2023-2024学年第一学期甘肃省武威市凉州区九年级数学第22章二次函数单元测试题人教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年第一学期甘肃省武威市凉州区九年级数学第22章二次函数单元测试题人教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 920.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-16 16:41:22 | ||
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文档简介
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2023-2024学年第一学期甘肃省武威市凉州区九年级数学第22章二次函数单元测试题人教版
一、选择题
1． 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）．
A．y=ax2+bx+c B．y2-x+2=0 C．x2+y+2=0 D．x2-y2+1=0
2．二次函数y=x2-2x+3的图象的对称轴是（ ）．
A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2
3．已知抛物线y=x2-mx-m2+1过原点，则m为（ ）．
A．0 B．1 C．-1 D．±1
4．二次函数的部分图象如图所示，且关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ）.
A．1 B．-1 C．-2 D．0
5．赵州桥的桥拱近似为抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为，当水面离桥拱顶的高度DO为时，水面宽度AB为（ ）.
A．-10m B． C． D．
6．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象开口向下，则反比例函数y=的图象经过（ ）．
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
7．二次函数的图像大致是（ ）.
A． B．
C． D．
8．下列说法错误的是（ ）．
A．抛物线y=-2x2+3x+1的对称轴是直线x=
B．点A(3，0)不在抛物线y=x2-2x-3上
C．抛物线y=(x+2)2-2的顶点坐标是(-2，-2)
D．函数y=2x2+4x-3的图象的最低点是(-1，-5)
9．函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则 的方程 的实数根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．已知点 ， 均在抛物线 上，则 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若函数为二次函数，则m的值为
12．在同一平面直角坐标系中，二次函数与的图象关于 对称.
13．函数y=2x2的图象对称轴是 ，顶点坐标是 .
14．若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a= ．
15．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ．
16．二次函数y=mx2+（m+2）x+ m+2的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 ．
17．二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1，0)、B(x2，0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是 ．
18．某超市一月份的营业额是200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，那么营业额关于月平均增长率的函数表达式为 .
三、解答题
19．已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点(0，)．求该二次函数的表达式．
20．如果函数y=（m﹣3） +mx+1是二次函数，求m的值．
21．已知抛物线的顶点在原点，以y轴为对称轴，且经过点A(- 2，8)．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．
22．用配方法把二次函数 化为 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
23．已知一抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
24．已知点M，N关于y轴对称，且点M在双曲线：y=上，点N在直线y=x+3上．设点M的坐标为(a，b)，求抛物线y=-abx2+(a+b)x的顶点坐标．
25．某景区商店销售一种商品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于16元/件.市场调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售价(元/件)之间的函数关系如图所示.
（1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
（2）求每天的销售利润(元)与销售价(元/件)之间的函数关系.每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
26．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B
（1）求a，b满足的函数关系及的值.
（2）当时，的值随的增大而增大，求的取值范圆.
（3）如图所示，当时，抛物线上是否存在点，使的面积为1 若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、其中a可能等于0，则不符合题意；
B、表示x是关于y的二次函数，则不符合题意；
C、表示y是关于x的二次函数，则符合题意；
D、该项无法变形成y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，则无法表示y是关于x的二次函数，则不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，据此逐项分析即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数为y=x2-2x+3 ，
∴该二次函数对称轴为：
∴对称轴为直线x=1.
故答案为：A.
【分析】根据一般形式的二次函数求对称轴的公式，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-mx-m2+1过原点，
∴
解得：
故答案为：D.
【分析】由抛物线经过原点可得其常数项c=0，据此建立方程可求出m的值.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设另一个根为x1，由图知：抛物线的对称轴为x=1且抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴，解得：x1=-1.
故答案为：B.
【分析】设另一个根为x1，根据抛物线的对称轴x=可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意：当y=-2时， =-2，
解得：x=，
∴AB=-（-）=m，
故答案为：D.
