江苏省扬州市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

扬州市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学 2023.11
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.
2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.
3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2.抛物线的准线方程是，则实数的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．4 D．8
3.已知是椭圆上的点，则的值可能是（ ）
A. 13 B. 14 C.15 D. 16
4．若点在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知是椭圆 的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，则的周长为 ( )
10 B. 16 C. 20 D. 26
6. 已知抛物线，直线与交于A，两点，是射线上异于A，的动点，圆与圆分别是和的外接圆（为坐标原点），则圆与圆面积的比值为（ ）
A．小于1 B．等于1
C．大于1 D．与点的位置有关
7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知点，若过点的直线l与圆交于A、B两点，则的最大值为（ ）
A.12 B. C.10 D.6
二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）
9．已知直线，其中，则（　 ）
A．直线过定点 B．当时，直线与直线垂直
C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
D．若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为
10．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A． B．是等边三角形，且椭圆的离心率为
C．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与之间的距离为4
12．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N，则(　　)
A. 的最小值为8 B. PF1·PF2－OP2为定值
C. 若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为－2
D. 若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则PQ的最小值为6
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）
13．若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为 ．
14.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.
15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（a>b>0）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则该椭圆的面积为_____________.
16．已知圆和圆均与轴及直线相切，两圆交于两点，其中点坐标为，已知两圆半径的乘积为，则实数的值为 .
四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）
17．(本题满分10分) 已知方程（且）
(1)若方程表示焦点在上的椭圆，且离心率为，求的值；
(2)若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标.
18．(本题满分12分)
已知直线经过直线的交点．
(1)若直线经过点，求直线的方程;
(2)若直线与直线垂直，求直线的方程．
(本题满分12分)
已知圆C经过A(1,4)，B(5,0)两点，且在x轴上的截距之和为2．
求圆C的标准方程；
圆M与圆C关于直线x－y＋1＝0对称，求过点（3,0）且与圆M相切的直线方程.
20. (本题满分12分)
已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线C于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.
(本题满分12分)
已知直线，与双曲线的左支交于A，B两点.
求实数的取值范围；
若的面积为(O为坐标原点)，求此时直线的斜率的值.
22. (本题满分12分)
已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆方程；
（2）点分别为椭圆的上下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，探究直线的交点是否在一条定直线上，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
高二上数学期中参考答案
1—8 BBAC CBDA
9—12 ABD ACD BC AB
13 14 15 16
17【详解】（1）因为方程为焦点在轴上的椭圆，所以
则离心率，解得 故.
（2）由题意得 ，
故焦点坐标为
18【详解】（1）由得，
即直线和的交点为．
直线还经过点， 的方程为，即．
（2）由直线与直线垂直，
可设它的方程为．
再把点的坐标代入，可得，解得，
故直线的方程为.
19.【详解】(1) 圆C的标准方程为：(x-1)2＋y2＝16.
（2）圆C的圆心C(1，0)，圆M的圆心与C(1，0)关于x－y＋1＝0对称，
∴设圆M的圆心为M(a，b)
则，解得
圆M的标准方程为：(x＋1)2＋(y－2)2＝16.
若过点的直线斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
20.【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，
由韦达定理得，
所以，
所以以为直径的圆经过原点O. 得证
21【详解】(1)联立方程组得；
（2）
22.【详解】（1）椭圆
（2）,设，
直线的方程为:
联立方程，得，得
则
直线的方程为： ，
直线的方程为：
联立两直线方程消元：
法1：由二次方程解出
代入化简，
，
得
即直线的交点在定直线上
法2：由韦达定理得带入化简
，得
即直线的交点在定直线上
法3：由，得
（即）带入化简
，得，
即直线的交点在定直线上
法4： 带点进椭圆方程得化简得
进而得到，带入化简
转化为韦达定理带入