数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.2两条直线平行和垂直的判定（共39张ppt）

(共39张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行或垂直的判定条件
2.会利用斜率来判断两条直线平行或垂直
学习目标
思考：
我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行。当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？
注：若没有特别说明，说“两条直线,”指两条不重合的直线
新课引入
l1 // l2
k1 = k2
l1 // l2 k1 = k2
l1
l2
α1
x
y
O
α2
两线平行
对于斜率分别为的两条不重合的直线，有
l1 // l2 k1 = k2
显然，当时，直线的斜率不存在，此时
若直线重合，此时仍然有。
两条直线平行的判定
1 判断
（1）若两条直线的斜率相等，则两直线平行. （ ）
（2）若两条直线的斜率不存在，则两条直线平行. （ ）
×
√
例题
例1 已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
分析：
1.画出两条直线；
2.判断两条直线的位置关系；
3.判断两条直线斜率是否存在；
4.判断斜率是否相等．
Q
P
B
A
x
y
O
解: 如图，直线BA的斜率kBA=
直线PQ的斜率KPQ= 因为kBA= KPQ ，所以直线AB//PQ
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k=tanα
复习回顾
平面内两条直线有哪些位置关系？
平行或相交
能否通过斜率来判断两条直线的位置关系？
x
y
O
.
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
x
O
y
l2
l1
α1
α2
1、知识探究（一）：两条直线平行的判定
【课中探究】
相等
成立
成立
这里假设两直线不重合
x
y
O
解析：斜率均不存在的两条直线平行或重合.
一、两条直线平行的判定
特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行或重合.
公式成立的条件：
①两直线不重合；
②两直线的斜率均存在.
x
y
O
设两条直线 与 的斜率分别为 ，
例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解:直线BA的斜率
直线PQ的斜率
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
分析：判断两组对边是否分别平行.
已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？
分析：证明两直线斜率相等且有公共点.
(3)
Y
X
(2)
Y
X
(1)
Y
X
2、知识探究（二）：两条直线垂直的判定
2、知识探究（二）：两条直线垂直的判定
成立
乘积等于-1
垂直
x
y
o
若一条直线的倾斜角为90°,
另一条直线的倾斜角为0°,
则两直线互相垂直.
二、两条直线垂直的判定
特别地：一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.
y
l1
O
x
l2
两直线的斜率均存在.
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：直线AB的斜率
直线PQ的斜率
分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
例4 已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状.
分析：结合图形可猜想AB⊥BC，
△ABC为直角三角形.
1.已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2,-1)，直线l2过点
C(1，0)和D(0，a)，若l1∥l2,则a的值为( )
A.-2 B.2 C.0 D.
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
若直线l经过点(a-2,-1)和点(-a-2,1)且与经过点
(-2，1)，斜率为 的直线垂直，则实数a的值为____________.
ABCD的四个顶点是A(2,2+2,C(0,2-2),D(4,2).求证：四边形ABCD为矩形。
3.判断下列各对直线平行还是垂直：
（1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为-1的直线l2.
（2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点 M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.
解：（1）垂直.
解：（2）垂直.
小结
:
2
1
l
l
和
结论1：对于两条不重合的直线
.
,
2
1
都不存在
或
k
k
l1∥l2 k1＝k2.
条件：不重合、都有斜率
结论2：
:
2
1
l
l
和
对于任意两条直线
.
,
2
1
另一个不存在
中一个为0，
或
k
k
l1⊥l2 k1k2=-1.
条件：都有斜率
作用：根据斜率可证明三点共线、判断三角形或四边形的形状。
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(3,2),D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
阶段检测（一）
D
C
B
A
x
y
O
平面中两条直线的位置关系：
平行
相交
斜率相等
斜率不相等
阶段小结
在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，当直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
两线垂直
l1⊥l2 α2= α1+90o，
k2=tanα2=tan(α1+90o)
k1=tanα1
l1⊥l2 k1 k2= -1
法一：
探究两条直线垂直，斜率的关系
l1
l2
α1
x
y
O
α2
法二：
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是
l1⊥l2 a⊥b
a·b = 0
1×1+k1k2= 0
k1k2= –1.
l1⊥l2 k1 k2= -1
l1
l2
α1
x
y
O
α2
对于斜率分别为k1，k2的两条不重合的直线，有
l1 ⊥ l2 k1 · k2= -1
当或的倾斜角为时，若 ，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然.
两条直线垂直的判定
1.已知试判断直线与位置关系.
例题
Q
P
B
A
x
y
O
2.已知三点，试判断的形状.
1、若直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直
D
2、若直线直线 的倾斜角为，则直线 的斜率为_______
阶段检测（二）
3、判断下列各对直线是否平行或垂直：
（1）经过两点的直线 ，与经过点且斜率为1的直线；
（2）经过两点的直线 ，与经过点且斜率为-5的直线.
平行
垂直
4、试确定m的值，使过A(m,1)，B(-1,m)两点的直线与过P(1,2)，Q(-5,0)两点的直线:
（1）平行；
（2）垂直.
m=-2
l1⊥l2 k1k2= –1
l1∥l2 k1=k2
数形结合
化归转化
课堂小结