中考数学复习方略-08研讨会资料1

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名称 中考数学复习方略-08研讨会资料1
格式 rar
文件大小 391.0KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2008-05-30 16:45:00

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文档简介

北师大版2008中考数学河北研讨会资料
1探索规律型
新课标指出:不仅关注对学生学习结果的评价,也要关注对他们数学活动过程的评价。近几年开放探索性问题在中考中也越来越受重视。主要考查学生探索规律、表达规律、抽象规律及证明规律的能力。
一:【要点梳理】
探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活泼的活动,探索性问题存在于一切学科领域,在数学中则更为普遍。 初中数学职工的探索性试题主要指命题缺少题设或未给出明确的结论,需要经过推断、补充并加以证明的命题。探索性问题及解题策略主要有:
1条件探索型;一般是给出问题的部分条件及结论,让考生探索缺少的条件。解决此类问题的采用方法是采用逆向思维,从结论及部分条件出发,推出所需的条件
2结论探索型:一般是给定某些条件,让考生根据条件探索相应的结论。符合条件的结论可能是多样的,也可能只有一种或不存在,需要进行推断,甚至还要探索条件变化中结论
3情景探索型:一般指给出问题的实际情况,通过数学建模,把实际问题转化为数学问题,或运用数学知识设计各种方案,为决策提供理论依据。这类问题常常以实际生活为背景,涉及社会、生产、科技、经济以及数学本身等各个方面的知识,着重考查学生的数学应用能力和创新能力
4策略探索型:一般指解题方法不唯一,或解题途径不明确的问题,要求考生在解题过程中不因循守旧、墨守成规,通过积极的思考,创新求索,优化解题策略。
5规律探索型:这类题目是指一定条件下需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出一组变化的式子、图形或条件,要求考生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律
二:【例题与练习】
1.如图,是由若干星星组成的型如正多边形的图案,每条边(包括两个顶点)有n
(n≥2)星星,每个图案中星星总数为S,按此规律推断S与n(n≥3)的关系是:S=______
图号 顶点数 棱数 面数
(a) 8 12 6
(b)
(c)
(d)
(e)
2.下列图形中图(a)的正方形木块,把它切去一块,
得到如图(b)(c)(d)(e)的木块
(1)我们知道图(a)的正方形木块有8个顶点、
12条棱、6个面,请你将图(b)(c)(d)
(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表:
(2)根据上表,各种木块的顶点数、棱数、面数之
间的数量关系可以归纳出一定的规律,请你试
写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式
3.如图①②③中,点E,D分别是正三角形ABC、正四边形AB-CM、正五边形ABCMN中以C为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于点P
(1)图①中∠APD的度数为________;
(2)图②中∠APD的度数为________,
图③∠APD的度数为_______;
(3)根据前面的探索,你能否将本题推
广到一般的正n变形情况?若能,写出推广的题目和结论:若不能,请说明理由。
4.一只青蛙在如图8×8的正方形(每个小正方形的边长为1)网
格的格点(小正方形的顶点)上跳跃,青蛙每次所跳的最远距
离为根号5,青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回原点A,则
所构成的闭封图形的面积的最大值是_______。
5.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著
作。在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布
置而成的。《九章算术》中的算筹图是坚排的,为看
图方便,我们把它改为横排,如图①,图②.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项,把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的算筹图我们可以表述为( )
A.; B.; C.; D.
6.观察表一,寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的的一部分,其中a,b,c的值分别为( )
A.20,29,30 B.18,30,26 C.18,20,26 D.18,30,28
18
e
32
1 2 3 4 ...
2 4 6 8 ...
3 6 9 12 ...
4 8 12 16 ...
… … … … ...
20 24
25 b
12
15
a
表一 表二 表三 表四
7.假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角,由于受
了一点伤,只能爬行,不能非,而且始终向有方(包括右
上,右下)爬行,从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去,
例如,蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有:蜜蜂→1号;蜜蜂→0
→1号,共有2种不同的爬法,问蜜蜂从最初位置爬到4
号蜂房共有几种不同的爬法( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.探究归纳:切饼中的数学问题:一个饼放在桌子上用刀切下去,一刀可以切成2块,2刀最多切成4块,3刀最多可以切成7块,4刀最多可以切成11块(如图)
上述问题转化为数学模型实际上就是n条直线最多把平面分成几块的问题。有没有规律呢?请先进行试验,然后回答以下问题
直线条数 1 2 3 4 5 6 ...
