2023-2024学年第一学期甘肃省武威市凉州区九年级数学 第21章一元二次方程单元测试卷（一）（含解析）

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2023-2024学年第一学期甘肃省武威市凉州区九年级数学第21章一元二次方程单元测试卷（一）
一、选择题
1．下列方程，哪个是关于 的一元二次方程（　　）
A． B．
C． D．
2．方程 =9的根是（　　）
A．x=3 B．x=-3
C． =3， =-3 D． = =3
3．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
4．一元二次方程2x2-2 x+3=0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．24或8 C．48 D．8
6．设 是方程 的两个实数根，则 的值为（　　）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
7．已知m，n是方程x2＋2 x＋1＝0的两根，则代数式 的值为 （　　）
A．9 B．4 C．3 D．5
8．关于x的方程 的两个实数根同号，则a的取值范围是（　　）
A． B．a＞0 C．a≥0 D．a≤1
9．下列计算正确的是（　　）
A．a4 a3=a12 B．
C． D．若x2=x，则x=1
10．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（　　）
A． B．x（x﹣1）=90
C． D．x（x+1）=90
二、填空题
11． 是关于 的一元二次方程，则 的值是　 　.
12．如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝　 　；
13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则 的值是　 　．
14．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是　 　．
15．若分式 的值为零，则x=　 　．
16．如果一个三角形的三边均满足方程 ，则此三角形的面积是　 　.
17．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n=　 　．
18．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为　 　
三、计算题
19．按指定的方法解下列方程：
（1）2x2-5x-4=0（配方法）；
（2）3（x-2）+x2-2x=0（因式分解法）；
（3）（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2）（公式法）．
四、解答题
20．已知 且a，b，c均为实数，求方程 的根.
21．判断关于 的方程 根的情况，并说明理由.
22．先化简，再求值： ，其中a是方程x2+x﹣3=0的解.
23．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
24．若（m+1） +6-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
26．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0.
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A中a的值未知，故不符合题意；
B是关于y的一元二次方程，故不符合题意‘
C是关于x的一元二次方程，故符合题意；
D中最高次幂为1，故不符合要求；
故答案为：C.
【分析】一元二次方程的一般形式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），据此判断.
2．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x=±3，∴ x1=3 ， x2= 3
故答案为：C
【分析】观察方程的特点：缺一次项，由此利用直接开平方法解此方程。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，另一根为a，
∴﹣1+a＝4，
解得：a＝5，
则另一根为5.
故答案为：D.
【分析】由题意把x=-1代入方程可得关于m的方程，解方程可求得m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴方程的根有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 (x 6)(x 10)=0，
∴x=6或x=10.
当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形，
∴高
当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形，
∴S=24或 .
故答案为：B
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，利用三角形三边关系定理可得出第三边的长是6或10，然后根据三角形的形状，利用三角形的面积公式求解。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵∴ =.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出然后将代数式通分后再将分子利用完全平方公式的恒等变形变形后整体代入，按有理数的混合运算法则即可算出答案.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意得m+n=-2 ，mn=1，
.
所以选C.
【分析】由题意，根据一元二次方程的根与系数的关系可得m+n==-2 ，mn==1，再将两根之和与两根之积代入所求代数式即可求解。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于x的方程 的两个实数根同号，∴ 且 ，∴ ．
【分析】注意一元二次方程有两个同号的实数根必须同时满足△≥0．
9．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二次根式的性质与化简；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、a4 a3=a（4+3）=a7．不符合题意；
B、 = =|3|=3，符合题意；
C、∵x2+1≠0，∴（x2+1）0=1．不符合题意；
D、由题意知，x2﹣x=x（x﹣1）=0，则x=0或x=1．不符合题意．
故答案为：B
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用二次根式的性质，可对B作出判断；利用不等于0的数的0次幂等于1，可对C作出判断；根据一元二次方程的解法，可对D作出判断，继而可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设某一小组共有x个队，
那么每个队要比赛的场数为x﹣1；
则共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90．
故答案为：B
【分析】设某一小组共有x个队，则每个队要比赛的场数为x﹣1，根据每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，该小组共赛了90场，列方程即可。
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴a2-2=2，a-2≠0，
解得：a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的概念可得a2-2=2且a-2≠0，求解即可.
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2-3x+m=0得1-3+m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】把x=1代入方程x2-3x+m=0中，求出m值.
