高中数学之导数的概念与切线问题（含答案）

导数的概念与切线问题
一．导数的定义与几何意义
函数 y f (x)在 x x0处的导数：称函数 y f (x)在 x x0处的瞬时变化率 lim y lim f (x0 x) f (x0 )为
x 0 x x 0 x
导 数 函数 y f (x) '在 x x0处的导数，记作 f (x0 )或，即 f ' (x ) lim y lim f (x0 x) f (x 0 )0
的 定 x 0 x x 0 x
义
函数 f (x)的导函数：称函数 f ' (x0 ) lim
f (x0 x) f (x0 ) 为 f (x)的导函数.
x 0 x
导 数 '
函数 f (x)在 x x0处的导数 f (x0 )是曲线 y f (x)在点 P( x0 , f (x
'
0 ) )处的切线的斜率 k，即 k= f (x )的 几 0
何 意
注：曲线 y f (x)在点处的切线是指 P( x0 , f (x
'
0 ) )为切点斜率为 k= f (x义 0
)
的切线，是唯一的一条切线；
曲线 y f (x)过点 P( x0 , f (x0 ) )的切线，是指切线经过点 P，点 P可以是切点，也可以不是切点，而且
这样的直线可能有多条.
二. 导数的运算
① f (x) C, f ' (x) _____ f (x) x ；② , f ' (x) _____
③ f (x) sin x, f ' (x) _____；④ f (x) cosx, f ' (x) _____
基本初等函数的导数公
式
⑤ f (x) a x , f ' (x) _____；⑥ f (x) e x , f ' (x) _____
⑦ f (x) log xa , f ' (x) _____；⑧ f (x) lnx, f ' (x) _____
①[ f (x) g(x)]' _________ ；②[ f (x) g(x)]' _________
f (x)
导数的运算法则 ③[ ]' _________ ；④[Cf (x)]' _________
g(x)
⑤复合函数的导数，复合函数 y f (g(x))，设u g(x)，则 y' f (u)' u(x)'
导数的概念与公式应用
例 1已知 f (2) 3, f ' (2) 4，则 lim f (2 2x) f (2 4x) 6 _______
x 0 x
解：注意到 x 0，根据导数的定义，需构造
lim f (2 2x) f (2 4x) 6 lim f (2 2x) f (2) f (2 4x) f (2) f (2 2x) f (2) f (2 4x) f (2) lim lim
x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x
f (2 2x) f (2) f (2 4x) f (2)
2lim 4lim 2 f ' (2) 4 f ' (x) 2 f ' (2) 8
x 0 2x x 0 4x
练习 1
lim f (1 2 x) f (1)1.已知函数 f(x)＝2ln(3x)＋8x，则 的值为( )
x 0 x
A．10 B．－10 C．－20 D．20
2. f (x) ax4 bx2若 c满足 f ' (1) 2，则 f ' ( 1) ( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.已知对任意实数 x，有 f ( x) f (x), g( x) g(x)，且 x>0时， f ' (x) 0, g ' (x) 0，则 x<0时，( )
A. f ' (x) 0, g ' (x) 0 B. f ' (x) 0, g ' (x) 0
C. f ' (x) 0, g ' (x) 0 D. f ' (x) 0, g ' (x) 0
导数的基本运算
例 2 已知 f (x) f ' (1)x3 x2 4x，则 f (x) _______
f ' (x) 3 f ' (1)x2解：直接求导得 2x 4，令 x=1，得 f ' (1) 3 f ' (1) 2即有 f ' (1) 1，故
f (x) 3x3 x2 4x
练习 2
1. f (x) sin 2函数 x的导数 f ' (x) _______
2. 函数 f (x) cos(1 x2 )的导数 f ' (x) _______
3. 等比数列{an}中， a1 2,a8 8函数 f (x) x(x a1)(x a2 ).....(x a8 )，则 f ' (0) _______
4. 函数 f (x)的导数为 f ' (x)，满足 f (x) 2xf ' (x) ln x，则 f ' (1) _______
5. 函数 f (x) sinx cosx，且 f ' (x) 1 f (x)，则 tan2x的值是________
2
3sin cos 5
6. 函数 f (x) x3 x2 4x 1 , [0, ] ,导数 f ' ( 1)的取值范围是( )
3 2 6
A. [3,4 3] B. [3,6] C.[4 3，6] D.[4 3,4 3]
导数的几何意义
x
例 3 曲线 y 在点(1,1)处的切线方程为_________
2x 1
解：求导 y' (2x 1) 2x 1 ，当 x=1时， y' 1，故切线方程为 y=-x+2