分成的最多平面数 2 4 7 11 ...
(1)填表:
(2)设n条直线把平面最多分
成的块数是S,请学出S关于n的表达式,(不需要解题过程)。
9.将正六边形纸片按下列要求分别分割(每次分割,纸片均不得有剩余):第一次分割:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中的一
个菱形再分割成一个正六边型和两个全等的正三角形;第二
次分割:将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全
等的菱形,然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形
和两个全等的正三角形;按上述分割方法进行下去……
(1)请你在下图中画出第一次分割的示意图;
分割次数(n) 1 2 3 ...
正六边形的面积S
(2)若原正六边形的面积为a,请你通过操作和观察,将第一次,第二次,第三次分割后所得的正六边形的面积填出下表:
(3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积S与分割次数a有何关系(S用含a和n的代数式表示,不需要写出你的推理过程)?
10.探索:在如图①至图③中,三角形ABC的面积为a,
(1)如图①,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为S,则S1=______(用含a的代数式表示);
(2)如图②,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD-BC,AE=CA,连接DE,若△DEC的面积为S,则S2= (用含a的代数式表示)并写出理由;
(3)在图②的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图③),若阴影部分的面积为S3,则S3=______(用汗a的代数式表示)
发现:象上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图③),此时,我们称△ABC向外扩展了一次,可以发现,扩展后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____倍。
应用:去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花,今年准备扩大种植规模,把△ABC向外进行两次扩展,第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH(如图④)。求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m 2?
2图表信息型
图表、图象是一种最直观形象的数学语言,学生需要对呈现的各种信息进行加工处理,其关键是正确获取图表、图象中的信息。对于这类题型需要学生能够透过现象发现规律揭示本质,这类题型能有效地考查学生的观察思考、分析推理、类比迁移及合理决策的能力。 
一:【要点梳理】
1.图象信息题是指由图象(表)来获取信息.从而达到解题目的的题型。
2.图象信息题的图象大致分两大类.(1)是课本介绍的基本函数图象(如直线、双曲线、抛物线);(2)是结合实际情境描绘的不规则图象(如折线型、统计图表等).这种题型一般是由图象给出的数据信息,探求两个变量之间的关系,进行数、形之间的互换.
3.图象信息题的解决方法是观察图象,从图象提供的已知条件出发,认真分析,由图象信息建模出有关函数解析式,揭示问题的数学关系和本质属性,找到了解题的途径.
4.解图象信息题的关键是“识图”和“用图”.解这类题的一般步骤是:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对已获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系;(3)选择适当的数学工具,通过建模解决问题.
5.图象信息题大致有三类:基本概念类、基础综合类和压轴综合类.题型可涉及填空、选择和解答等.
二:【例题与练习】
1.假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图所示,
那么可以知道:(1)这是一次    m赛跑;(100)
(2)甲、乙两人中先到达终点的是     ;(甲)
(3)乙在这次赛跑速度为   m/s.(8)
2.如图是上体育课某学生推铅球时.铅球轨迹高度y(m)与水
平距离x(m)的函数图象.铅球推出的水平距离是    m;
这段图象的y关于x的函数解析式是  (10m;)
3.某校九年级(8)班共有学生50人,据统计原来每人每年用与
购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查.若该班学生集
体改饮某品牌的桶装纯净水.则年总费用由两部分组成,一部分
是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净
水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系.
(1)求y与x的函数关系式;(y=-80x+720)
(2)若该班每年需要纯净水380桶,且a为120时,请你根据提供的信息分析一下:该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料,哪一种花钱更少?(桶装纯净水)
(3)当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水一定核算?从计算结果来看,你有何感想(不超过30字)?(当a=9/2时,改饮桶装纯净水一定核算)
4.某校部分住校生,放学后到学校锅炉房打水,每人接水2升,他们先同时打开两个放水龙头,后来因故障关闭一个水龙头.假设前后两人接水间隔时
间忽略不计,且不发生泼洒,锅炉内的余水量y(升)与接水时
间x(分)的函数图象如图.(1)根据图中信息,请你写出一个
结论;略(2)问前15名同学接水结束共需要几分钟(5.5分)
(3)小敏说:今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰
好用了3分钟.你说可能吗?请说明理由.(可能,理由略)
5.为宣传秀山丽水,在丽水文化摄影节前夕,丽水电视台摄制组乘船
往返于丽水(A)、青田(B)两码头,在A、B间设立拍摄中心
C,拍摄欧江沿岸的景色,往返过程中,船在C,B处均不停留,
离开码头A,B的距离s(km)与航行的时间t(h)之间的函数
关系如图所示.根据图象提供的信息,解答写列问题:
(1)船只从码头A到B,航行的时间为 h,航行的速度为 km/h;船只从码头B到A,航行的时间为   h,航行的速度为   km/h.(1)3,25;5,15;
(2)过点C作CH∥t轴,分别交AD,DF与点G、H,设AC=x,GH=y,求出y与x之间的函数关系式.(2);
(3)若拍摄中心C设在离A码头25km处,摄制组在拍摄中心C分两组行动,一组乘橡皮艇漂流而下,另一组乘船到达码头B后,立即返回.
