广东省湛江市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

湛江市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册（20%），选择性必修第一册第一章到第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．英文单词peach所有字母组成的集合记为，英文单词apple所有字母组成的集合记为，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
3．若直线的斜率大于－4，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．在四面体中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为．若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B．32 C． D．48
8．已知点为的重心，分别为边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线与直线垂直，则的值可能是（ ）
A． C．0 D．1
10．广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示：
则（ ）
A．广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增
B．广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万
C．从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为
D．广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万
11．圆与圆的位置关系可能是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．内切
12．在棱长为1的正方体中，，则（ ）
A．当平面时，
B．的最小值为
C．当点到平面的距离最大时，
D．当三棱锥外接球的半径最大时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若是奇函数，且，则______．
14．在空间直角坐标系中，已知，则直线与所成角的余弦值为______．
15．直线的倾斜角为______．
16．若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线经过直线与直线的交点．
（1）若直线经过点，求直线在轴上的截距；
（2）若直线与直线平行，求直线的一般式方程．
18．（12分）
分别为内角的对边．已知．
（1）求；
（2）若为钝角，且，求的周长．
19．（12分）
如图，在正三棱柱中，分别为的中点，．
（1）证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）
已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于2．
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆截直线所得弦长；
（3）若是圆上的一个动点，求的最小值．
21．（12分）
如图，在底面为梯形的四棱锥中，底面，．
（1）证明：平面．
（2）延长至点，使得，求点到平面的距离．
22．（12分）
已知圆．
（1）证明：圆恒过两个定点．
（2）当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率．
高二数学参考答案
1．C因为，所以．
2．C因为，所以．
3．A直线的斜率为，解得．
4．C设直线与平面所成的角为，则，则．
5．B因为抛物线的顶点坐标为，所以圆的圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为．
6．B因为为的中点，所以．因为为的中点，所以，所以．
7．A如图，设关于直线对称的点为，则得即，易知，当三点共线时，取得最小值，最小值为．
8．D因为点为的重心，所以，则．因为三点共线，所以．所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为6．
9．AC依题意可得，解得或．
10．BCD由图可知，错误．广东省2017到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为11169，11346，11521，12601.25，12656.80，12684，则极差为万，，所以第70百分位数为12656.80万，B，D均正确．
因为这6个数据中大于12000万的有3个，所以从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为，C正确。
11．ABD圆的标准方程为，因为，所以圆的圆心在圆的内部，所以两圆的位置关系可能是内含、相交、内切，不可能是外切．
12．AB以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，则，
当平面时，，解得，A正确．
，当时，取得最小值，且最小值为，B正确．
当是的中点，即时，平面底面，此时，点到平面的距离最大，C错误．
因为，所以过斜边的中点作平面的垂线（图略），则外接球的球心必在该垂线上，所以球心的坐标可设为，半径为，
因为，所以，
所以．在三棱锥中，，所以，当且仅当时，等号成立，错误．
13． 因为是奇函数，所以，所以，则．
14． 因为，所以，所以直线与所成角的余弦值为．
15． 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为．
16． 因为曲线与圆恰有4个公共点，所以直线均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，则有解得．
17．解：（1）由解得即和的交点坐标为，
因为直线经过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线在轴上的截距为．
（2）因为直线与直线平行，
所以直线的方程为
又直线经过点，所以，得．
所以直线的一般式方程为．
18．解：（1）因为，所以，
因为，所以．所以．
（2）因为为钝角，且，所以，
由余弦定理得，即，
所以的周长为．
19．（1）证明：因为分别为的中点，所以．
在正三棱柱中，，所以．
又平面平面，所以平面．
（2）解：取的中点，连接．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，
则取，则．
易知是平面的一个法向量，
所以
故平面与平面夹角的余弦值为．
20．解：（1）由已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，得圆的圆心在直线上，
所以圆C的直径为，即，
设圆心的坐标为，
则，所以圆的标准方程为．
（2）因为圆心到的距离，
所以圆截直线所得弦长为，
（3），
因为表示点与点之间的距离，又点在圆上，所以的最小值为，
所以的最小值为．
21．（1）证明：因为，所以．
因为底面，所以，
因为，所以平面ABE
又，所以平面．
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．
设平面的法向量为，则，即令，得．
因为，所以点到平面的距离．
22．（1）证明：圆的方程可化为．
令得或
故圆恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和．
（2）解：当时，圆的方程可化为．
由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立消去得，
所以，解得．
因为，所以，解得，又，所以．