【分析】根据题意把y=-2代入解析式求出x值，即得A、B两点的横坐标，再求其结论即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象开口向下，
∴a＜0，
∴反比例函数y=的图象经过二、四象限.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象得出a＜0，再根据反比例函数的图象即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，故A不符合题意；
∵a=1＞0，b=2＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，故B不符合题意；
∵当y=0时，（x+1）2-2=0，
解之：，
∴抛物线与x轴的交点在原点的两侧，故C符合题意；D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0），当a＞0，开口向上；当a＜0开口向下，可对排除选项A；利用左同右异，可知抛物线的对称轴在y轴的左侧，可排除选项B；再根据抛物线与y轴的交点的位置，可对D，C作出判断.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：A、 抛物线y=-2x2+3x+1的对称轴是直线，故A不符合题意；
B、当x=3时y=9-2×3-3=0，
∴ 点A(3，0)在抛物线y=x2-2x-3上，故B符合题意；
C、 抛物线y=(x+2)2-2的顶点坐标是(-2，-2) ，故C不符合题意；
D、∵y=2x2+4x-3=2（x2+2x+1-1）-3=（x+1） 2-5，
∴函数y=2x2+4x-3的图象的最低点是(-1，-5) ，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用二次函数的对称轴为直线，可对A作出判断；将x=3代入函数解析式求出对应的y的值，可对B作出判断；利用二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），可对C作出判断；利用配方法将二次函数解析式转化为y=a（x-h）2+k（a≠0），利用二次函数的图象，可得到最低点的坐标.
9．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故答案为：A．
【分析】本题主要考察一元二次方程与二次函数的关系，把点的坐标代入解析式 ，再用直接开平方法解方程即可求得，掌握一元二次方程与二次函数的关系是突破口，正确解方程是关键。
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 开口向上，对称轴为直线 （即y轴），点 比点 到对称轴的距离近，
∴ .
故答案为：A
【分析】根据二次函数的增减性，可得出答案。
11．【答案】-1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴m=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据二次函数的定义得出，即可得出m=-1.
12．【答案】x轴
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解： 二次函数与中，
a与-a是互为相反数，
∴与的图象开口不同，但大小一样，
∴二次函数与的图象关于x轴对称 .
故答案为：x轴.
【分析】在与中，由于a与-a是互为相反数，可知与的图象开口不同，但大小一样，据此解答即可.
13．【答案】y轴；（0，0）
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴是“y轴”，顶点坐标是：（0，0）
【分析】利用y=ax2的性质，可直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标。
14．【答案】4或﹣1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，
∴ =3，
整理得出：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a1=4，a2=﹣1，
检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，
故答案为：4或﹣1．
【分析】根据顶点的纵坐标是3可得=3，解方程即可求解。
15．【答案】（3，﹣3）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点（5，﹣3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，﹣3），
∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【分析】根据二次函数的对称性，可得出 抛物线一定经过另一点是点（5，﹣3）关于直线x=4的对称点，求出此点的坐标。
16．【答案】1
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意得：y=0时，mx2+（m+2）x+ m+2=0，△=0，
∴（m+2）2﹣4×m（ m+2）=0，
整理得：4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可得列出关于m的方程即可求解。
17．【答案】（- ，- ）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-a，x1x2=a，
∴由x1+x2-x1x2=-10，得
-a-a=-10，
解得a=5，
则二次函数的解析式为：y=x2+5x+5=（x+ ）2- ，
∴抛物线的顶点坐标是（- ，- ）．
故答案为：（- ，- ）
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2，再代入建立关于a的方程，求出a的值，然后将a的值代入抛物线的解析式，就可求出其顶点坐标。
18．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)(1+x)万元，
由题意得：y=200+200(1+x)+200(1+x)(1+x)=200+200(1+x)+200(1+x)2
故答案为：y=200+200(1+x)+200(1+x)2.