①求船只往返C,B两处所用的时间; (3)① ;②20km
②两组在途中相遇,求相遇时船只离拍摄中心C有多远?
6.改革开放以来,衢州的经济得到长足发展近来,
衢州市委市政府又提出“争创全国百强城市"的
奋斗目枥己下面是衢州市1999--2004年的生
产总值与人均生产总值的统计资料:请你
根据上述统计资料回答下列问题:
(1)1999—2004年间,衢州市人均生产总值增长
速度最快的年份是 .这一年的增长率为 .(2004;21.03%)
(2)从1999年至2004年衢州市的总人口增加了约 万人(4.51)
(3)除以上两个统计图中直接给出的数据以外,你还能从中
获取哪些信息 请写出两条.略
7.2003年春季,我国部分地区SARS流行,
党和政府采取果断措施,防治结合,很
快使病情得到控制.如图是某同学记载
的5月1日到30日每天全国的SARS
新增确诊病例数据图.将图中记载的数
据每5天作为一组,从左至右分为第一
组至第六组,下列说法:
①第一组的平均数最大,第六组的平均数最小;
②第二组的中位数为138;
③第四组的众数为28.其中正确的有( )
A.0个; B.l个;C.2个;D.3个答案(D)
8.如图是某报纸公布的我国“九·五”期间国内生产总
值的统计图,那么“九.五”期间我国国内生产总值
平均每年比上一年增长( )
A.0.575万亿元;B.0.46万亿元
C.9.725万亿元;D.7.78万亿元;答案:(A)
9.据信息产业部2003年4月公布的数字显示,我
国固定电话和移动电话用户近年来都有大幅度增
加,移动电话用户已接近固定电话用户根据右图
所示,我国固定电话从_____年至____年的年增
加量最大;移动电话从____年至____年的年增加
量最大.(1999,2000,2001,2002)
10.某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的卫生要求需要完成总面积为80cm2三个项目的任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作如下图所示:
(1)从上述统计图中可知:每人每分钟能擦课桌椅 ;擦玻璃,擦课桌椅,扫地拖地的面积分别是 m2, m2, m2;
(2)如果x人每分钟擦玻璃的面积是y,那么y关于x的函数关系式是 ,
(3)他们一起完成扫地和拖地的任务后,把这13个人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅。如果你是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能最快地完成任务?
3新定义型
所谓“新定义”型试题是指给出一个考生从未接触过的新概念,要求考生现学现用,其目的是考查学生的阅读理解能力、迁移能力和创新能力,旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式。解答这类题目的关键是读懂题意,确定探索方向,寻找合理的解题方法。
【例题与练习】
1.用“☆”定义新运算: 对于任意实数a、b, 都有a☆b=b2+1。 例如7☆4=42+1=17,那么5☆3= ;当m为实数时,m☆(m☆2)= 。
2.我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论.
3.我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则我们称这个四边形为等对角线四边形.请回答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹的锐角为60°,这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论.
4方案设计型
方案设计问题的基本类型:
(1)类型一:提供讨论材料,进行合理猜想.此类问题一般设置一段讨论的材料,让考生进行科学合理的判断、推理、证明.
(2)类型二:画图设计,动手操作。此类问题一般给出图形和若干条信息,让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案
(3)类型三:设计方案,比较择优。此类问题一般给出问题情景,提出要求,让考生寻找最佳的解题方案,设计出合理的方案。
一:【要点梳理】
方案设计问题的基本类型:
(1)类型一:提供讨论材料,进行合理猜想.此类问题一般设置一段讨论的材料,让考生进行科学合理的判断、推理、证明.
