湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023九上·开福开学考）3的绝对值是（ ）
A． B． C． D．3
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
3．（2023九上·开福开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·开福开学考）如图，四边形为平行四边形，A，C两点的坐标分别是，，则平行四边形的周长等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·开福开学考）下列函数图象中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
6．一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（ ）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
7．（2018·贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
8．（2020九上·成都月考）某厂一月份生产某大型机器2台，计划二、三月份共生产9台，设二、三月份每月生产台数的月平均增长率为 ，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·开福开学考）已知是二次函数，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
10．（2023九上·开福开学考）如图，在菱形中，延长于并且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·常德）分解因式： ．
12．（2023·湘潭）已知实数a，b满足，则 ．
13．（2023·常德）联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为 ．
14．（2023九上·开福开学考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ．
15．（2023八下·舟山期末）若一个正多边形的内角和是外角和的倍，则这个正多边形的边数为 ．
16．（2023九上·开福开学考）如图，在等腰中，，过点作于点，为边的中点，连接．若，则的长为 ．
三、解答题
17．（2023八下·长沙期中）计算：．
18．（2023·湘潭）先化简，再求值：，其中．
19．（2023九上·开福开学考）如图，直线经过点和点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，求的面积．
20．（2023九上·开福开学考）党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是 吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是 ，平均数是 ；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
21．（2023九上·开福开学考）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2023九上·开福开学考）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
23．（2023九上·开福开学考）已知，如图，在中，分别在边上取两点，使得，连接相交于点，若
（1）求证：四边形是菱形； ．
（2）若菱形的周长为求的长．
24．（2023九上·开福开学考）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．
25．（2023九上·开福开学考）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： 3的绝对值是：|3|=3，
故答案为：D.
【分析】根据正数的绝对值是它本身，计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据单项式乘单项式法则，单项式除单项式法则，完全平方公式，平方差公式等计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ A，C两点的坐标分别是，，
∴，OA=3，
∵四边形为平行四边形，
∴，BC=OA=3，
∴平行四边形的周长为：，
故答案为：D.
【分析】根据点A和点C的坐标求出，OA=3，再根据平行四边形的性质求出，BC=OA=3，最后利用平行四边形的周长计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A：∵中2＞0，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
B：∵中1＞0，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
C：∵中1＞0，
∴二次函数的开口向上，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
D：∵中-1＜0，
∴二次函数的开口向下，
∴当x＞-1时， 随的增大而减小 ，
即当时，随的增大而减小，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质对每个选项逐一判断求解即可。
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7，
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是6，7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（6+7)÷2=6.5．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小)重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据一元二次过程根与系数直角的关系得出α+β=﹣1，αβ=﹣2，再整体代入即可算出答案。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产某大型机器2（1+x）台，三月份生产某大型机器2（1+x）2台，
依题意，得：2（1+x）+2（1+x）2=9．
故答案为：C．
【分析】根据二、三月份每月生产台数的月平均增长率为 ， 二、三月份共生产9台，列方程即可。
9．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴且m+1≠0，
∴m=±1且m≠-1，
解得：m=1，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义求出且m+1≠0，再求出m=±1且m≠-1，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
∵，
∴，
∴∠CAE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA=∠CAE=30°，
∴∠CBE=∠BCA+∠CAE=60°，
故答案为：D.
【分析】根据垂直求出∠E=90°，再利用锐角三角函数求出，最后根据菱形的性质以及三角形的外角计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据题意运用提公因式法、公式法进行因式分解即可求解。
12．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a-2=0，b+1=0，
∴a=2，b=-1，
∴，
故答案为：
【分析】先根据非负性即可求出a和b的值，进而根据负整数指数幂即可求解。
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8000000000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵函数和的图象相交于点，
∴2m=3，
解得：，
∴，
∴不等式的解集为：，
故答案为：.