【分析】根据平均增长率问题分别表示出二月份与三月份的营业额，进而根据 一月、二月、三月的营业额共 y万元列出函数解析式.
19．【答案】解：∵ 二次函数图象的顶点是(-1，2)，
∴设函数解析式为y=a（x+1）2+2，
∵ 图象过点(0，)．
∴
解之：
∴此二次函数解析式为：y= (x+1)2+2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用已知顶点坐标，因此设函数解析式为y=a（x+1）2+2，再将点(0，)代入，可求出a的值，即可得到函数解析式.
20．【答案】解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，
解得：m=0．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】由题意可知：x的最高次数=2且二次项的系数≠0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
21．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2，
∵抛物线y=ax2经过点（-2，8），
∴4a=8，
∴a=2，
∴y=2x2；
（2）解：∵点B与点A（-2，8）关于y轴对称，
∴B（2，8），
∴AB=4，△OAB中AB边上的高为8，
∴S△OAB=×4×8=16.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2，把点（-2，8）的坐标代入y=ax2，求出a的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标，从而得出AB的长和AB边上的高，再利用三角形面积公式进行计算，即可得出答案.
22．【答案】解： ，
= ，
= ，
开口向下，对称轴为直线 ，顶点
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】可根据公式y=配方；由a=-2可知，抛物线开口向下；对称轴为x=；顶点坐标为（，）.
23．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B(1，0)，
故设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
将 C(2，8) 代入解析式y=a（x+2）（x-1），得8=a（2+2）（2-1），
解得：a=2，
∴y=2（x+2）（x-1）=2x2+2x-4.
（2）解：∵，
顶点坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）设函数的表达式为：y=a（x+2）（x-1），将点C的坐标代入，即可求解；
（2）将抛物线的解析式配方成顶点式即可求解.
24．【答案】解：∵点M，N关于y轴对称，则点N的坐标为(-a ，b)．
由题意得ab=，a +b=3，
∴抛物线的解析式为
∴此抛物线的顶点坐标为(3，)．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特点可得到点N的坐标，利用函数解析式可得到ab和a+b的值，将其代入函数解析式，可得到y与x的函数解析式，将此函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
25．【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将点（10，30）及点（16，24）分别代入得
，
解得，
∴所求的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16）；
（2）解：由题意得w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225，
∵a=-1＜0，
∴当x＜25时，w随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，w最大，最大值为144.
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象给出两点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）根据总利润=单件商品的利润×每天的销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而将所得函数解析式配成顶点式，根据二次函数的性质求出x取值范围内的最大值即可.
26．【答案】（1）解：令y=x+2中的x=0得y=2，
∴B（0，2），
令y=x+2中的y=0得x=-2，
∴A（-2，0），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，
∴
∴b=2a+1，c=2；
（2）解：∵当x＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值y随x的增大而增大，
∴对称轴直线x=≥0，
而b=2a+1，
∴，
解得，
∴；
（3）解：存在，理由如下：当a=-1时，抛物线的解析式为y=-x2-x+2，
设P（x，-x2-x+2），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，则点Q（x，x+2），如图，
∴PQ=|-x2-x+2-x-2|=|-x2-2x|，
∵A（-2，0），B（0，2），
∴|xA-xB|=2，
∵S△ABP=S△APQ+S△BPQ，
∴×PQ×|xA-xB|=1，
∴PQ×2=1，
∴PQ=1，
∴|-x2-2x|=1，
即-x2-2x=1或-x2-2x=-1，
解得x=-1或x=或x=，
∴或或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别令直线y=x+2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得DianA、B的坐标，将点A、B的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c即可得出关于字母a、b、c的方程组，求解即可得出结论；
（2）由于a＜0，所以在对称轴左侧函数值y随x的增大而增大，据此可得该抛物线的对称轴直线≥0，再结合b=2a+1，求解即可得出结论；