(2)类型二:画图设计,动手操作。此类问题一般给出图形和若干条信息,让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案
(3)类型三:设计方案,比较择优。此类问题一般给出问题情景,提出要求,让考生寻找最佳的解题方案,设计出合理的方案。
二:【例题与练习】
1.如图,小明想用皮尺测量池塘A、A间的距离,但现有皮尺无法直接测量,学习有关知识后,他想出了一个方法:先在地上取一个可以直接到达A、B两点的点O,连接OA、OB,分别在OA、OB上取中点C、D,连接CD,并测得CD=a,由此他即知道A、B间的距离是( )
A.; B.; C.; D.
2.如图,转盘被分成六个扇形区域,并在上面依次写上数字1,2,3
4,5,6,转盘指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止请你用这
个转盘设计一个游戏(六等分扇形不变),使自由转动的转盘停止时,
指针指向的区域的概率是2/3,并说明你的设计理由(设计方案可用
土所示,也可以用文字表述)。
产品 每件产品的产值
甲 4.5万元
乙 7.5万元
3.市"康智'牛奶乳业有限公司经过市场调研,决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产
压库”,要求这两种产品全年共新增产品20件,这20件的总价值p(万元)满足:110已知有关数据如下表所示,那么该公司明年应怎样安排
新增产品的产量
收地运地 C D 总计
a X吨 200吨
b 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
4.我市某乡A,B两村盛产柑橘,A村有柑橘200吨,B村 有柑橘300吨。现在将这些柑橘运到C,B两个冷藏仓库。已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨:从A村运到C,D两处的费用分别为每吨20元至25元,从B村运到C,D两处的费用分别为每吨15至18元。设从A村运到C仓库的柑橘质量为x吨,A,B两村运往两仓库的柑橘费用分别为yA元和yB元
(1)请填写下表并求出yA和yB与x之间的
函数关系式
(2) 试讨论A,B两个村中,那个村的运费少;
(3) 考虑到B村的经济承受能力,B村的的柑
橘不超过4830元。在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费最小?求出最小值。
5.如图,在人民公园人工湖两侧的A,B两点欲建一座观赏桥,由于受
条件限制,无法直接度量A,B间的距离,请你用学过的知识,在
图中设计三种测量方案要求:
(1)画出你设计的测量平面草图;
(2)在图形中标出测量的数据(长度用a,b,c......角度用α,β,γ,
…..表示)并写出测量的依据及AB的表达式。
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900, ∠CAB=300,用圆规和直尺
作图,用两种方法把它分成两个三角形,且要求其中一个三
角形是等腰三角形(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
7.如图,某市经济开发区建有B、C、D三家食品加工厂,这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上,它们之间有公路相通,且AB=CD=900m,AD=BC=1700m。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN,B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处,EC=500m。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担,每米造价800元。
(1)要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自
来水管道路线应怎样设计?并在图形中画出。
(2)求出各厂所建的自来水管道的最低的造价各是多少?
8.某工厂现有甲种原料226kg,乙种原料250kg,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共40件,生产A、B两种产品用料情况如下表:
需要甲原料 需要乙原料
一件A产品 7kg 4kg
一件B产品 3kg 10kg
设生产A产品x件,请解答下列
问题:
(1)求x的值,并说明有哪几种符
合题意的生产方案。
(2)若甲种原料50元/kg,乙种原料40元/kg,说明(1)中哪种方案较优?
9.课题研究:现有边长为120cm的正方形铁皮,准备将它设计制作成一个开口的水槽,使水槽能通过的水的流量最大。初三(1)班数学兴趣小组讨论得出结论:在水流速度一定的情况下,水槽的横截面面积越大,则通过水槽的水的流量越大。为此他们对水槽的横截面进行了探索:
(1)方案一:把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图①),若∠ACB=900,设AC=xcm,该水槽的横截面面积为ycm2,请你写出y关于x的函数关系(不必写出x的取值范围),并求出当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?