【分析】将点A的坐标代入函数解析式求出2m=3，再求出，最后根据函数图象求解集即可。
15．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，则(n-2)×180°=2×360°，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】设多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意可得关于n的方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，BC=8，
∴，
∴由勾股定理可得：，
∵E 为边的中点，
∴BE=AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再利用勾股定理求出AC=5，最后根据三角形的中位线计算求解即可。
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；积的乘方
【解析】【分析】运用绝对值、负整数指数幂、实数的乘方、零指数幂进行运算，进而即可求解。
18．【答案】解：
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可。
19．【答案】（1）解：设直线的解析式为，把点和点代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，设直线与y轴交于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴的面积为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 点C的坐标为， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．【答案】（1）9.2
（2）160吨；172吨
（3）解：
（吨）
∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：9.2（吨），
即该种粮大户2022年早稻产量是9.2吨，
故答案为：9.2；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨，
平均数是：，
故答案为：160吨；172吨.
【分析】（1）根据统计图中的数据计算求解即可；
（2）根据中位数和平均数的定义计算求解即可；
（3）根据题意先求出年增长率，再计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直先求出 ， 再利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）利用全等三角形的性质求出 ， 再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可。
22．【答案】（1）解：设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）解：设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据总利润不低于300元，求出，最后求解即可。
23．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
又∵，
，
，
四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵菱形的周长为，
，
又∵，
，
为等边三角形，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ，再求出 ， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据菱形的周长求出 ， 再求出 为等边三角形， 最后根据等边三角形的性质计算求解即可。
24．【答案】（1）解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，
∴和谐点都在上，
，
解得，
上的和谐点为；
（2）解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
，
联立①②，得，
②，
，
其顶点坐标为，则最大值为3，
在时，随的增大而增大，当时，，
根据对称轴可知，当时，，
时，函数的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，
实数的取值范围为：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）先求出和谐点都在上，再求出， 最后作答即可；
（2）①先求出 有两个相等的实数根， 再利用一元二次方程根的判别式求出 ，， 最后求解即可；
②根据题意先求出其顶点坐标为，则最大值为3，再分类讨论，计算求解即可。
25．【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
解得
二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标，
当时，即
解得（不合题意，舍），
∴点P的坐标为
（3）解：如图2，
P在抛物线上，设P（m，-m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得，
直线BC的解析为y=-x+3，
设点Q的坐标为（m，-m+3），
PQ=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m．
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
OA=1，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，，即P点的坐标为
当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点E的坐标，再求出 点P的纵坐标， 最后列方程计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析为y=-x+3，再求出AB=4，最后利用三角形的面积公式等计算求解即可。
1 / 1湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023九上·开福开学考）3的绝对值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： 3的绝对值是：|3|=3，
故答案为：D.
【分析】根据正数的绝对值是它本身，计算求解即可。
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．（2023九上·开福开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据单项式乘单项式法则，单项式除单项式法则，完全平方公式，平方差公式等计算求解即可。
4．（2023九上·开福开学考）如图，四边形为平行四边形，A，C两点的坐标分别是，，则平行四边形的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ A，C两点的坐标分别是，，
∴，OA=3，
∵四边形为平行四边形，
∴，BC=OA=3，
∴平行四边形的周长为：，
故答案为：D.
【分析】根据点A和点C的坐标求出，OA=3，再根据平行四边形的性质求出，BC=OA=3，最后利用平行四边形的周长计算求解即可。
5．（2023九上·开福开学考）下列函数图象中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A：∵中2＞0，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
B：∵中1＞0，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
C：∵中1＞0，
∴二次函数的开口向上，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
D：∵中-1＜0，
∴二次函数的开口向下，
∴当x＞-1时， 随的增大而减小 ，
即当时，随的增大而减小，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质对每个选项逐一判断求解即可。
6．一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（ ）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7，
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是6，7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（6+7)÷2=6.5．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小)重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．
7．（2018·贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据一元二次过程根与系数直角的关系得出α+β=﹣1，αβ=﹣2，再整体代入即可算出答案。
8．（2020九上·成都月考）某厂一月份生产某大型机器2台，计划二、三月份共生产9台，设二、三月份每月生产台数的月平均增长率为 ，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产某大型机器2（1+x）台，三月份生产某大型机器2（1+x）2台，
依题意，得：2（1+x）+2（1+x）2=9．
故答案为：C．
【分析】根据二、三月份每月生产台数的月平均增长率为 ， 二、三月份共生产9台，列方程即可。
9．（2023九上·开福开学考）已知是二次函数，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴且m+1≠0，
∴m=±1且m≠-1，
解得：m=1，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义求出且m+1≠0，再求出m=±1且m≠-1，最后计算求解即可。
10．（2023九上·开福开学考）如图，在菱形中，延长于并且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
∵，
∴，
∴∠CAE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA=∠CAE=30°，
∴∠CBE=∠BCA+∠CAE=60°，
故答案为：D.
