数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1两条直线的交点坐标 课件（共43张ppt）

(共43张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.3.1 两条直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A
直线l
点A在直线l上
（形）
（数）
A (x0，y0)
l：Ax＋By＋C＝0
Ax0 ＋By0 ＋C＝0
【问题1】点与直线的关系是什么？
A (x0，y0)
Ax＋By＋C＝0
【问题2】在同一直角坐标系内画出直线l1与l2的图象：
l1：3x＋4y－2＝0；
【追问1】两条直线l1与l2 的位置关系是怎样的？
【追问2】它们的交点坐标与两条直线的方程有什么关系？
【追问3】你能求出交点的坐标吗？
l2
l1
A
(－2，2)
联立方程组：
①
②
l2：2x＋y＋2＝0.
l1：3x＋4y－2＝0；
l2：2x＋y＋2＝0.
【问题3】上述结论有一般性吗？
若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？由此能得出求其交点坐标的方法吗？
直线l1和l2相交
直线l1和l2存在唯一交点， 记为A(x0，y0)
点A(x0，y0)既在l1上，又在l2上
【问题3】上述结论有一般性吗？
若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，
它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？由此能得出求其
交点坐标的方法吗？
几何元素及关系（形） 代数表示（数）
直线l1与l2的交点是A(x0，y0)

方程组
的唯一解是
l2
l1
【问题4】已知两条直线：l1：4x＋2y－3＝0；l2：2x＋y＋2＝0，则这两条直线的位置关系是什么？
【追问】能否判断对应方程组解的情况？
没有公共点
方程组无解
不存在点同时满足两条直线方程
l1 ∥ l2
方程组无解
l1 ∥ l2
【问题5】已知两条直线：l1：4x＋2y＋4＝0；l2：2x＋y＋2＝0，则这两条直线的位置关系是什么？
l2
l1
有无数个公共点
存在无数个点同时满足两条直线方程
方程组有无数组解
直线l1和l2重合
方程组有无数组解
l1 和 l2重合
【问题6】一般地，对于两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0 ，你能说出这两条直线的位置关系与对应方程组 的解之间的联系吗？
直线的位置关系 公共点的个数 方程组解的个数 图 例
相 交
平 行
重 合
有且仅有1个
唯一解
0 个
无 解
无数个
无数组解
【问题7】(1) l1:3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0
(2) l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0
(3) l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0
对于以上三组直线，你还有其他方法判断每组直线间的位置关系么？
【追问1】能否用斜率判断两条直线的位置关系？
两直线斜率均不存在
垂直于 x 轴
截距相等重合
截距不等平行
一条斜率不存在
一条斜率存在
两直线斜率均存在
斜率不等相交
斜率相等看截距
截距相等重合
截距不等平行
两条直线相交
【问题7】(1) l1:3x+4y－2=0，l2：2x+y+2=0
(2) l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0
(3) l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0
对于以上三组直线，你还有其他方法判断每组直线间的位置关系么？
【追问2】如何从直线方程的一般式中确定斜率？
l1：yl2：y
k1≠k2
相交
l1：yl2：y
k1=k2b1≠b2
平行
l1：yl2：y
k1=k2b1=b2
重合
斜截式
【问题8】比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？
代数方法
关注直线方程系数关系，快速判断两条直线平行、重合或相交（垂直）.
解方程组判断
斜率判断
关注解的个数与交点个数的对应，判断两条直线平行、重合或相交；
求相交直线的交点坐标.
【问题9】判断两条直线的位置关系，直线方程的系数需要满足怎样的特征？
两直线位置关系 方程系数特征
相交
平行
重合
【例1】 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标.
(1) l1：x－y＝0；l2：3x＋3y－10＝0.
(2) l1：3x－y ＋4＝0；l2：6x－2y－1＝0.
(3) l1：3x＋4 y－5＝0；l2：6x＋8y－10＝0.
【例2】求经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，并且平行于
直线x－y＋4＝0的直线方程．
【追问1】求解直线方程需要具备哪些条件？
【追问2】分析本题中的条件，可以获得哪些确定直线的信息？
交点坐标(-1，-1)
因为所求直线与xy＋4＝0平行，故直线的斜率为k=1
设直线方程为：y (1)＝x (1)，
整理得： x
解：
【问题10】方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，当λ变化时表示什么图形？该图形有何特点？
令λ=0，方程化为3x＋4y－2＝0，此时的图形是一条直线；
令λ=1，得到5x＋5y＝0，也是一条直线，(-2,2)；
令λ= － 1，则x＋3y－4＝0，还是一条直线, (-2,2).