方案二:把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图②),若∠ABC=1200,请你求出该水槽的横截面面积的最大值,并与方案一中的y最大值比较
(2)假如你是该兴趣小组的成员,请你再提供两种方案,使你所设计的水槽横截面面积更大。画出你设计的草图,标上必要的数据(不要求写出解答过程)
10.正方形通过剪切可以拼成三角形,方法如图1:请你仿上用图示的方法,解答下列问题:
操作设计:
⑴如图2,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形;
⑵如图3,对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形;
⑶如图4,对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形;
5阅读理解型
通过阅读提供的材料,获取信息,理解新概念,然后结合新概念对新问题进行研究,它能有效地考查学生的综合阅读理解的能力。例如安徽省06年第23题,从阅读(学习)能力、作图能力、探究能力、逻辑推理能力等方面对学生初中平面几何知识的全面考查。
一:【要点梳理】
阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点。知识的覆盖面较大,它可以是阅读课本原文,也可以是设计一个新的数学情境,让学生在阅读的基础上,理解其中的内容、方法和思想,然后在把握本质,理解实质的基础上作出回答。这类问题的主要题型有:
(1)阅读特殊范例,推出一般结论;
(2)阅读解题过程,总结解题思路和方法;
(3)阅读新知识,研究新问题等。
这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容,善于总结解题规律,并能准确阐述自己的思想和观点,考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等。因此,在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容。搞清楚知识的来龙去脉,不仅要学会数学知识,更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法。
二:【例题与练习】
1.我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的
三边长,求它的面积.用现代式子表示即为: HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.3 …①(其中a、b、c为三角形的三边长,s为面积).而另一个文明古国古希腊也有求三角
形面积的海伦公式:……②(其中).
(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形的面积.
(2)你能否由公式①推导出公式②?请试试.
2.阅读下列材料,并解决后面的问题:在锐角△ABC中,∠A、
∠B、∠C的对边分别是a、b、c.过A作AD⊥BC于D(如图),则
sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即.
 同理有,.所以………(*)
 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
  (1)在锐角三角形中,若已知三个元素a、b、∠A,运用上述结论(*)和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C,请你按照下列步骤填空,完成求解过程:
第一步:由条件a、b、∠A ∠B;
第二步:由条件 ∠A、∠B ( http: / / www.1230.org / ) ∠C;
第三步:由条件 c.
3.阅读:我们知道,在数轴上,x=1表示一个点,而在平面直角坐标系中,x=1表示一条直线;我们还知道,以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象,它也是一条直线,如图①.观察图①可以得出:直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标(1,3)就是方程组的解,所以这个方程组的解为;在直角坐标系中,x≤1表示一个平面区域,即直线x=1以及它左侧的部分,如图②;y≤2x+1也表示一个平面区域,即直线y=2x+1以及它下方的部分,如图③.
回答下列问题:
(1)在直角坐标系中,用
作图象的方法求出方程
组的解;
(2)用阴影表示 ①    ②        ③
HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ,所围成的区域.
4.先阅读下列材料,再解答后面的问题材料:23=8,此时,3叫做以2为底8的对数,记为.一般地,若,则n叫做以为底b的对数,记为,则4叫做以3为底81的对数,记为.
问题:(1)计算以下各对数的值:.
(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式? 之间又满足怎样的关系式?
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?
根据幂的运算法则:以及对数的含义证明上述结论.
5.某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质,可以拓展到扇形的相似中去.例如,可以定义:“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质:弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方….请你协助他们探索这个问题.
(1)写出判定扇形相似的一种方法:
若 ,则两个扇形
相似;
(2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半
径为a、弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为_ ;
(3)如图1是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB为30cm,现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇(如图2),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径.
6.阅读材料,大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+…+100=?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+,其中n是正整数。现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+…=?
观察下面三个特殊的等式
; ;
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=
读完这段材料,请你思考后回答:
⑴      
⑵         
⑶        (只需写出结果)
7.阅读材料,解答问题:如图表示我国农村居民的
小康生活水平实现程度.地处西部的某贫困县,
农村人口约50万,2002年农村小康生活的综合
实现程度才达到68%,即没有达到小康程度的
人口约为(1-68 %)×50万= 16万.
(1)假设该县计划在2002年的基础上,到2004年底,使没有达到小康程度的16万农村人口降至 10.24万,那么平均每年降低的百分率是多少?
(2)如果该计划实现,2004年底该县农村小康进程接近图2-7-2中哪一年的水平?(假设该县人口2年内不变)
8.如图所示,甲、乙两辆大型货车于下午2:00同时从A地出发驶往P市,甲车沿一条公路向北偏东60o方向行驶,直达P市,其速度为30千米/时;乙车先沿一条公路向正东方向行驶半小时后到达B地,卸下部分货物,再沿一条通向
东北方向的公路驶往P市,其速度始终为40千米/时.