13．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣1， =2x1+1， =2x2+1，
∴ = + = = = =6．
故答案为：6
【分析】根据一元二次方程根与系数，分别求出x1+x2，x1x2， x12 ， x22的值 ，再将已知分式通分转化为用含x1+x2，x1x2的式子表示，然后代入求值。
14．【答案】a＞0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，
∴△=﹣4a＜0，
解得：a＞0，
故答案为：a＞0
【分析】根据原方程没有实数根可得出b2-4ac＜0，建立关于a的不等式，即可解答。
15．【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得x2﹣x﹣2=0，解得x=2或﹣1，
∵x+1≠0，即x≠﹣1
∴x=2
【分析】根据分式值为0的条件是：分子＝0且分母≠0，可得出x2﹣x﹣2=0且x+1≠0，再利用因式分解法求出此方程的根，可求解。
16．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得
∴∵一个三角形的三边均满足方程
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积= °=
故答案是：
【分析】先利用直接开平方法求出方程的解，再根据三角形的三边满足此方程的根，可证得此三角形是等边三角形，求出三角形的高，然后利用三角形的面积公式，可解答。
17．【答案】1或﹣6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6
移项去括号得x2+5x﹣6=0
因式分解得（x+6）（x﹣1）=0
解得x=1或﹣6
即m+n=1或﹣6．
【分析】求m+n时可把m+n看作一个整体x，利用因式分解法求解即可．
18．【答案】20×（1+x）2=25
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】∵2007年用于绿化的投资20万元，这两年绿化投资的平均增长率为x，
∴2008年的绿化投资为20×（1+x），
∴2009年的绿化投资为20×（1+x）×（1+x）=20×（1+x）2，
∴可列方程为20×（1+x）2=25．
故答案为：20×（1+x）2=25．
【分析】2009年绿化投资=2007年的绿化投资×（1+两年绿化投资的平均增长率）2，把相关数值代入进行求解．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b，得到2009年绿化投资的等量关系是解决此题的关键．
19．【答案】（1）解：∵2x2-5x-4=0，
∴2x2-5x=4，
∴x2- x=2，
∴x2- x+16 =2+ ，
∴（x- ）2= ，
解得：x1= ，x2=
（2）解：∵3（x-2）+x2-2x=0，
∴3（x-2）+x（x-2）=0，
∴（x-2）（3+x）=0，
即x-2=0或3+x=0，
解得：x1=2，x2=-3
（3）解：∵（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2），
∴（a2-b2）x2-4abx-（a2-b2）=0，
∴a=a2-b2，b=-4ab，c=-（a2-b2）=b2-a2，
∴△=b2-4ac=（-4ab）2-4×（a2-b2）（b2-a2）=4（a2+b2）2，
∴x= = ，
解得：x1= = ，x2=-
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法---配方法的步骤：将二次项系数华为1、系数移到等号的右边、方程两边加一次项系数一半的平方、两边开平方即可求解；
（2）观察方程的项，可提取公因式（x-2）即可将左边分解因式求解；
（3）先将方程化为一般形式：，再将a、b、c的值代入公式即可求解。
20．【答案】解：∵ ，
∴a﹣2=0，b+1=0，c+3=0，
解得：a=2，b=﹣1，c=﹣3，
∴方程为2x2﹣x﹣3=0，即（2x﹣3）（x+1）=0，
解得：x1= ，x2=﹣1，
∴方程为2x2﹣x﹣3=0的根为x1= ，x2=﹣1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；非负数之和为0
【解析】【分析】根据非负数之和为0，则每一个数都等于0可得a-2=0，b+1=0，c+3=0，求出a、b、c的值，然后代入可得关于x的一元二次方程，利用因式分解法求解即可.
21．【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：
方程整理为一般式得 ，
∵ ，
而4p2≥0，
∴1+4p2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先将方程化为一般形式，再求出判别式△的值，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0）”中△＞0时，方程有两个不相等的实数根，△=0时，方程有两个相等的实数根，△＜0时，方程没有实数根，据此判断即可.
22．【答案】解：
=
=
=
=
∵a是方程x2+x﹣3=0的解，
∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3，
∴原式= .
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】首先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简，由a是方程的解可得a2+a=3，然后代入进行计算.
23．【答案】解：设方程的另一根为x2，则﹣1+x2=﹣1，解得x2=0．把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设方程的另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1+x2=﹣1，解得x2=0；根据方程根的定义，将x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得出一个关于m的方程，求解得出m的值。
24．【答案】解：根据题意得： ，解得m=1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项，因此x的系数≠0且x的次数=2，即可解答。
25．【答案】解：∵100×30=3000＜3150，
∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意；
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．
答：共有35名同学参加了研学游活动
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，列出方程，然后求解即可得出答案．
26．【答案】（1）解：根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9；
（2）解：根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m.
∵x1+x2﹣2x1x2=0，∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，解得：m=3（符合题意），即m的值为3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知一元二次方程有两个实数根，可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可；
（2）利用一元二次方程根与系数可知x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，结合已知条件可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：91分
分值分布 客观题（占比） 26.0(28.6%)
主观题（占比） 65.0(71.4%)
题量分布 客观题（占比） 13(50.0%)
主观题（占比） 13(50.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(38.5%) 20.0(22.0%)
填空题 8(30.8%) 16.0(17.6%)
解答题 7(26.9%) 40.0(44.0%)
计算题 1(3.8%) 15.0(16.5%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (73.1%)
2 容易 (26.9%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 一元二次方程的根与系数的关系 23.0(25.3%) 6,7,8,13,23,26
2 二次根式的性质与化简 2.0(2.2%) 9
3 换元法解一元二次方程 2.0(2.2%) 17
4 配方法解一元二次方程 15.0(16.5%) 19
5 非负数之和为0 5.0(5.5%) 20
6 直接开平方法解一元二次方程 4.0(4.4%) 2,16
7 公式法解一元二次方程 15.0(16.5%) 19
8 分式的化简求值 5.0(5.5%) 22
9 一元二次方程的定义及相关的量 9.0(9.9%) 1,11,24
10 一元二次方程根的判别式及应用 19.0(20.9%) 4,14,21,26
11 一元二次方程的根 14.0(15.4%) 3,12,22,23
12 一元二次方程的其他应用 9.0(9.9%) 10,18,25
13 因式分解法解一元二次方程 28.0(30.8%) 5,9,15,17,19,20
14 零指数幂 2.0(2.2%) 9
15 同底数幂的乘法 2.0(2.2%) 9
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