（3）设P（x，-x2-x+2），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，则点Q（x，x+2），根据S△ABP=S△APQ+S△BPQ建立方程可得×PQ×|xA-xB|=1，即|-x2-2x|=1，求解即可解决此题.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：103分
分值分布 客观题（占比） 22.0(21.4%)
主观题（占比） 81.0(78.6%)
题量分布 客观题（占比） 11(42.3%)
主观题（占比） 15(57.7%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(38.5%) 20.0(19.4%)
填空题 8(30.8%) 18.0(17.5%)
解答题 8(30.8%) 65.0(63.1%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (76.9%)
2 容易 (19.2%)
3 困难 (3.8%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 二次函数y=ax^2的性质 4.0(3.9%) 13
2 二次函数图象上点的坐标特征 15.0(14.6%) 26
3 二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化 17.0(16.5%) 8,23,24
4 反比例函数的图象 2.0(1.9%) 6
5 二次函数图象与系数的关系 6.0(5.8%) 3,7,17
6 直接开平方法解一元二次方程 2.0(1.9%) 9
7 反比例函数图象上点的坐标特征 5.0(4.9%) 24
8 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 2.0(1.9%) 17
9 二次函数的实际应用-销售问题 10.0(9.7%) 25
10 二次函数图象与一元二次方程的综合应用 6.0(5.8%) 4,9,16
11 二次函数与一次函数的综合应用 25.0(24.3%) 25,26
12 待定系数法求二次函数解析式 25.0(24.3%) 19,21,23
13 三角形的面积 10.0(9.7%) 21
14 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 2.0(1.9%) 2
15 二次函数y=ax^2+bx+c的性质 17.0(16.5%) 15,26
16 二次函数的定义 9.0(8.7%) 1,11,20
17 二次函数y=a（x-h）^2+k的图象 9.0(8.7%) 7,8,22
18 根据实际问题列二次函数关系式 2.0(1.9%) 18
19 二次函数y=ax^2的图象 14.0(13.6%) 6,12,21
20 二次函数y=a（x-h）^2+k的性质 9.0(8.7%) 10,14,22
21 二次函数的实际应用-拱桥问题 2.0(1.9%) 5
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2023-2024学年第一学期甘肃省武威市凉州区九年级数学第22章二次函数单元测试题人教版
一、选择题
1． 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）．
A．y=ax2+bx+c B．y2-x+2=0 C．x2+y+2=0 D．x2-y2+1=0
2．二次函数y=x2-2x+3的图象的对称轴是（ ）．
A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2
3．已知抛物线y=x2-mx-m2+1过原点，则m为（ ）．
A．0 B．1 C．-1 D．±1
4．二次函数的部分图象如图所示，且关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ）.
A．1 B．-1 C．-2 D．0
5．赵州桥的桥拱近似为抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为，当水面离桥拱顶的高度DO为时，水面宽度AB为（ ）.
A．-10m B． C． D．
6．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象开口向下，则反比例函数y=的图象经过（ ）．
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
7．二次函数的图像大致是（ ）.
A． B．
C． D．
8．下列说法错误的是（ ）．
A．抛物线y=-2x2+3x+1的对称轴是直线x=
B．点A(3，0)不在抛物线y=x2-2x-3上
C．抛物线y=(x+2)2-2的顶点坐标是(-2，-2)
D．函数y=2x2+4x-3的图象的最低点是(-1，-5)
9．函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则 的方程 的实数根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．已知点 ， 均在抛物线 上，则 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若函数为二次函数，则m的值为
12．在同一平面直角坐标系中，二次函数与的图象关于 对称.
13．函数y=2x2的图象对称轴是 ，顶点坐标是 .
14．若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a= ．
15．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ．
16．二次函数y=mx2+（m+2）x+ m+2的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 ．
17．二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1，0)、B(x2，0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是 ．
18．某超市一月份的营业额是200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，那么营业额关于月平均增长率的函数表达式为 .