⑴ 设出发后经过t小时,甲车与P市的距离为s千米,求s与t之
间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.
⑵ 已知在P市新建的移动通讯接收发射塔,其信号覆盖面积只可
达P市周围方圆30千米的区域(包括边缘地带人除此之外,该地区无其他发射塔.故甲、乙两车司机只能靠P市发射塔进行手机通话联系,问甲、乙两车司机从什么时刻开始可取得联系(精确到分钟)
9.阅读下面材料:
在计算3+5+ 7+ 9 + 11+13 +15+17+19+21时,我们发现,从第一个数开始,以后 的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值,具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以用公式来计算它们的和(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,d表示这个差的定值),那么3+5+ 7+ 9 + 11+13 +15+17+19+21=×2=120
用上面的知识解决下列问题:为了保护长
江,减少水土流失,我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林,从1995年起在坡荒地上植树造林,以后每年又比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地,由于每年因自然灾害,树木成活率,人为因素等的影响,都有相当数量的新坡荒地产生,上表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据,假设坡荒地全部种上树后,不再水土流失形成新的坡荒地.问到哪一年,可以将全县的所有坡荒地全部种上树木?
10.如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫作位似三角形.它们的相似比又
称为位似比,这个点叫做位似中心.利用三角形的
位似可以将一个三角形缩小或放大.
⑴ 选择;如图⑴所示,点O是等边三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点.则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形.此时,△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )A.2,点P;B.,点P ;C.2,点O ;D.,点O
⑵ 如图⑵所示,用下面的方法可以画面AOB的内接等边三角形.阅读后证明相应问题:
画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上; ②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′;
③连接C′D′,则ΔC′D′E′是△AOB的内接三角形, 求证:△C′D′E′是等边三角形.
6运动变化型
在初中数学中与“动”有关的问题一般都是教学中的难点,这类试题以运动的点、线段、角或图形为基本的条件,给出一个或多个变量,要求确定变量与其他量之间的关系,在一定条件下,进行相关的几何计算或综合性解答。解决这类问题,一般要根据图形变化的过程,对不同的情况进行分类求解,其关键是寻求变化过程中不变的等量关系和变量关系。
【例题与练习】
1、河北(05)图15—1至15—7中的网格图均是20×20的等距网格图(每个小方格的边长均为1个单位长).侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况.当5个单位长的列车(图中的 )以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时,列车将阻挡王凯的部分视线,在区域MNCD内形成盲区(不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙).设列车车头运行到M点的时刻为0,列车从M点向N点方向运行的时间为t(秒).
(1)在区域MNCD内,请你针对图15—1,图15—2,图15—3,图15—4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区,并在盲区内涂上阴影.
(2)只考虑在区域ABCD内形成的盲区.设在这个区域内的盲区面积是y(平方单位).
①如图15—5,当5≤t≤10时,请你求出用t表示y的函数关系式;
②如图15-6,当10≤t≤15时,请你求出用t表示y的函数关系式;
③如图15-7,当15≤t≤20时,请你求出用t表示y的函数关系式;
④根据①~③中得到的结论,请你简单概括y随t的变化而变化的情况.
(3)根据上述研究过程,请你按不同的时段,就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想(问题(3)是额外加分题,加分幅度为1~4分).
2、河北(06)图14-1至图14-7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长),其对称中心为点O.
如图14-1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大(即点O不动,正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8;再经过一秒,由8×8扩大为10×10;……),直到充满正方形ABCD,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小.
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图14-1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动(即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始,先向左平移,当点Q与点B重合时,再向上平移,当点M与点C重合时,再向右平移,当点N与点D重合时,再向下平移,到达起始位置后仍继续按上述方式移动).
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图14-1的位置同时开始运动,设运动时间为x秒,它们的重叠部分面积为y个平方单位.
(1)请你在图14-2和图14-3中分别画出x为2秒、18秒时,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分(重叠部分用阴影表示),并分别写出重叠部分的面积;
(2)①如图14-4,当1≤x≤3.5时,求y与x的函数关系式;
②如图14-5,当3.5≤x≤7时,求y与x的函数关系式;
③如图14-6,当7≤x≤10.5时,求y与x的函数关系式;
④如图14-7,当10.5≤x≤13时,求y与x的函数关系式.
