m AP 0 x 2 y z 0
令 x 1，解得 y 0， z 1.∴m 1,0,1 .
设直线 AC与平面 ABP所成的角为θ，则
sin cos m, AC |m A C |
2
1 ，
|m || AC | 2 8 2
∴直线与 AC与平面 ABP所成的角为 30°.
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（2） BP 1,0,1 ，∴cos AC,BP A C B P
2
1
| AC || BP | 8 2 2
∴异面直线 AC与 BP所成的角为 60°.
（3）设平面 APC的法向量 n x0 , y0 , z0 ，
n AP 0 x0 2y0 z0 0
则 ，∴ x 1 y 1 z 1
n AC 0 2x0 2y 0
，令 0 ，解得 0 ， 0 .
0
∴n
1,1, 1 .
B APC d | n AB | 2 2 3∴点 到平面 的距离
| n
.
| 3 3
22.（12分）
(1)
证明：如图，连接 AE，由题意知 AB为 O的直径，所以 AE BE．因为 AD,EF 是
圆柱的母线，
所以 AD∥EF 且 AD EF，所以四边形 AEFD是平行四边形．
所以 AE / /DF ，所以BE DF．因为 EF是圆柱的母线，所以 EF 平面 ABE，
又因为 BE 平面 ABE，所以EF BE．又因为DF EF F ，
DF、EF 平面DEF，所以BE 平面DEF．
(2)
由（1）知 BE是三棱锥 B DEF底面DEF 上的高，由（1）知
EF AE, AE∥DF，所以 EF DF，即底面三角形DEF是直角三
{#{QQABJYSUggCIABAAAAhCQwHyCkKQkBCCAKoOBEAMMAABgQNABAA=}#}
角形．设DF AE x,BE y，则
在Rt△ABE中有： x2 y2 6，
1 1 1 6 6 x2 y2 6
所以VB DEF S DEF BE x 6 y xy ，3 3 2 6 6 2 2
当且仅当 x y 3时等号成立，即点 E，F分别是 AB，C D的中点时，三棱
锥 B DEF的体积最大，
1
（另解：等积转化法：VB DEF VD BEF VD BCF VB CDF S3 CDF
BC
易得当 F与CD距离最远时取到最大值，此时 E、F分别为 AB、C D中点）
下面求二面角B DF E的正弦值：
法一：由（1）得BE 平面DEF，因为DF 平面DEF，所以BE DF．
又因为EF DF ,EF BE E ，所以DF 平面 BEF．
因为 BF 平面 BEF，所以 BF DF，所以 BFE是二面角B DF E的平面角，
由（1）知 BEF 为直角三角形，则 BF ( 3)2 ( 6)2 3．
BE 3
故sin BFE ，所以二面角B DF E 3的正弦值为 ．
BF 3 3
法二：由（1）知 EA,EB,EF两两相互垂直，
如图，以点 E为原点， EA,EB,EF所在直线
为 x，y，z轴建立空间直角坐标系 E xyz，
则B(0, 3,0),D( 3,0, 6),E(0,0,0),F(0,0, 6)．
由（1）知BE 平面DEF，故平面DEF的法向量可取为 EB (0, 3,0)．
设平面 BDF的法向量为 n (x, y, z)，
{#{QQABJYSUggCIABAAAAhCQwHyCkKQkBCCAKoOBEAMMAABgQNABAA=}#}
由DF ( 3,0,0),BF (0, 3, 6)，
n DF 0 3x 0 x 0 z 1 n 得 ，即 ，即 ，取 ，得 (0, 2,1)．
n BF 0 3y 6z 0 y 2z
设二面角B DF E的平面角为 ，
| cos | cos n ,EB | | n E B | 2 3 6 ∣
| n
，
| | EB | 3 3 3
3
所以二面角B DF E的正弦值为
3
{#{QQABJYSUggCIABAAAAhCQwHyCkKQkBCCAKoOBEAMMAABgQNABAA=}#}
