数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.1直线的点斜式方程 课件（共51张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.1直线的点斜式方程 课件（共51张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-16 09:35:31 | ||
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文档简介
(共51张PPT)
2.2.1 直线的点斜式方程
复习回顾
1.倾斜角：
2.斜率：
直线向上的方向与x轴正方向的夹角
α∈[0°,180°)
3.平行与垂直：
两条不重合的直线l1,l2，斜率分别是k1,k2
l1//l2
l1⊥l2
k1=k2
k1k2=-1
l
α
x
y
O
P0(x0,y0)
P(x,y)
直线 l 经过点P0(x0,y0)，且斜率为k，设P(x,y)是直线 l 上不同于点P0的任意一点，则有
即
问题1.点P0的坐标(x0,y0) 满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？
问题2.直线上每一个点的坐标（x,y）都满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？
问题3. 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一个点都在直线上吗？
思考
已知直线 l 经过点(x0, y0)，
(1)当直线 l 的倾斜角为0°时，直线 l 的方程是什么？
(2)当直线 l 的倾斜角为90°时，直线 l 的方程如何表示？
l
x
y
O
P0(x0,y0)
P(x,y)
当倾斜角为0°时，k=0，代入点斜式
思考
已知直线 l 经过点(x0, y0)，
(1)当直线 l 的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？
(2)当直线 l 的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？
l
x
y
O
P0(x0,y0)
P(x,y)
当倾斜角为90°时，没有斜率，不能用点斜式表示，直线上每个点横坐标都为，
例1 直线 l 经过点P0(-2,3)，且倾斜角α=45°，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l.
解：直线 l 经过点P0(-2,3)，斜率k=tan45°=1，
代入点斜式方程得 y-3=x+2.
画图时，再找出直线l上的另一个点P1(x1,y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1,4)，过P0,P1的直线即为所求，如图所示
练习1 写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(3,-1),斜率是；
（2）经过点B(-,2)，倾斜角是30
（3）经过点C(0，3)，倾斜角是0；
（4）经过点D(-4,-2)，倾斜角是.
练习2 填空题.
(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么此直线的斜率是______，倾斜角是______;
(2)已知直线的点斜式方程是y+2=(x+1)，那么此直线的斜率是_______，倾斜角是______；
1
45°
60°
思考
我们已经学习了直线的点斜式方程的表示，那么若直线经过点P0(0,b)，斜率为k，此时直线方程如何表示？
将点P0(0,b)和斜率k代入点斜式方程，得
y-b=k(x-0)
即 y=kx+b
我们把直线l与y 轴的交点(0,b)的纵坐标 b 叫做直线l在y轴上的截距，这样，方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定。我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
问题5.直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？
问题4.截距是距离吗？
练习3 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是，在y轴上的截距是-2；
(2)斜率是-2，在y轴上的截距是4.
y = - 2x + 4
练习4 判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)
(2)
平行
垂直
练习5 直线y=kx-3k+2(k∈R)必过定点（ ）
A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(3,-2)
A
练习6 若直线l过点P(2,1)，且与直线y-1=2x-3垂直，则直线l的点斜式方程为______________
课堂小结
点斜式：
斜截式：
直线 l 经过点P0(x0,y0)，斜率为k
直线 l 经过点P0(0,b)，斜率为k
y=kx+b
导入
问题1：已知过直线的方程。
解：设直线的斜率为，则
∴由直线的点斜式方程可得，）
解法二：设直线为由直线过点P、Q得 解得
∴直线的方程是： （待定系数法）
概念学习
问题2：已知直线经过和()两点，求直线的方程。（可借鉴问题1的解法）
解：∵，∴直线的斜率存在，由斜率公式得，
由直线的点斜式方程，得
又，所以上式可写为
小组讨论
不利用点斜式方程，你能求出直线的两点式方程吗？
和你的组员一越试试吧！
1、斜率相等
2、向量平行
概念学习
已知两点(其中，)。我们把叫做直线的两点式方程，简称两点式.
思考：
两点式方程中，分母不能为0，故有，据此我们可以得到两点式方程的适用条件是什么？
思辨
问题3：当时，直线方程是什么？
斜率不能为；即不能表示与轴平行或重合的直线
问题4：当时，直线方程是什么？
或
或
斜率必须存在；即不能表示与轴平行或重合的直线
两点式方程的运用条件：
课堂练习
1.求经过下列两点的直线的两点式方程:
(1) P1(2,1), P2(0,－3); (2) A(0,5), B(5,0).