(3)对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程,请你根据重叠部分面积y的变化情况,指出y取得最大值和最小值时,相对应的x的取值情况,并指出最大值和最小值分别是多少.(说明:问题(3)是额外加分题,加分幅度为1~4分)
3、(07河北)如图16,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK⊥BC,交折线段CD-DA-AB于点E.点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长;
(2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∥DC ?
(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(4)△PQE能否成为直角三角形?若能,写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
4、如图,点E在正方形ABCD的边CD上运动,AC与BE交于点F。
(1)如图①,当点E运动到DC的中点时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;
(2)如图②,当点E运动到CE∶ED=2∶1时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;
(3)当点E运动到CE∶ED=3∶1时,写出△ABF与四边形ADEF的面积之比;当点E运动到CD∶ED=n∶1(n是正整数)时,猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果,不要求写出计算过程);
(4)请你利用上述图形,提出一个类似的问题(根据提出的问题给附加分,最多4分,记入总分,但总分不超过120分)。
7实验操作型
通过现场操作实践,或根据已有实验操作经验,或根据语言描述实验操作过程,从中获得有关结论,或应用有关结论的一类试题,也是中考热点题型之一。其主要涉及图形的折叠与旋转、几何作图与设计、测量等。
一:【要点梳理】
平面图形的折叠问题是近几年中考试题中出现次数较多题型.在解答这类问题时,一般先作出折叠前后的图形形状及位置,然后再利用轴对称性质和其他相关知识进行解题
二:【例题与练习】
1.选择
(1)如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′
C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于(  )
A.50° B.55°   C.60° D.65°
(2)将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是( )
A.矩形 B.三角形
C.梯形 D.菱形
(3)小强拿了张正方形的纸如图(1),沿虚线对折一次如图(2),再对折一次得图(3),然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角,再打开后的形状应是( )
(4)如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN(图甲),再把B点叠在折痕MN上的处。得到(图乙),再延长交AD于F,所得到的是( )
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形
(5)将一圆形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( )



(6)如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是( )
(7)如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,
AD⊥BC,AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开,
得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一
个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的
个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(8)如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则与 之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( )
A. B.
C. D.
2.填空
(1)用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1)所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=  度.
(2)如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是
(3)亲爱的同学们,在我们的生活中处处有数学的身影.请看图,
折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到
一个著名的几何定理,请你写出这一定理的结论:“三角
形的三个内角和等于_______°.”
(4)同学们肯定天天阅读报纸吧 我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是
3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中
点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图
形.
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
4.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,
要折出一个菱形.李颖同学按照取两组
对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),
张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,
∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案
二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?
5.如图,⊙O表示一圆形纸板,根据要求,需通过多次剪裁,把它
剪成若干个扇形面,操作过程如下:第1次剪裁,将圆形纸板等
分为4个扇形;第2次剪裁,将上次得到的扇形面中的一个再等
分成4个扇形;以后按第2次剪裁的作法进行下去.
(1)请你在⊙O中,用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹,不写作法).
等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 … n
所得扇形的总个数(S) 4 7 …
(2)请你通过操作和猜想,将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.
(3)请你推断,
能不能按上
述操作过程,将原来的圆形纸板剪成33个扇形?为什么?
6.如图,若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪
掉,得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪,才能使剩下的图形
仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的,请说
明理由(写出证明及计算过程).