(2x 1)2 (2x 1)2
练习 3
1
1. 曲线 y 和 y=x2在它们交点处的两条切线与 x轴所围成的三角形的面积是________
x
2. 设函数 f (x) g(x) x2，曲线 y g(x)在点 (1, g(1))处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f (x)在
(1, f (1))处的切线的方程为________
3. 已知函数 f (x)在 R上满足 f (x) 2 f (2 x) x2 8x 8，则曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方
程是( )
A. y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3
15
4.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y x3 和 y ax2 x 9都相切，则 a等于( )
4
25 21 7 25 7
A.-1或 B.-1或 C. 或 D. 或7
64 4 4 64 4
5.若曲线 f (x) ax3 ln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是_______
6.曲线 y ln x上的点到直线 y=x+3的最短距离为_________
7. 3已知直线 y=2x-2为曲线 f (x) x ax的一条切线，则 a=__________
切线问题的综合应用
例 4 已知函数 f (x) xn xn 1(n N*)，曲线 y f (x)在点 (2, f (2))处的切线与 y轴的交点的纵坐标为
bn ，则数列{bn}的前 n项和为____
f ' (x) nxn 1解：求导得 (n 1)xn x=2 n 1 n n 1， 时， f ' (2) n 2 (n 1) 2 (n 2)2 ，
f (2) 2n 2n 1 2n n 1，切线方程为 y (n 2)2 (x 2) 2n，令 x=0得
y= y (n 2)2n 2n (n 1)2n ,bn (n 1)2
n
，前 n项和Sn 2 2 3 2
2 4 23 ....n 2n 1 (n 1) 2n ；
2Sn 2 2
2 3 23 4 24 ....n 2n (n 1) 2n 1 n 1，两式相减得Sn n 2
练习 4
1 s
1. 若曲线 y a ln x(a 0) 2与曲线 y x 在它们的公共点 P(s，t)处具有公共切线，则 _______
2e t
2. y e x a 2已知曲线 与 y x 恰好存在两条公切线，则实数 a的取值范围是_________
3. 2 2已知函数 f (x) x 的图像在点 (x0 , x0 )处的切线为 l，若 l也与函数的图像 y ln x，x (0,1)相切，则
x0必满足( )
0 x 1 1 2A. 0 B. x0 1 C. x0 2 D. 2 x2 2 2 0
3
4. 点 P是曲线 y x2 ln x上的任意一点，则点 P到直线 y x 2的最小距离是__________
5. 若曲线 y ln(x a)的一条切线为 y ex b e，其中 a,b为正实数，则 a 的取值范围是( )
b 2
2 e
A. ( , ) B. [e, ) C. [2, ) D.[2，e)
e 2
课后检测
1. 已知函数 f (x) ax3 x 1的图像在点 (1, f (1))处的切线过点(2,7),则实数 a=_________
f (x) x3 x 22. 若点 P在曲线 上移动，设点 P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__________
3
x2 a 3
3. 若曲线 f (x) 在点 (1, f (1))处的切线的倾斜角为 ，则实数 a=_________
x 1 4
4. 若满足 f (x) ax4 bx2 c满足 f ' (1) 2，则 f ' ( 1)=( )
A. -4 B.-2 C.2 D.4
5. 设函数 f (x)在 R 2上可导， f (x) x f ' (2) 3x，则 f ( 1)与 f (1)的大小关系是_________
1
6. 已知函数 y f (x)的图像在点M(1, f (1))处的切线方程是 y x 2，则 f (1) f ' (1) =_______
2
y ln x7. 已知函数 在点 (m, f (m))处的切互平行于 x轴，则实数 m=_________
x
2
8. 函数 f (x) x sinx，其导函数记为 f ' (x)，则 f (2018) f ( 2018) f ' (2018) f ' ( 2018)的e 1
值为_________
参考答案
练习 1
1. C 2.B 3.B
练习 2
3
1. sin2x 2.2xsin(1+x2) 3.28 4.1 5. 6.2 2 7.1
4
练习 3
1.2 e 2. ( ,2 ln 2 2) 3.D 4. 2 5.C
课后检测
1.1 2.[0, ) 3 [ , ) 3.-1 4.B 5. f ( 1) f (1) 6.3 7.e 8.2
2 4