浙江省杭州市重点中学及周边地区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

杭州市重点中学及周边地区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生.则样本中男生人数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
3.在平行六面体中，若，则( )
A. B.
C. D.
4.已知向量，，，则与的夹角等于( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为，方差为，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为，方差为2，则下列判断正确的是( )
A. B.
C. D. 与2的大小关系无法判断
6.已知圆，直线与圆C相交于两点，若圆C上存在点P，使得为正三角形，则实数m的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.棱长为2的正方体中，点N在以A为球心半径为1的球面上，点M在平面ABCD内且与平面ABCD所成角为，则M，N两点间的最近距离是( )
A. B. C. D.
8.第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个同类吉举物完全相同，无区别，若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是( )
A. B. C. D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数z满足，则( )
A. 复数z在复平面内对应的点在第三象限 B. 复数z的模为1
C. D. 复数z虚部为
10.地掷一枚质地均匀的骰子，事件 A表示：“点数不大于2”，等件 B表示：“点数大于2”，事件 C表示：“点数为奇数”，求件 D表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. 事件A与D相互独立 D. 事件A与B互斥不对立
11.若A，B是平面内不重合的两定点，动点P满足，则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希脂数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点P满足，点P的轨迹为圆C，则( )
A. 圆C的方程为
B. 设动点，则的最大值为20
C. 若P点不在x轴上，圆C与线段AB交于点Q，则PQ平分
D. 的最大值为72
12.已知正四面体的棱长为2，点M，N分别为和的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是( )
A. M，N，C，D四点不共面
B. 若，则平面ABC
C. 过点的平面截正四面体外接球所得截面面积为
D.
正四面体内接一个圆柱即此圆柱下底面在底面BCD上，上底圆面与面 ABD、面ABC、面ACD均只有一个公共点则这个圆柱的侧面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为__________.
14.圆与圆的公共弦长为__________
15.正方体的棱长为，点E，F分别是线段、上的动点，则的最小值为__________
16.已知圆，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若，则的取值范围是__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准 a，用电量不超过 a的部分按照平价收费，超出部分按议价收费。为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查单位，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
求x的值：
求被调查用户的月用电量平均值：同一组数据用该区间的中点值作代表
若使居民用户的水费支出不受影响，应确定 a值为多少
18.在平面直角坐标系xoy中，己知两直线和，定点
若直线恰好的角平分线BD所在的直线，直线是中线CM所在的直线，求的边BC所在直线的方程：
若直线l过点A与直线在第一象限交于点P，与x正半轴交于点Q，求当的面积最小时直线I的方程
19.如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且平面，
求棱BC的长度：
若，且的面积，求平面与平面的夹角的余弦值.
20.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
求角
是的角平分线，若，，求的面积.
21.如图，三棱台中，，， D为线段AC上靠近C的三等分点
在线段BC上求一点E，使平面，并求的值：
若，，点到平面ABC的距离为，且点在底面ABC的
射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
22.已知圆和直线，圆P以点为圆心，且被直线l截得的弦长为
求圆P的方程：
设M为圆P上任意一点，过点 M向圆O引切线，切点为 N，试探究：平面内是否存在一定点 R，使得为定值 若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值：若不存在，请说明理由.
杭州市重点中学及周边地区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.
【解答】
解：直线的斜率是，倾斜角
故答案为A
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分层抽样，属基础题.
【解答】
解：设样本中男生人数为x，由题意可得，解
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的加法、减法运算、数乘运算，属于基础题.
【解答】
解：
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于中档题.
【解答】
解：，则，
由题可知，，
设与的夹角为，则，
解得，
故答案为
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平均数、方差，属基础题.
【解答】
解：由题意知丢失的数是，结合方差公式：知，，故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
【解答】
解：圆C上存在点P，使得为正三角形，则，故点C到直线AB的距离为1，
，解得或
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查多面体上的最短距离问题，属于较难题.
【解答】
解：因为点M在平面ABCD内，且与平面ABCD所成角为，可得，
解得，
所以M在以C为圆心为半径的圆上，
则当M，N都在正方形ABCD内，且与AC共线时，M，N两点间的距离最小，
又因为，
所以最小距离为
故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查排列组合中的分组分配问题，属较难题.
【解答】
解：令3个挂件分别是A、B、C，则分组有、、、、，再分个3位同学共有种，
恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的有种，
恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，几何意义，共轭复数等知识，属于基础题.
【解答】
解：由得，复数z在复平面内对应的点在第一象限，A错误；，B正确；，C正确；复数z虚部为，D错误.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查事件的关系和运算，考查相互独立事件的判断，属于中档题.