8开放型
开放题的题目无论是条件、结论以及解题的策略或方法均可展开、发散,所以解决此类问题没有一种固定的模式可循。但是,根据题意,寻找一般思考的规律还是可以找到解题的钥匙的,这类试题一般可归纳为条件开放型、结论开放型、条件和结论同时开放等三种基本题型
1条件开放型:没有确定已知条件的开发问题为条件开放题。在题目要求的结论下,请你补充一些条件,使得适合题意,这类题强调的是题设的多样性。
2结论开放型:没有确定结果的开发问题为结论开发题。题目给出了确定的条件,但没有确定的结论或者题设的条件去寻找不唯一的其他结论,这类体现了如何根据条件起探索结论的多样性
3条件结论开发型:根据条件,由因导果可有多种不同的思考途径,解题时可有多种方法,常见的策略开放、情景开放等,这类题目强调的是解决实际问题的数学方法和思考的多样性。
一:【要点梳理】
开放题的题目无论是条件、结论以及解题的策略或方法均可展开、发散,所以解决此类问题没有一种固定的模式可循。但是,根据题意,寻找一般思考的规律还是可以找到解题的钥匙的,这类试题一般可归纳为条件开放型、结论开放型、条件和结论同时开放等三种基本题型
1条件开放型:没有确定已知条件的开发问题为条件开放题。在题目要求的结论下,请你补充一些条件,使得适合题意,这类题强调的是题设的多样性。
2结论开放型:没有确定结果的开发问题为结论开发题。题目给出了确定的条件,但没有确定的结论或者题设的条件去寻找不唯一的其他结论,这类体现了如何根据条件起探索结论的多样性
3条件结论开发型:根据条件,由因导果可有多种不同的思考途径,解题时可有多种方法,常见的策略开放、情景开放等,这类题目强调的是解决实际问题的数学方法和思考的多样性
二:【例题与练习】
1.用几何图形(一个三角形,两条平行线,一个半圆)作为结构,尽可能构造独特且有意义的图形,并写上一两句贴切、诙谐的解说词如上图(至少两幅图)
2.如图,点B在AE上,∠CAB=∠DAB要使△ABC≌△ABD
可补充的一个条件是:__________(写出一个即可)
3.请你设计一种有关于x,y的运算,使得:当x=3时, y=8时:当x=4时,y=6
4.一次数学活动课,老师组织学生到野外测量一个池塘的宽度(既图中A,B间的距离),在讨论探究测量方法时,同学们发现有多种方法,现根据所学知识,设计出两种测量方案,要求画出测量示意图,并简要说明测量方法和计数依据
5.李叔叔想要检测雕塑底座正四边形ABCD是否是矩形,但他随身只带了有刻度的卷尺,请你设计一种方案,帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形
6.选择题
(1) 已知道三角形的三边长分别为4,5,x,则x不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
(2)点A,B,C,D在同一平面内,从①AB平行CD;②AB=CD;③BC平行AD;④BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )
A.2种 B.3钟 C.4种 D.5种
7.有一块三角形的地,现要平均分给四农户种植(即四等分三角形面积).请你在图上作出分法(不写作法,保留作图痕迹).
8.如图所示,A,B是4x5网络中的格点,网格中的每个小正方形的边长为1,请在图中清晰标出以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.
9.在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4,现做如下实验:抛掷
一枚均匀的正四面体塞子,如图所示,它有四个顶点,各顶点的点数
分别是1至4这四个数中的一个,每个顶点朝上的机会是相同的,
连续抛掷两次,第一次的点数作为点P的横坐标,第二次的点数作
为点P的纵坐标.
(1)求点P落在正方形ABCD面上(含有边界)的概率;
(2)将正方形ABCD平移整数个单位,则是否存在一种平移,使点P落
在正方形ABCD面上的概率为0.75 若存在,指出其中的一种平移
方式;若不存在,请说明理由;
(3)将正方形ABCD平移(上下、左右)整数概率个单位,则是否存在一
种平移,使得点P落在正方形ABCD面上的概率为5/36 如果存在,请指出其中的一种平移方式;如果不存在,请说明理由
10.问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下三个命题:
命题一:如图①,在正三角形中ABC中,M,N分别是AC,AB上的点,BM于CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.
命题二:如图②,在正方形ABCD中,MN分别是CD,AD上的点,BM于CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
命题三:如图③,在正方形ABCDE中,MN分别是CD,DE上的点,BM于CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.
完成下列探索:
(1)请在图③中画出一条于CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,且于CN相交所成的一个角是108°,这样的线段有几条(不必写出画法,不要求证明)
(2)如图④,在正五边形ABCDE中,M,N分别是DE,EA上的点,BM于CN相交与点0,若∠BON=108°,请问结论BM=CN是否成立 若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
C
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N
M
B
A
Q
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图15-6
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A
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图15-7
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图15-1
Q
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图15-2
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图15-3
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图15-4
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图15-5
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图14-1
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A(P)
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图14-4
图14-3
图14-2
图14-5
E
C
B
A
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M
Q
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O
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图14-6
E
C
B
A
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F
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H
M
Q
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O
P
图14-7
E
C
B
A
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K
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B
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图16
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C
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F
(第25题图)
(图①)
(图②)
(备用图)
(备用图)
C
D
E
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A
图 (2)
图(1)
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