三、解答题
19．已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点(0，)．求该二次函数的表达式．
20．如果函数y=（m﹣3） +mx+1是二次函数，求m的值．
21．已知抛物线的顶点在原点，以y轴为对称轴，且经过点A(- 2，8)．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．
22．用配方法把二次函数 化为 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
23．已知一抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
24．已知点M，N关于y轴对称，且点M在双曲线：y=上，点N在直线y=x+3上．设点M的坐标为(a，b)，求抛物线y=-abx2+(a+b)x的顶点坐标．
25．某景区商店销售一种商品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于16元/件.市场调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售价(元/件)之间的函数关系如图所示.
（1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
（2）求每天的销售利润(元)与销售价(元/件)之间的函数关系.每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
26．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B
（1）求a，b满足的函数关系及的值.
（2）当时，的值随的增大而增大，求的取值范圆.
（3）如图所示，当时，抛物线上是否存在点，使的面积为1 若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、其中a可能等于0，则不符合题意；
B、表示x是关于y的二次函数，则不符合题意；
C、表示y是关于x的二次函数，则符合题意；
D、该项无法变形成y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，则无法表示y是关于x的二次函数，则不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，据此逐项分析即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数为y=x2-2x+3 ，
∴该二次函数对称轴为：
∴对称轴为直线x=1.
故答案为：A.
【分析】根据一般形式的二次函数求对称轴的公式，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-mx-m2+1过原点，
∴
解得：
故答案为：D.
【分析】由抛物线经过原点可得其常数项c=0，据此建立方程可求出m的值.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设另一个根为x1，由图知：抛物线的对称轴为x=1且抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴，解得：x1=-1.
故答案为：B.
【分析】设另一个根为x1，根据抛物线的对称轴x=可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意：当y=-2时， =-2，
解得：x=，
∴AB=-（-）=m，
故答案为：D.
【分析】根据题意把y=-2代入解析式求出x值，即得A、B两点的横坐标，再求其结论即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象开口向下，
∴a＜0，
∴反比例函数y=的图象经过二、四象限.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象得出a＜0，再根据反比例函数的图象即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，故A不符合题意；
∵a=1＞0，b=2＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，故B不符合题意；
∵当y=0时，（x+1）2-2=0，
解之：，
∴抛物线与x轴的交点在原点的两侧，故C符合题意；D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0），当a＞0，开口向上；当a＜0开口向下，可对排除选项A；利用左同右异，可知抛物线的对称轴在y轴的左侧，可排除选项B；再根据抛物线与y轴的交点的位置，可对D，C作出判断.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：A、 抛物线y=-2x2+3x+1的对称轴是直线，故A不符合题意；
B、当x=3时y=9-2×3-3=0，
∴ 点A(3，0)在抛物线y=x2-2x-3上，故B符合题意；
C、 抛物线y=(x+2)2-2的顶点坐标是(-2，-2) ，故C不符合题意；
D、∵y=2x2+4x-3=2（x2+2x+1-1）-3=（x+1） 2-5，
∴函数y=2x2+4x-3的图象的最低点是(-1，-5) ，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用二次函数的对称轴为直线，可对A作出判断；将x=3代入函数解析式求出对应的y的值，可对B作出判断；利用二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），可对C作出判断；利用配方法将二次函数解析式转化为y=a（x-h）2+k（a≠0），利用二次函数的图象，可得到最低点的坐标.
9．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故答案为：A．
【分析】本题主要考察一元二次方程与二次函数的关系，把点的坐标代入解析式 ，再用直接开平方法解方程即可求得，掌握一元二次方程与二次函数的关系是突破口，正确解方程是关键。
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 开口向上，对称轴为直线 （即y轴），点 比点 到对称轴的距离近，
∴ .
故答案为：A
【分析】根据二次函数的增减性，可得出答案。
11．【答案】-1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴m=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据二次函数的定义得出，即可得出m=-1.