概念学习
例3：如图，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，.求直线的方程.
解：将两点，的坐标代入两点式，得
， 即 .
概念学习
例3：如图，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，.求直线的方程.
我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距.直线l与y轴的交点(0,b)的横坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
我们把方程叫做直线的截距式方程, 简称截距式.
注意：截距可以取全体实数, 但截距式方程中的截距, 是指非零的实数；因此截距式方程不包括过原点的直线方程, 不包括与坐标轴垂直的直线方程.
课堂练习P64
2. 根据下列条件求直线的截距式方程, 并画出图形:
(1) 在x轴、y轴上的截距分别是2, 3;
(2) 在x轴、y轴上的截距分别是－5, 6.
3. 根据下列条件, 求直线的方程:
(1) 过点(0, 5), 且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2) 过点(5, 0), 且在两坐标轴上的截距之差为2.
课堂练习P67
截距式方程:
截距式方程中的截距, 是指非零的实数；因此截距式方程不包括过原点的直线方程, 不包括与坐标轴垂直的直线方程.
7.求经过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
典型例题
例4：已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程.
解：如图，过，的直线的两点式方程为，
整理得.这就是边所在直线的方程.
边上的中线是顶点与边中点所连线段，
由中点坐标公式，可得点的坐标为，即.
过，两点的直线方程为，
整理可得.这就是边上中线所在直线的方程.
点坐标公式：（
变式引申
例4：已知的三个顶点，，
（2）求边的垂直平分线所在直线的方程，
（3）求底边BC上的高线所在直线的方程.
课堂练习P67
典型例题
直线的两点式方程
两点式 截距式
已知条件 两点 (其中，) 直线在轴上的截距与
直线在轴上的截距
图示
方程形式
适用条件 斜率存在且不等于的直线 备注 截距式是特殊的两点式方程
课堂小结
形式 图例 条件 直线的方程 适用
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 不含与x轴垂直的直线
斜截式 斜率为k，且在y轴上的截距为b 不含与x轴垂直的直线
两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 不含与x, y轴垂直的直线
截距式 与坐标轴的交点坐标P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) . 不含过原点和与x, y轴垂直的直线
思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b, 且斜率为k
两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
截距式 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
不含与x轴垂直的直线
不含与x轴垂直的直线
不含与x, y轴垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
都是关于x, y的二元一次方程
思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
因此, 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.
探究：先看问题(1), 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角.
即 kx-y+b=0.
这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成
当α≠90°时, 直线方程可写成 y=kx+b,
当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0.
这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成
Ax+By+C=0.
Ax+By+C=0.
思考 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
探究：对于问题(2), 任意一个二元一次方程Ax+By+C=0 (A, B不同时为0),
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.
当B ≠ 0时, 方程Ax+By+C=0可变形为
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线.
探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系：
直线的一般式代数特征明显，而直线方程的四种特殊形式具有比较明显的几何意义；
直线的一般式Ax+By +C=0通常化为斜截式以获取直线的几何特征如斜率、截距等；
直线方程通常用一般式表示，直线的四种特殊形式化为一般式的规范要求：先x项，再y项，最后常数项；A、B、C尽可能整数化，A>0;
题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
4x－y－2＝0
2x＋y－3＝0
x＋3y＋3＝0
(2)y＝4x－2
题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
答案：D
题型二 直线的一般式方程的应用
1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
题型二 直线的一般式方程的应用
2．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
3．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
例3 （由含参数的一般式求参数的值或取值范围）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
例4（一般式下直线的平行与垂直问题）
已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[跟踪训练] 2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[跟踪训练] 2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
1. 判定两直线平行的方法：
法1：若两直线斜率都存在, 化成斜截式后, 由 k1＝k2, 且b1≠b2可判定两直线平行; 若两直线斜率都不存在且不重合时两直线平行．
法2：设两直线的方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0.
2. 判定两直线垂直的方法：
法1：若一个斜率为零, 另一个斜率不存在, 则两直线垂直．
若两个斜率都存在, 化成斜截式后, 由k1k2＝－1可判定两直线垂直.