【分析】根据垂直求出∠E=90°，再利用锐角三角函数求出，最后根据菱形的性质以及三角形的外角计算求解即可。
二、填空题
11．（2023·常德）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据题意运用提公因式法、公式法进行因式分解即可求解。
12．（2023·湘潭）已知实数a，b满足，则 ．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a-2=0，b+1=0，
∴a=2，b=-1，
∴，
故答案为：
【分析】先根据非负性即可求出a和b的值，进而根据负整数指数幂即可求解。
13．（2023·常德）联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8000000000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
14．（2023九上·开福开学考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵函数和的图象相交于点，
∴2m=3，
解得：，
∴，
∴不等式的解集为：，
故答案为：.
【分析】将点A的坐标代入函数解析式求出2m=3，再求出，最后根据函数图象求解集即可。
15．（2023八下·舟山期末）若一个正多边形的内角和是外角和的倍，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，则(n-2)×180°=2×360°，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】设多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意可得关于n的方程，求解即可.
16．（2023九上·开福开学考）如图，在等腰中，，过点作于点，为边的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，BC=8，
∴，
∴由勾股定理可得：，
∵E 为边的中点，
∴BE=AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再利用勾股定理求出AC=5，最后根据三角形的中位线计算求解即可。
三、解答题
17．（2023八下·长沙期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；积的乘方
【解析】【分析】运用绝对值、负整数指数幂、实数的乘方、零指数幂进行运算，进而即可求解。
18．（2023·湘潭）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可。
19．（2023九上·开福开学考）如图，直线经过点和点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，把点和点代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，设直线与y轴交于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴的面积为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 点C的坐标为， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．（2023九上·开福开学考）党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是 吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是 ，平均数是 ；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
【答案】（1）9.2
（2）160吨；172吨
（3）解：
（吨）
∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：9.2（吨），
即该种粮大户2022年早稻产量是9.2吨，
故答案为：9.2；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨，
平均数是：，
故答案为：160吨；172吨.
【分析】（1）根据统计图中的数据计算求解即可；
（2）根据中位数和平均数的定义计算求解即可；
（3）根据题意先求出年增长率，再计算求解即可。
21．（2023九上·开福开学考）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直先求出 ， 再利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）利用全等三角形的性质求出 ， 再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可。
22．（2023九上·开福开学考）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】（1）解：设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）解：设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据总利润不低于300元，求出，最后求解即可。
23．（2023九上·开福开学考）已知，如图，在中，分别在边上取两点，使得，连接相交于点，若
（1）求证：四边形是菱形； ．
（2）若菱形的周长为求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
又∵，
，
，
四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵菱形的周长为，
，
又∵，
，
为等边三角形，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ，再求出 ， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据菱形的周长求出 ， 再求出 为等边三角形， 最后根据等边三角形的性质计算求解即可。
24．（2023九上·开福开学考）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，
∴和谐点都在上，
，
解得，
上的和谐点为；
（2）解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
，
联立①②，得，
②，
，
其顶点坐标为，则最大值为3，
在时，随的增大而增大，当时，，
根据对称轴可知，当时，，
时，函数的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，
实数的取值范围为：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）先求出和谐点都在上，再求出， 最后作答即可；
（2）①先求出 有两个相等的实数根， 再利用一元二次方程根的判别式求出 ，， 最后求解即可；
②根据题意先求出其顶点坐标为，则最大值为3，再分类讨论，计算求解即可。
25．（2023九上·开福开学考）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
解得
二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标，
当时，即
解得（不合题意，舍），
∴点P的坐标为
（3）解：如图2，
P在抛物线上，设P（m，-m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得，
直线BC的解析为y=-x+3，
设点Q的坐标为（m，-m+3），
PQ=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m．
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
OA=1，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，，即P点的坐标为
当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点E的坐标，再求出 点P的纵坐标， 最后列方程计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析为y=-x+3，再求出AB=4，最后利用三角形的面积公式等计算求解即可。
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