12．【答案】x轴
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解： 二次函数与中，
a与-a是互为相反数，
∴与的图象开口不同，但大小一样，
∴二次函数与的图象关于x轴对称 .
故答案为：x轴.
【分析】在与中，由于a与-a是互为相反数，可知与的图象开口不同，但大小一样，据此解答即可.
13．【答案】y轴；（0，0）
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴是“y轴”，顶点坐标是：（0，0）
【分析】利用y=ax2的性质，可直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标。
14．【答案】4或﹣1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，
∴ =3，
整理得出：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a1=4，a2=﹣1，
检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，
故答案为：4或﹣1．
【分析】根据顶点的纵坐标是3可得=3，解方程即可求解。
15．【答案】（3，﹣3）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点（5，﹣3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，﹣3），
∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【分析】根据二次函数的对称性，可得出 抛物线一定经过另一点是点（5，﹣3）关于直线x=4的对称点，求出此点的坐标。
16．【答案】1
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意得：y=0时，mx2+（m+2）x+ m+2=0，△=0，
∴（m+2）2﹣4×m（ m+2）=0，
整理得：4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可得列出关于m的方程即可求解。
17．【答案】（- ，- ）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-a，x1x2=a，
∴由x1+x2-x1x2=-10，得
-a-a=-10，
解得a=5，
则二次函数的解析式为：y=x2+5x+5=（x+ ）2- ，
∴抛物线的顶点坐标是（- ，- ）．
故答案为：（- ，- ）
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2，再代入建立关于a的方程，求出a的值，然后将a的值代入抛物线的解析式，就可求出其顶点坐标。
18．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)(1+x)万元，
由题意得：y=200+200(1+x)+200(1+x)(1+x)=200+200(1+x)+200(1+x)2
故答案为：y=200+200(1+x)+200(1+x)2.
【分析】根据平均增长率问题分别表示出二月份与三月份的营业额，进而根据 一月、二月、三月的营业额共 y万元列出函数解析式.
19．【答案】解：∵ 二次函数图象的顶点是(-1，2)，
∴设函数解析式为y=a（x+1）2+2，
∵ 图象过点(0，)．
∴
解之：
∴此二次函数解析式为：y= (x+1)2+2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用已知顶点坐标，因此设函数解析式为y=a（x+1）2+2，再将点(0，)代入，可求出a的值，即可得到函数解析式.
20．【答案】解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，
解得：m=0．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】由题意可知：x的最高次数=2且二次项的系数≠0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
21．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2，
∵抛物线y=ax2经过点（-2，8），
∴4a=8，
∴a=2，
∴y=2x2；
（2）解：∵点B与点A（-2，8）关于y轴对称，
∴B（2，8），
∴AB=4，△OAB中AB边上的高为8，
∴S△OAB=×4×8=16.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2，把点（-2，8）的坐标代入y=ax2，求出a的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标，从而得出AB的长和AB边上的高，再利用三角形面积公式进行计算，即可得出答案.
22．【答案】解： ，
= ，
= ，
开口向下，对称轴为直线 ，顶点
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】可根据公式y=配方；由a=-2可知，抛物线开口向下；对称轴为x=；顶点坐标为（，）.
23．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B(1，0)，
故设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
将 C(2，8) 代入解析式y=a（x+2）（x-1），得8=a（2+2）（2-1），
解得：a=2，
∴y=2（x+2）（x-1）=2x2+2x-4.
（2）解：∵，
顶点坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）设函数的表达式为：y=a（x+2）（x-1），将点C的坐标代入，即可求解；
（2）将抛物线的解析式配方成顶点式即可求解.
24．【答案】解：∵点M，N关于y轴对称，则点N的坐标为(-a ，b)．
由题意得ab=，a +b=3，
∴抛物线的解析式为
∴此抛物线的顶点坐标为(3，)．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特点可得到点N的坐标，利用函数解析式可得到ab和a+b的值，将其代入函数解析式，可得到y与x的函数解析式，将此函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
25．【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将点（10，30）及点（16，24）分别代入得
，
解得，
∴所求的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16）；
（2）解：由题意得w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225，
∵a=-1＜0，
∴当x＜25时，w随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，w最大，最大值为144.