……
猜想：
当λ变化时，方程表示的是相交于点(-2,2)的直线
(-2,2)
(-2,2)
(-2,2)
【问题10】方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，当λ变化时表示什么图形？该图形有何特点？
(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0
Ax＋By＋C＝0
直线
3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0
联立方程组：
解得交点坐标为(－2，2).
(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0
λ
无解
经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程可以表示为：
A1x＋B1y +C1 +λ(A2x＋B2y +C2 )=0
求相交直线交点坐标
判断两条直线的位置关系
（相交、平行、重合）
解方程组
思想方法
数形结合
特殊到一般
问题导入
问题1：如下图已知平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) ，如何求P1, P2间的距离？
y
x
o
P2
P1
特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为：
求|P1P2|转化为求向量的模:
问题导入
k是直线P1P2的斜率则两点间距离公式有如下变形：
(1)当P1P2与x轴平行或重合时，
(2)当P1P2与y轴平行或重合时，
问题2：还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？
问题导入
|P1P2|＝|x2－x1|；
|P1P2|＝|y2－y1|；
问题导入
问题2：还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？
如右图，我们以P1P2为斜边构造一个直角三角形1P2Q，则点Q的坐标为（）,
由勾股定理得：
∴平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为：
一般选择与坐标轴平行（或垂直）的直线构造直角三角形（相应的长度易用坐标表示。）
(3)当P1P2与轴、y轴都不平行时
思考：在推导两点间距离公式时，勾股定理法与向量法比较，你有什么体会？
问题导入
用勾股定理推导平面上两点间的距离公式，不仅需要分情况讨论，还需要添加辅助线构造直角三角形，而向量法比用勾股定理推导方法简洁.
课堂练习P74
典型例题
例3 已知点A(-1,2),B(2, ),在轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
一题多解
例3 已知点A(-1,2),B(2, ),在轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
这个题目还有其他解法吗？看到 “|PA|=|PB|”，你想到了什么？
点P可以看成是线段AB的垂直平分线与轴的交点！
课堂练习P79
典型例题
例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果 “翻译”成几何关系．
补充练习
如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－ |AC|2＝2|BD|2.
证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0).
思考
在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题．你能回忆一下证明过程吗 比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会
上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为
课堂小结
举一反三
举一反三
函数的最小值是______
解:设A(-1,2)，B(3,1)，P(x,0)，
则f(x)表示点P(x,0)到点A(-1,2),B(3,1)两点的距离之和，
即|PA|+|PB|，
点P是x轴上的点，则点A关于x轴的对称点A`(-1,-2)，
所以|PA|=|PA`|，
所以|PA|+|PB|=|PA`|+|PB|≥|AB|=,
所以f(x)的最小值是5.
y
x
P
B
A
A’
O
5
复习回顾
平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，
问题1.如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线 l 的距离？
x
y
O
P
Q
l
P到直线 l 的距离，即垂线段|PQ|的长度
可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
问题1.如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线 l 的距离？
x
y
O
P
Q
l
追问：求点P到直线 l 的距离你还有什么方法？
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？
问题1.如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线 l 的距离？
x
y
O
P
Q
l
追问：求点P到直线 l 的距离你还有什么方法？
合作探究
因此，点到直线 l ：Ax + By + C=0的距离
①运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；
②分母是直线未知数x, y系数平方和的算术跟；
③分子是P点代入直线方程；
④直线方程 Ax +By + C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.
例1求点P(-1,2)到直线l：3x=2的距离.
方法1.
方法2.解点P(-1,2)到直线l：x=的距离.
例2.已知ΔABC的三个顶点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ΔABC的面积.
x
y
O
A
C
B
(2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0,由点到直线的距离公式得d＝8.
法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
练习2.已知点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离d=4，求a的值.
1.掌握了点到直线的距离公式。
d=
2.能够利用点到直线的距离公式求解有关问题
课堂小结