【解答】
解：由题意事件A表示出现的点数是1或2；
事件B表示出现的点数是3或4或5或6；
事件C表示出现的点数是1或3或5；
事件D表示出现的点数是2或4或
出现的点数为1或2或3或5，则，A正确；
出现的点数为2，则，B错误；
，C正确；
事件A与B互斥且对立，D错误.
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题、最值问题，属于中档题；
设点代入关系式化简可得的轨迹方程为一个圆，可判断.
【解答】
解：设，由得，故A正确；
，即求圆C上的点到点的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心C到点的距离加上圆C的半径后，再平方再减去25即可，点P到点的距离最大值为，则的最大值不为20，故B不正确;
可知Q点，，知PQ平分，故C正确；
设点，，同C选项可判断 的最大值为故D正确.
故选：
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了正四面体的结构特征、线面平行的判定、线面垂直的判定、点面距离、线面距离、线面垂直的性质等知识，属中档题.
结合空间几何体的有关性质和空间中线面关系与距离的有关知识，逐项分析即可判断．
【解答】
解：如图取线段AB的中点E，连接CE、DE、MN，
则点M、N分别在线段CE、DE上，且，
则，又平面ACD，平面ACD，
所以平面ACD，M，N，C，D四点共面，选项A不正确；
连接DM，设DM与CN交于点，因为在中，
且点M ，N 分别为 和 的重心，
所以，，即有，
则由题意可知当时点与点P重合，即此时点P在线段DM上，
又三棱锥为正四面体，则M为面ABC的中心，
因此，平面ABC，即平面ABC，即选项B正确；
由选项B知，当时，平面ABC，正四面体的外接球的球心为P，
，
故过点的平面截正四面体外接球所得截面面积为，
即选项C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体 ABCD 内接一个圆柱的上底面，
若截面所成正三角形边长为 ，则圆柱体的高 ，圆柱底面半径为 ，
所以其侧面积 ，
故当 时， ，D正确.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆台的表面积，属于基础题.
【解答】
解：由题干可知，母线长为2，
则圆台的表面积
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆相交弦有关的综合问题，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆的圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【解答】
解：圆与圆，相减得：，
圆心到直线的距离，第一个圆半径为，
则公共弦长为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查几何体表面最短距离问题，属于中档题.
【解答】
解：将平面沿直线折起使得点A， C，，四点共面，过点C作的垂线，分别交和于点E和F点即C，E，F三点共线，此时取最小值CE，
设，则，，
由，即，
解得，即的最小值为
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系中的最值问题，属于综合题.
【解答】
解：由题可知，在中，，即，
所在轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆上，
到直线的距离为，
则到直线的距离为，
到直线的距离也可表示为，，
可得的取值范围是
故答案为
17.【答案】解：由
得：
得：
【解析】本题考查频率分布直方图，一般难度.
18.【答案】解：设点A关于直线BD的对称点为，则
，
设点，则，把点B、点M分别代入直线，，
得：，
因为是角B的平分线，所以点在直线BC上，所以BC方程：
①直线l的斜率不存在时，，，，此时：，
②设，则，
由已知易得：，
，
由点P在第一象限、点Q在x轴的正半轴，得：或，
所以：，
综合①②可知：的最小值为1，此时
【解析】本题考查直线方程的综合求法与应用，属于中档题.
19.【答案】解：
取AC的中点D，连接ED，BD，
在三棱柱中，可得，，
四边形DEFB为平行四边形，，
又平面，平面
，又D为AC的中点，
为等腰三角形，
由知，，，，
且，且，，，
由知，平面，平面，
，又三棱柱中，
，又，，又，AB，平面ABC，
平面ABC，
平面，
三棱柱为直三棱柱，
为直角三角形，可得，
又在三棱柱中，，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
，，
平面与平面的夹角的余弦值为
【解析】本题主要考查平面与平面所成角的向量求法，考查线面垂直的判定与性质，属于中档题.
20.【答案】解：由，得：
所以：，所以
在中，得：①
又
得：
化简得：②
由①②得：
所以：
【解析】本题考查正余弦定理解三角形，面积公式，属中档题.
21.【答案】解：取BC的靠近点C的三等分点E，连接，DE，，
则，
，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，
，，
平面，平面，平面，
，平面平面，
平面，平面，
当时，平面
以A为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，由，
点在底面ABC的射影落在内部，，，，
，，
设平面的法向量为，
，令得，，
由得，，
，，
直线与平面所成角的正弦值为
【解析】本题以棱台为载体，考查空间直线与平面所成角的向量求法，面面平行的判定与性质，属于较难题.
22.【答案】解：点P到直线l的距离为：，故圆P的半径
所以，圆
设，，则，得：
则：，
若使，为定值，则，
解得：或，
因此，当时，，
当时，
【解析】本题主要考查圆的标准方程，考查圆的切线长问题，属于较难题.