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象给出两点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）根据总利润=单件商品的利润×每天的销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而将所得函数解析式配成顶点式，根据二次函数的性质求出x取值范围内的最大值即可.
26．【答案】（1）解：令y=x+2中的x=0得y=2，
∴B（0，2），
令y=x+2中的y=0得x=-2，
∴A（-2，0），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，
∴
∴b=2a+1，c=2；
（2）解：∵当x＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值y随x的增大而增大，
∴对称轴直线x=≥0，
而b=2a+1，
∴，
解得，
∴；
（3）解：存在，理由如下：当a=-1时，抛物线的解析式为y=-x2-x+2，
设P（x，-x2-x+2），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，则点Q（x，x+2），如图，
∴PQ=|-x2-x+2-x-2|=|-x2-2x|，
∵A（-2，0），B（0，2），
∴|xA-xB|=2，
∵S△ABP=S△APQ+S△BPQ，
∴×PQ×|xA-xB|=1，
∴PQ×2=1，
∴PQ=1，
∴|-x2-2x|=1，
即-x2-2x=1或-x2-2x=-1，
解得x=-1或x=或x=，
∴或或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别令直线y=x+2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得DianA、B的坐标，将点A、B的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c即可得出关于字母a、b、c的方程组，求解即可得出结论；
（2）由于a＜0，所以在对称轴左侧函数值y随x的增大而增大，据此可得该抛物线的对称轴直线≥0，再结合b=2a+1，求解即可得出结论；
（3）设P（x，-x2-x+2），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，则点Q（x，x+2），根据S△ABP=S△APQ+S△BPQ建立方程可得×PQ×|xA-xB|=1，即|-x2-2x|=1，求解即可解决此题.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：103分
分值分布 客观题（占比） 22.0(21.4%)
主观题（占比） 81.0(78.6%)
题量分布 客观题（占比） 11(42.3%)
主观题（占比） 15(57.7%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(38.5%) 20.0(19.4%)
填空题 8(30.8%) 18.0(17.5%)
解答题 8(30.8%) 65.0(63.1%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (76.9%)
2 容易 (19.2%)
3 困难 (3.8%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 二次函数y=ax^2的性质 4.0(3.9%) 13
2 二次函数图象上点的坐标特征 15.0(14.6%) 26
3 二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化 17.0(16.5%) 8,23,24
4 反比例函数的图象 2.0(1.9%) 6
5 二次函数图象与系数的关系 6.0(5.8%) 3,7,17
6 直接开平方法解一元二次方程 2.0(1.9%) 9
7 反比例函数图象上点的坐标特征 5.0(4.9%) 24
8 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 2.0(1.9%) 17
9 二次函数的实际应用-销售问题 10.0(9.7%) 25
10 二次函数图象与一元二次方程的综合应用 6.0(5.8%) 4,9,16
11 二次函数与一次函数的综合应用 25.0(24.3%) 25,26
12 待定系数法求二次函数解析式 25.0(24.3%) 19,21,23
13 三角形的面积 10.0(9.7%) 21
14 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 2.0(1.9%) 2
15 二次函数y=ax^2+bx+c的性质 17.0(16.5%) 15,26
16 二次函数的定义 9.0(8.7%) 1,11,20
17 二次函数y=a（x-h）^2+k的图象 9.0(8.7%) 7,8,22
18 根据实际问题列二次函数关系式 2.0(1.9%) 18
19 二次函数y=ax^2的图象 14.0(13.6%) 6,12,21
20 二次函数y=a（x-h）^2+k的性质 9.0(8.7%) 10,14,22
21 二次函数的实际应用-拱桥问题 2.0(1.9%) 5
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