法2：设两直线方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
【当堂达标】
答案：B
答案：C
答案：D
【当堂达标】
答案：A
答案：A
【当堂达标】
2.2.1 直线的点斜式方程
复习回顾
1.倾斜角：
2.斜率：
直线向上的方向与x轴正方向的夹角
α∈[0°,180°)
3.平行与垂直：
两条不重合的直线l1,l2，斜率分别是k1,k2
l1//l2
l1⊥l2
k1=k2
k1k2=-1
l
α
x
y
O
P0(x0,y0)
P(x,y)
直线 l 经过点P0(x0,y0)，且斜率为k，设P(x,y)是直线 l 上不同于点P0的任意一点，则有
即
问题1.点P0的坐标(x0,y0) 满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？
问题2.直线上每一个点的坐标（x,y）都满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？
问题3. 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一个点都在直线上吗？
思考
已知直线 l 经过点(x0, y0)，
(1)当直线 l 的倾斜角为0°时，直线 l 的方程是什么？
(2)当直线 l 的倾斜角为90°时，直线 l 的方程如何表示？
l
x
y
O
P0(x0,y0)
P(x,y)
当倾斜角为0°时，k=0，代入点斜式
思考
已知直线 l 经过点(x0, y0)，
(1)当直线 l 的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？
(2)当直线 l 的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？
l
x
y
O
P0(x0,y0)
P(x,y)
当倾斜角为90°时，没有斜率，不能用点斜式表示，直线上每个点横坐标都为，
例1 直线 l 经过点P0(-2,3)，且倾斜角α=45°，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l.
解：直线 l 经过点P0(-2,3)，斜率k=tan45°=1，
代入点斜式方程得 y-3=x+2.
画图时，再找出直线l上的另一个点P1(x1,y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1,4)，过P0,P1的直线即为所求，如图所示
练习1 写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(3,-1),斜率是；
（2）经过点B(-,2)，倾斜角是30
（3）经过点C(0，3)，倾斜角是0；
（4）经过点D(-4,-2)，倾斜角是.
练习2 填空题.
(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么此直线的斜率是______，倾斜角是______;
(2)已知直线的点斜式方程是y+2=(x+1)，那么此直线的斜率是_______，倾斜角是______；
1
45°
60°
思考
我们已经学习了直线的点斜式方程的表示，那么若直线经过点P0(0,b)，斜率为k，此时直线方程如何表示？
将点P0(0,b)和斜率k代入点斜式方程，得
y-b=k(x-0)
即 y=kx+b
我们把直线l与y 轴的交点(0,b)的纵坐标 b 叫做直线l在y轴上的截距，这样，方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定。我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
问题5.直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？
问题4.截距是距离吗？
练习3 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是，在y轴上的截距是-2；
(2)斜率是-2，在y轴上的截距是4.
y = - 2x + 4
练习4 判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)
(2)
平行
垂直
练习5 直线y=kx-3k+2(k∈R)必过定点（ ）
A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(3,-2)
A
练习6 若直线l过点P(2,1)，且与直线y-1=2x-3垂直，则直线l的点斜式方程为______________
课堂小结
点斜式：
斜截式：
直线 l 经过点P0(x0,y0)，斜率为k
直线 l 经过点P0(0,b)，斜率为k
y=kx+b
导入
问题1：已知过直线的方程。
解：设直线的斜率为，则
∴由直线的点斜式方程可得，）
解法二：设直线为由直线过点P、Q得 解得
∴直线的方程是： （待定系数法）
概念学习
问题2：已知直线经过和()两点，求直线的方程。（可借鉴问题1的解法）
解：∵，∴直线的斜率存在，由斜率公式得，
由直线的点斜式方程，得
又，所以上式可写为
小组讨论
不利用点斜式方程，你能求出直线的两点式方程吗？
和你的组员一越试试吧！
1、斜率相等
2、向量平行
概念学习
已知两点(其中，)。我们把叫做直线的两点式方程，简称两点式.
思考：
两点式方程中，分母不能为0，故有，据此我们可以得到两点式方程的适用条件是什么？
思辨
问题3：当时，直线方程是什么？
斜率不能为；即不能表示与轴平行或重合的直线
问题4：当时，直线方程是什么？
或
或
斜率必须存在；即不能表示与轴平行或重合的直线
两点式方程的运用条件：
课堂练习
1.求经过下列两点的直线的两点式方程:
(1) P1(2,1), P2(0,－3); (2) A(0,5), B(5,0).
概念学习
例3：如图，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，.求直线的方程.
解：将两点，的坐标代入两点式，得
， 即 .
概念学习
例3：如图，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，.求直线的方程.
我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距.直线l与y轴的交点(0,b)的横坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
我们把方程叫做直线的截距式方程, 简称截距式.
注意：截距可以取全体实数, 但截距式方程中的截距, 是指非零的实数；因此截距式方程不包括过原点的直线方程, 不包括与坐标轴垂直的直线方程.
课堂练习P64
2. 根据下列条件求直线的截距式方程, 并画出图形:
(1) 在x轴、y轴上的截距分别是2, 3;
(2) 在x轴、y轴上的截距分别是－5, 6.
3. 根据下列条件, 求直线的方程:
(1) 过点(0, 5), 且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2) 过点(5, 0), 且在两坐标轴上的截距之差为2.
课堂练习P67
截距式方程:
截距式方程中的截距, 是指非零的实数；因此截距式方程不包括过原点的直线方程, 不包括与坐标轴垂直的直线方程.
7.求经过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
典型例题
例4：已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程.
解：如图，过，的直线的两点式方程为，
整理得.这就是边所在直线的方程.
边上的中线是顶点与边中点所连线段，
由中点坐标公式，可得点的坐标为，即.
过，两点的直线方程为，
整理可得.这就是边上中线所在直线的方程.
点坐标公式：（
变式引申
例4：已知的三个顶点，，
（2）求边的垂直平分线所在直线的方程，
（3）求底边BC上的高线所在直线的方程.
课堂练习P67
典型例题
直线的两点式方程
两点式 截距式
已知条件 两点 (其中，) 直线在轴上的截距与
直线在轴上的截距
图示
方程形式
适用条件 斜率存在且不等于的直线 备注 截距式是特殊的两点式方程
课堂小结
形式 图例 条件 直线的方程 适用
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 不含与x轴垂直的直线
斜截式 斜率为k，且在y轴上的截距为b 不含与x轴垂直的直线
两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 不含与x, y轴垂直的直线
截距式 与坐标轴的交点坐标P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) . 不含过原点和与x, y轴垂直的直线
思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b, 且斜率为k
两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
截距式 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
不含与x轴垂直的直线
不含与x轴垂直的直线
不含与x, y轴垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
都是关于x, y的二元一次方程
思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
因此, 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.
探究：先看问题(1), 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角.
即 kx-y+b=0.
这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成
当α≠90°时, 直线方程可写成 y=kx+b,
当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0.
这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成
Ax+By+C=0.
Ax+By+C=0.
思考 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
探究：对于问题(2), 任意一个二元一次方程Ax+By+C=0 (A, B不同时为0),
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.
当B ≠ 0时, 方程Ax+By+C=0可变形为
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线.
探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系：
直线的一般式代数特征明显，而直线方程的四种特殊形式具有比较明显的几何意义；
直线的一般式Ax+By +C=0通常化为斜截式以获取直线的几何特征如斜率、截距等；
直线方程通常用一般式表示，直线的四种特殊形式化为一般式的规范要求：先x项，再y项，最后常数项；A、B、C尽可能整数化，A>0;
题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
4x－y－2＝0
2x＋y－3＝0
x＋3y＋3＝0
(2)y＝4x－2
题型一 直线的一般式方程与其他形式转化
答案：D
题型二 直线的一般式方程的应用
1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
题型二 直线的一般式方程的应用
2．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
3．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
例3 （由含参数的一般式求参数的值或取值范围）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
例4（一般式下直线的平行与垂直问题）
已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[跟踪训练] 2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[跟踪训练] 2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
1. 判定两直线平行的方法：
法1：若两直线斜率都存在, 化成斜截式后, 由 k1＝k2, 且b1≠b2可判定两直线平行; 若两直线斜率都不存在且不重合时两直线平行．
法2：设两直线的方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0.
2. 判定两直线垂直的方法：
法1：若一个斜率为零, 另一个斜率不存在, 则两直线垂直．
若两个斜率都存在, 化成斜截式后, 由k1k2＝－1可判定两直线垂直.
法2：设两直线方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
【当堂达标】
答案：B
答案：C
答案：D
【当堂达标】
答案：A
答案：A
【当堂达标】